三角函数的导数

(i) ${\displaystyle \frac{dy}{d\theta }}=A\cos (\theta -{\displaystyle \frac{\pi }{2}})$；

(ii) ${\displaystyle \frac{dy}{d\theta }}=2\sin \theta \cos \theta =\sin 2\theta$ 以及 ${\displaystyle \frac{dy}{d\theta }}=2\cos 2\theta$；

(iii) ${\displaystyle \frac{dy}{d\theta }}=3{\sin }^2\theta \cos \theta$ 以及 ${\displaystyle \frac{dy}{d\theta }}=3\cos 3\theta$。

(i) ${\displaystyle y=A\sin (\theta -\frac{\pi }{2})}$

我们写作 $$y=A\sin u\text{ 其中 }u=\theta -\frac{\pi }{2}$$ 使用链式法则：

(ii) 如果 $y={\sin }^2\theta =(\sin \theta {)}^2$

设 $$y=u^2\text{ 其中 }u=\sin \theta$$ 使用链式法则： 结果也可以写作 $\sin 2\theta$，因为 $\sin 2\theta =2\sin \theta \cos \theta .$

如果 $y=\sin 2\theta$，设 $$y=\sin u\text{ 其中 }u=2\theta .$$ 使用链式法则： 如果 $y={\sin }^3\theta =(\sin \theta {)}^3$，我们写作 $$y=u^3\text{其中}u=\sin \theta$$ 然后使用链式法则 如果 $y=\sin 3\theta$，我们写作 $$y=\sin u\text{其中}u=3\theta$$ 那么

$\theta ={45}^{\circ }$ 或 ${\displaystyle \frac{\pi }{4}}$ 弧度。

$$y=\sin \theta \cos \theta$$

方法 1) 使用乘积法则：

$$\frac{dy}{d\theta }=\cos 2\theta =0\iff 2\theta =\frac{\pi }{2}\text{ 或 }2\theta =\frac{3\pi }{2}$$ $$\frac{dy}{d\theta }=0\iff \theta =\frac{\pi }{4}\text{ 或 }\theta =\frac{3\pi }{4}$$ 当 $\theta ={\displaystyle \frac{\pi }{4}}$ 时 因此，曲线向下凹，所以当 $\theta ={\displaystyle \frac{\pi }{4}}$ 时，$y$ 取得最大值 $$\sin \left(\frac{\pi }{4}\right)\cos \left(\frac{\pi }{4}\right)=\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot \frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{1}{2}.$$

当 $\theta ={\displaystyle \frac{3\pi }{4}}$ 时 因此，曲线向上凹，所以当 $\theta ={\displaystyle \frac{3\pi }{4}}$ 时，$y$ 取得最小值

方法 2)

$$y=\sin \theta \cdot \cos \theta =\frac{1}{2}\sin 2\theta$$ $y$ 在 $\sin 2\theta$ 取得最大值时达到最大，这发生在 $$2\theta =\frac{\pi }{2}\text{ 或 }\theta =\frac{\pi }{4}$$ 那么 $y$ 的最大值为 $\frac{1}{2}\cdot \sin \left(\frac{\pi }{2}\right)=\frac{1}{2}$。

${\displaystyle \frac{dy}{dt}}=-n\sin 2\pi nt$。

$$y=\frac{1}{2\pi }\cos (2\pi nt)$$ 我们写作 $$y=\frac{1}{2\pi }\cos u\text{ 其中 }u=2\pi nt$$

$a^x\ln a\cos a^x$。

$$y=\sin \left(a^x\right)$$ 设 $y=\sin u$，其中 $u=a^x$。那么

${\displaystyle \frac{\cos x}{\sin x}}=\cot x$

$$y=\ln \cos x$$

我们写作 $y=\ln u$，其中 $u=\cos x$。那么

$18.2\cos (x+26)$。

$$y=18.2\sin (x+26)$$

我们写作 $y=18.2\sin u$，其中 $u=x+26$。那么

斜率为 ${\displaystyle \frac{dy}{d\theta }}=100\cos (\theta -\frac{\pi }{12})$，当 $(\theta -\frac{\pi }{12})=0$ 或 $\theta =\frac{\pi }{12}$ 时取得最大值；此时斜率为 $=100$。当 $\theta =\frac{5\pi }{12}$ 时，斜率为 $100\cos (\frac{5\pi }{12}-\frac{\pi }{12})=100\cos \frac{\pi }{3}=100\times \frac{1}{2}=50$。

为了求最大斜率，我们需要对 ${\displaystyle \frac{dy}{d\theta }}$ 关于 $\theta$ 求导，并令结果为零

$$\frac{d\left({\displaystyle \frac{dy}{d\theta }}\right)}{d\theta }=\frac{d^{2}y}{d{\theta }^2}=-10\sin (\theta -\frac{\pi }{12})=0$$

当 $\theta ={\displaystyle \frac{\pi }{12}}$ 时 $$\frac{dy}{d\theta }=10\cos 0=10(\text{最大斜率})$$

当 $\theta ={\displaystyle \frac{13\pi }{12}}$ 时 $$\frac{dy}{d\theta }=10\cos (\pi )=-10(\text{最小斜率})$$

当 $\theta ={\displaystyle \frac{5\pi }{12}}$ 时的斜率： 可以看出，曲线在 $\theta =\frac{5\pi }{12}$ 处的斜率为 5，是最大斜率 10（发生在 $\theta =\frac{\pi }{12}$ 时）的一半。

$$y=\sin \theta \cdot \sin 2\theta$$

使用乘积法则：

$$\frac{dy}{d\theta }=\frac{d(\sin \theta )}{d\theta }\cdot \sin 2\theta +\sin \theta \frac{d(\sin 2\theta )}{d\theta }$$

我们在练习 1 (ii) 中已证明 ${\displaystyle \frac{d(\sin 2\theta )}{d\theta }}=2\cos 2\theta$。

因此

$$\frac{dy}{d\theta }=\cos \theta \cdot \sin 2\theta +2\sin \theta \cos 2\theta$$

我们可以进一步化简，使用

$$\sin 2\theta =2\sin \theta \cos \theta$$ 和 $$\cos 2\theta =2{\cos }^2\theta -1.$$

$amn{\theta }^{n-1}{\tan }^{m-1}\left({\theta }^n\right){\sec }^2{\theta }^n$。

$$y=a{\tan }^m\left({\theta }^n\right)=a{[\tan \left({\theta }^n\right)]}^m$$ 我们写作 $$y=a{u}^m\text{ 其中 }u=\tan v\text{ 且 }v={\theta }^n.$$ 那么

注意 ${\sec }^2\left({\theta }^n\right)$ 表示 ${[\sec \left({\theta }^n\right)]}^2$，而 ${[\tan \left({\theta }^n\right)]}^{m-1}$ 可以写作 ${\tan }^{m-1}\left({\theta }^n\right)$。因此 $$\frac{dy}{d\theta }=amn{\theta }^{n-1}{\tan }^{m-1}\left({\theta }^n\right){\sec }^2\left({\theta }^n\right)$$

$e^x({\sin }^{2}x+\sin 2x)$；$e^x({\sin }^{2}x+2\sin 2x+2\cos 2x)$。

$$y=e^x{\sin }^{2}x=e^x(\sin x{)}^2$$

$$\frac{dy}{dx}=\frac{d\left(e^x\right)}{dx}{\sin }^{2}x+e^x\frac{d({\sin }^{2}x)}{dx}$$

为了求 ${\displaystyle \frac{d({\sin }^{2}x)}{dx}}$，我们注意到

$${\sin }^{2}x=(\sin x{)}^2$$

且

因此

二阶导数：

$\left(i\right){\displaystyle \frac{dy}{dx}}={\displaystyle \frac{ab}{{(x+b)}^2}}$； (ii) ${\displaystyle \frac{a}{b}}{e}^{-\frac{x}{b}}$； (iii) ${\displaystyle \frac{2ab}{\pi }}\cdot {\displaystyle \frac{1}{(b^2+x^2)}}$。

(i) 使用商法则： $$\frac{dy}{dx}=\frac{a(x+b)-ax}{(x+b{)}^2}=\frac{ab}{(x+b{)}^2}$$