Derivadas de funciones trigonométricas
Las letras griegas son usualmente utilizadas para denotar ángulos, tomaremos como la letra usual para cualquier ángulo variable la letra \(\theta\) ("theta"). En este capítulo, \(\theta\) se mide en radianes.1
Derivada del Seno
Consideremos la función \[y= \sin \theta.\]
Lo que necesitamos investigar es el valor de \(\dfrac{d(\sin \theta)}{d \theta}\); o, en otras palabras, si el ángulo \(\theta\) varía, debemos encontrar la relación entre el incremento del seno y el incremento del ángulo, ambos incrementos siendo indefinidamente pequeños en sí mismos. Examina la siguiente figura, en la que, si el radio del círculo es la unidad, la altura de \(y\) es el seno y \(\theta\) es el ángulo. Ahora, si \(\theta\) se supone que aumenta al sumarle el pequeño ángulo \(d \theta\), un elemento de ángulo, la altura de \(y\), el seno, se incrementará por un pequeño elemento \(dy\). La nueva altura \(y + dy\) será el seno del nuevo ángulo \(\theta + d \theta\), o, expresándolo como una ecuación, \[y+dy = \sin(\theta + d \theta);\] y restando de esta la primera ecuación obtenemos \[dy = \sin(\theta + d \theta)- \sin \theta.\]
La cantidad en el lado derecho es la diferencia entre dos senos, y los libros de trigonometría nos dicen cómo resolver esto. Porque nos dicen que si \(M\) y \(N\) son dos ángulos diferentes, entonces \[\sin M - \sin N = 2 \cos\frac{M+N}{2} \cdot \sin\frac{M-N}{2}.\]
Si, entonces, tomamos \(M= \theta + d \theta\) para un ángulo, y \(N= \theta\) para el otro, podemos escribir \[\begin{align} dy &= 2 \cos\frac{\theta + d\theta + \theta}{2} \cdot \sin\frac{\theta + d\theta - \theta}{2}, \end{align}\] o, \[\begin{align} dy &= 2\cos\left(\theta + \frac{1}{2}d\theta\right)\cdot \sin\frac{d\theta}{2}. \end{align}\]
Pero si consideramos \(d \theta\) como indefinidamente pequeño, entonces en el límite podemos descartar \(\frac{1}{2} d \theta\) comparado con \(\theta\), y también podemos tomar \(\sin\frac{d\theta}{2}\) como siendo igual a \(\frac{1}{2} d \theta\). La ecuación entonces se convierte en: \[\begin{align} dy &= 2 \cos \theta \times \frac{1}{2} d \theta; \\ dy &= \cos \theta \cdot d \theta, \end{align}\] y, finalmente, \[\begin{align} \dfrac{dy}{d \theta} &= \cos \theta. \end{align}\] [Nótese que la aproximación \(\sin \frac{d\theta}{2}\approx \frac{d\theta}{2}\) es válida solo cuando \(d\theta\) se mide en radianes.]
Las curvas acompañantes en las dos siguientes figuras muestran, representadas a escala, los valores de \(y=\sin \theta\), y \(\dfrac{dy}{d\theta}=\cos\theta\), para los correspondientes valores de \(\theta\).
Derivada del Coseno
Tomemos a continuación el coseno.
Sea \(y=\cos \theta\).
Ahora \(\cos \theta=\sin\left(\dfrac{\pi}{2}-\theta\right)\).
Por lo tanto \[\begin{align} dy = d\left(\sin\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right)\right) &= \cos\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right) \times d(-\theta), \\ &= \cos\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right) \times (-d\theta), \end{align}\] \[\frac{dy}{d\theta} = -\cos\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right).\] Y se deduce que \[\frac{dy}{d\theta} = -\sin \theta.\]
Derivada de la Tangente
Finalmente, tomemos la tangente.
Dado que \(\tan\theta=\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}\), podemos aplicar la Regla del Cociente para encontrar \(\dfrac{d(\tan\theta)}{d\theta}\):2
\[\begin{align} \frac{d(\tan\theta)}{d\theta}&=\frac{\cos\theta \dfrac{d(\sin\theta)}{d\theta}-\sin\theta \dfrac{d(\cos\theta)}{d\theta}}{\cos^2\theta}\\ &=\frac{\cos\theta \cdot \cos\theta -\sin\theta (-\sin\theta)}{\cos^2\theta}\\ &=\frac{\cos^2\theta+\sin^2\theta}{\cos^2\theta} \end{align}\] Dado que \[\frac{\cos^2\theta+\sin^2\theta}{\cos^2\theta}=1+\left(\frac{\sin \theta}{\cos \theta}\right)^2\] obtenemos \[\frac{d(\tan\theta)}{d\theta}=1+\tan^2 \theta.\] Además, dado que \(\sin^2\theta+\cos^2\theta=1\), obtenemos \[\frac{d(\tan\theta)}{d\theta}=\frac{1}{\cos^2\theta}=\sec^2\theta.\] Por lo tanto, \[\frac{d(\tan\theta)}{d\theta}=\sec^2\theta=1+\tan^2\theta.\]
Resumen de Resultados
Recopilando estos resultados, tenemos: \[\begin{array}{|c|c|} \hline y & \dfrac{dy}{d\theta} \\[9pt] \hline \sin\theta & \cos\theta \\[9pt] \cos\theta & -\sin\theta\\[9pt] \tan\theta & \sec^2\theta=1+\tan^2 \theta\\[9pt] \hline \end{array}\]
Para obtener los resultados anteriores, reemplazamos \(\sin(d\theta/2)\) por \(d\theta/2\). En general, \(\sin x\) es aproximadamente igual a \(x\) cuando (1) \(x\) es pequeño (2) \(x\) se mide en radianes \[\sin x\approx x \qquad (x \text{ es pequeño y medido en radianes}).\] Por ejemplo, \(1^\circ\) es lo mismo que \(\frac{\pi}{180}\) radianes, y no podemos aproximar \(\sin 1^\circ\) por 1 \[\sin 1^\circ\neq 1\] pero \[\sin 1^\circ=\sin\frac{\pi}{180}\approx \frac{\pi}{180}=0.017.\] Por lo tanto, los resultados tabulados arriba son ciertos solo cuando \(\theta\) se mide en radianes.
A veces, en cuestiones mecánicas y físicas, como, por ejemplo, en el movimiento armónico simple y en las ondulaciones, tenemos que lidiar con ángulos que aumentan en proporción al tiempo. Así, si \(T\) es el tiempo de un período completo, o movimiento alrededor del círculo, entonces, dado que el ángulo total alrededor del círculo es \(2\pi\) radianes, (equivalente a \(360^\circ\)), la cantidad de ángulo recorrido en el tiempo \(t\), será \[\begin{align} \theta &= 2\pi\frac{t}{T},\quad \text{en radianes.} \end{align}\] Si la frecuencia, o número de períodos por segundo, se denota por \(n\), entonces \(n = \dfrac{1}{T}\), y podemos escribir: \[\theta=2\pi nt.\] Entonces tendremos \[y = \sin (2\pi nt).\]
Ahora, si deseamos saber cómo varía el seno con respecto al tiempo, debemos diferenciar con respecto, no a \(\theta\), sino a \(t\). Para esto debemos recurrir a la regla de cadenas explicada en el capítulo sobre la Regla de Cadenas, y poner \[\frac{dy}{dt} = \frac{dy}{d\theta} \cdot \frac{d\theta}{dt}.\]
Ahora \(\dfrac{d\theta}{dt}\) será obviamente \(2\pi n\); de modo que \[\begin{align} \frac{dy}{dt} &= \cos \theta \times 2\pi n \\ &= 2\pi n \cdot \cos (2\pi nt). \end{align}\] De manera similar, se deduce que \[\begin{align} \frac{d\left(\cos (2\pi nt)\right)}{dt} &= -2\pi n \cdot \sin (2\pi nt). \end{align}\]
Segundas Derivadas del Seno y el Coseno
Hemos visto que cuando \(\sin \theta\) se diferencia con respecto a \(\theta\) se convierte en \(\cos \theta\); y que cuando \(\cos \theta\) se diferencia con respecto a \(\theta\) se convierte en \(-\sin \theta\); o, en símbolos, \[\frac{d^2({\sin \theta})}{d\theta^2} = -\sin \theta.\]
Así que tenemos este curioso resultado de que hemos encontrado una función tal que si la diferenciamos dos veces, obtenemos la misma cosa de la que partimos, pero con el signo cambiado de \(+\) a \(-\).
Lo mismo es cierto para el coseno; porque al diferenciar \(\cos\theta\) obtenemos \(-\sin\theta\), y al diferenciar \(-\sin\theta\) obtenemos \(-\cos\theta\); o así: \[\frac{d^2(\cos\theta)}{d\theta^2} = -\cos\theta.\]
Senos y cosenos son las únicas funciones cuya segunda derivada es igual (y de signo contrario) a la función original.
Ejemplos
Con lo que hemos aprendido hasta ahora, ahora podemos diferenciar expresiones de naturaleza más compleja.
Ejemplo 15.1. Si \(y=\arcsin x\), encuentra \(\dfrac{dy}{dx}\).
[En muchos libros de cálculo modernos, el seno inverso se denota por \(\sin^{-1}\); es decir, \(\arcsin x=\sin^{-1} x\). Nota que \(\sin^{-1} x\) NO es lo mismo que \(\frac{1}{\sin x}\). Para evitar confusiones, la notación \(\arcsin x\) puede preferirse sobre \(\sin^{-1} x\) en algunos textos, incluido este.]
Solución. Si \(y\) es el arco cuyo seno es \(x\), entonces \(x = \sin y\). \[\frac{dx}{dy}=\cos y.\]
Pasando ahora de la función inversa a la original, obtenemos \[\begin{align} \frac{dy}{dx} &= \frac{1}{\;\dfrac{dx}{dy}\;} = \frac{1}{\cos y}. \end{align}\] ahora, dado que \(\cos^2 y+\sin^2 y=1\), \[\cos y= \pm \sqrt{1-\sin^2 y}=\pm \sqrt{1-x^2};\] por lo tanto \[\begin{align} \frac{dy}{dx} &=\frac{1}{\cos y}= \pm \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}. \end{align}\] Pero ¿cuál es correcta? ¿positivo o negativo? Si observamos el gráfico de \(y=\arcsin x\) (la figura siguiente), nos damos cuenta de que la pendiente de la curva es siempre positiva, lo que indica que debemos tomar la raíz cuadrada positiva. Por lo tanto, \[\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}.\]
\[\begin{align} \boxed{\dfrac{d(\arcsin x)}{dx}=\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}} \end{align}\]
Ejemplo 15.2. Si \(y=\cos^3 \theta\), encuentra \(\dfrac{dy}{d\theta}\).
Solución. Esto es lo mismo que \(y=(\cos \theta)^3\).
Sea \(\cos\theta=v\); entonces \(y=v^3\); \(\dfrac{dy}{dv}=3v^2\). \[\begin{align} \frac{dv}{d\theta} &= -\sin\theta.\\ \frac{dy}{d\theta} &= \frac{dy}{dv} \times \frac{dv}{d\theta} = -3 \cos^2 \theta \sin\theta. \end{align}\]
Ejemplo 15.3. Si \(y=\sin(x+a)\), encuentra \(\dfrac{dy}{dx}\).
Solución. Sea \(x+a=v\); entonces \(y=\sin v\). \[\frac{dy}{dv}=\cos v;\qquad \frac{dv}{dx}=1 \quad\text{y}\quad \frac{dy}{dx}=\cos(x+a).\]
Ejemplo 15.4. Si \(y=\ln \sin \theta\), encuentra \(\dfrac{dy}{d\theta}\).
Solución. Sea \(\sin\theta=v\);\(y=\ln v\). \[\begin{align} \frac{dy}{dv} &= \frac{1}{v};\quad \frac{dv}{d\theta}=\cos\theta;\\ \frac{dy}{d\theta} &= \frac{1}{\sin\theta} \times \cos\theta = \cot\theta. \end{align}\]
Ejemplo 15.5. Si \(y=\cot\theta=\dfrac{\cos\theta}{\sin\theta}\), encuentra \(\dfrac{dy}{d\theta}\).
Solución. \[\begin{align} \frac{dy}{d\theta} &= \frac{-\sin^2\theta - \cos^2 \theta}{\sin^2 \theta}\\ &= -(1+\cot^2 \theta) = -\text{csc}^2 \theta. \end{align}\]
Ejemplo 15.6. Si \(y=\tan 3\theta\), encuentra \(\dfrac{dy}{d\theta}\).
Solución. Sea \(3\theta=v\);\(y=\tan v\);\(\dfrac{dy}{dv}=\sec^2 v\). \[\frac{dv}{d\theta}=3;\quad \frac{dy}{d\theta}=3 \sec^2 3\theta.\]
Ejemplo 15.7. Si \(y = \sqrt{1+3\tan^2\theta}\), encuentra \(\dfrac{dy}{d\theta}\).
Solución. \(y=(1+3 \tan^2 \theta)^{\frac{1}{2}}\).
Sea \(3\tan^2\theta=v\). \[y = (1+v)^{\frac{1}{2}};\quad \frac{dy}{dv} = \frac{1}{2\sqrt{1+v}} \] \[\frac{dv}{d\theta} = 6\tan\theta \sec^2 \theta \] (ya que, si \(\tan \theta = u\), \[\begin{align} v &= 3u^2;\quad \frac{dv}{du} = 6u;\quad \frac{du}{d\theta} = \sec^2 \theta; \end{align}\] de ahí que \(\displaystyle \frac{dv}{d\theta}= 6 \tan \theta \sec^2 \theta\);)
de ahí que \[\begin{align} \frac{dy}{d\theta} &= \frac{6\tan\theta \sec^2\theta}{2\sqrt{1 + 3\tan^2\theta}}. \end{align}\]
Ejemplo 15.8. Si \(y=\sin x \cos x\), encuentra \(\dfrac{dy}{dx}\) .
Solución. \[\begin{align} \frac{dy}{dx} &= \sin x(-\sin x) + \cos x \times \cos x = \cos^2 x - \sin^2 x. \end{align}\]
Ejercicios
Ejercicio 15.1. Diferencia los siguientes: \[\begin{align} \text{(i)}\quad y &= A \sin\left(\theta - \frac{\pi}{2}\right).\\ \text{(ii)}\quad y &= \sin^2 \theta;\quad \text{y}\quad y = \sin 2\theta.\\ \text{(iii)}\quad y &= \sin^3 \theta;\quad \text{y}\quad y = \sin 3\theta. \end{align}\]
Respuesta
(i) \(\dfrac{dy}{d\theta} = A \cos \left( \theta - \dfrac{\pi}{2} \right)\);
(ii) \(\dfrac{dy}{d\theta} = 2\sin\theta \cos\theta = \sin2\theta\) y \(\dfrac{dy}{d\theta} = 2\cos2\theta\);
(iii) \(\dfrac{dy}{d\theta} = 3\sin^2 \theta \cos\theta\) y \(\dfrac{dy}{d\theta} = 3\cos3\theta\).
Solución
(i) \(\displaystyle y=A \sin \left(\theta-\frac{\pi}{2}\right)\)
Escribimos \[y=A \sin u \quad \text { donde }\quad u=\theta-\frac{\pi}{2}\] Usando la Regla de la Cadena: \[\begin{align} \frac{d y}{d \theta}&= \frac{d y}{d u} \cdot \frac{d u}{d \theta} \\ & =(A \cos u)(1) \\ & =A \cos \left(\theta-\frac{\pi}{2}\right) \end{align}\]
(ii) Si \(y =\sin ^{2} \theta=(\sin \theta)^{2}\)
Sea \[y =u^{2} \quad \text { donde }\quad u=\sin \theta\] Usando la Regla de la Cadena: \[\begin{align} \frac{d y}{d \theta} & =\frac{d y}{d u} \cdot \frac{d u}{d \theta} \\ & =2 u \cdot \cos \theta \\ & =2 \sin \theta \cos \theta \end{align}\] El resultado también se puede escribir como \(\sin 2 \theta\) ya que \(\sin 2 \theta=2 \sin \theta \cos \theta.\)
Si \(y=\sin 2 \theta\), sea \[y=\sin u\quad \text { donde }\quad u=2 \theta.\] Usando la Regla de la Cadena: \[\begin{align} \frac{d y}{d \theta}&=\frac{d y}{d u} \cdot \frac{d u}{d \theta} \\ &=(\cos u)(2) \\ &=2 \cos (2 \theta) \end{align}\] Si \(y=\sin ^{3} \theta=(\sin \theta)^{3}\), escribimos \[y=u^{3}\quad \text{donde}\quad u=\sin \theta\] Luego, usando la Regla de la Cadena \[\begin{align} \frac{d y}{d \theta}&=\frac{d y}{d u} \cdot \frac{d u}{d \theta} \\ &=3 u^{2} \cdot \cos \theta \\ &=3(\sin \theta)^{2} \cdot \cos \theta \\ &=3 \cos \theta \sin ^{2} \theta \\ &=(\cos u) \cdot(3) \\ &=3 \cos 3 \theta \cdot \sin 3 \theta \end{align}\] Si \(y=\sin 3\theta\), escribimos \[y=\sin u\quad\text{donde}\quad u=3\theta\] Luego \[\begin{align} \frac{dy}{d \theta}&=\frac{d y}{d u} \cdot \frac{d u}{d \theta} \\ &=(\cos u)(3)\\ &=3\cos {3\theta} \end{align}\]
Ejercicio 15.2. Encuentra el valor de \(\theta\) para el cual \(\sin\theta \times \cos\theta\) es un máximo.
Respuesta
\(\theta = 45^\circ\) o \(\dfrac{\pi}{4}\) radianes.
Solución
\[y=\sin \theta \cos \theta\]
Método 1) Usando la Regla del Producto:
\[\begin{align} \frac{d y}{d \theta}&=\cos \theta \cdot \cos \theta-\sin \theta \sin \theta \\ &=\cos ^{2} \theta-\sin ^{2} \theta \\ &=\cos 2 \theta \end{align}\] \[\frac{d y}{d \theta}=\cos 2 \theta=0\ \Leftrightarrow\ 2 \theta=\frac{\pi}{2}\ \text { o }\ 2 \theta=\frac{3 \pi}{2}\] \[\frac{d y}{d \theta}=0\quad \Leftrightarrow \quad \theta=\frac{\pi}{4} \quad \text { o } \quad \theta=\frac{3 \pi}{4}\] \[\begin{align} \frac{d^{2} y}{d \theta^{2}}&= \frac{d(\cos 2 \theta)}{d(2 \theta)} \cdot \frac{d(2 \theta)}{d \theta} \\ &=(-\sin 2 \theta)(2) \\ &=-2 \sin 2 \theta \end{align}\] Cuando \(\theta=\dfrac{\pi}{4}\) \[\frac{d^{2} y}{d \theta^{2}}=-2<0\] Por lo tanto, la curva es cóncava hacia abajo, y así cuando \(\theta=\dfrac{\pi}{4}\), \(y\) tiene un máximo de \[\sin \left(\frac{\pi}{4}\right) \cos \left(\frac{\pi}{4}\right)=\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{1}{2}.\]
Cuando \(\theta=\dfrac{3 \pi}{4}\) \[\frac{d^{2} y}{d \theta^{2}}=-2 \sin \left(\frac{3 \pi}{2}\right)=2>0\] entonces, la curva es cóncava hacia arriba y así cuando \(\theta=\dfrac{3 \pi}{4}\), \(y\) tiene un mínimo de \[\begin{align} \sin \left(\frac{3 \pi}{4}\right) \cos \left(\frac{3 \pi}{4}\right) & =\sin \left(\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{4}\right) \cos \left(\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{4}\right) \\ & =\cos \left(\frac{\pi}{4}\right) \times\left(-\sin \left(\frac{\pi}{4}\right)\right) \\ & =\frac{1}{\sqrt{2}} \times \frac{-1}{\sqrt{2}} \\ & =-\frac{1}{2}. \end{align}\]
Método 2)
\[y=\sin \theta \cdot \cos \theta=\frac{1}{2} \sin 2 \theta\] \(y\) es un máximo donde \(\sin 2 \theta\) es un máximo y eso ocurre cuando \[2 \theta=\frac{\pi}{2} \text { o } \quad \theta=\frac{\pi}{4}\] El máximo de \(y\) es entonces \(\frac{1}{2} \cdot \sin \left(\frac{\pi}{2}\right)=\frac{1}{2}\).
Ejercicio 15.3. Diferencia \(y=\dfrac{1}{2\pi} \cos (2\pi nt)\).
Respuesta
\(\dfrac{dy}{dt} = -n \sin 2\pi nt\).
Solución
\[y=\frac{1}{2 \pi} \cos (2 \pi n t)\] Escribimos \[y=\frac{1}{2 \pi} \cos u \quad \text { donde }\quad u=2 \pi n t\] \[\begin{align} \frac{d y}{d t} &= \frac{d y}{d u} \cdot \frac{d u}{d t} \\ &=-\frac{1}{2 \pi} \sin u \cdot 2 \pi n \\ &=-n \sin u \\ &= n \sin (2 \pi n t) \end{align}\]
Ejercicio 15.4. Si \(y = \sin a^x\), encuentra \(\dfrac{dy}{dx}\).
Respuesta
\(a^x \ln a \cos a^x\).
Solución
\[y=\sin \left(a^{x}\right)\] Sea \(y=\sin u\) donde \(u=a^{x}\). Entonces \[\begin{align} \frac{d y}{d x} & =\frac{d y}{d u} \cdot \frac{d u}{d x} \\ & =\cos u \cdot a^{x} \cdot \ln a \\ & =\cos \left(a^{x}\right) \cdot a^{x} \cdot \ln a \end{align}\]
Ejercicio 15.5. Diferencia \(y=\ln \cos x\).
Respuesta
\(\dfrac{\cos x}{\sin x} = \cot x\)
Solución
\[y=\ln \cos x\]
Escribimos \(y=\ln u\) donde \(u=\cos x\). Entonces
\[\begin{align} \frac{d y}{d x} & =\frac{d y}{d u} \cdot \frac{d u}{d x} \\ & =\frac{1}{u} \cdot(-\sin x) \\ & =\frac{1}{\cos x}(-\sin x) \\ & =-\tan x \end{align}\]
Ejercicio 15.6. Diferencia \(y=18.2 \sin(x+26)\).
Respuesta
\(18.2 \cos \left(x + 26 \right)\).
Solución
\[y=18.2 \sin (x+26)\]
Escribimos \(y=18.2 \sin u\) donde \(u=x+26\). Entonces
\[\begin{align} \frac{d y}{d x} & =\frac{d y}{d u} \cdot \frac{d u}{d x} \\ & =(18.2 \cos u)(1) \\ & =18.2 \cos (x+26) \end{align}\]
Ejercicio 15.7. Grafica la curva \(y=10 \sin\left(\theta-\dfrac{\pi}{12}\right)\); y muestra que la pendiente de la curva en \(\theta = \dfrac{5\pi}{12}\) es la mitad de la pendiente máxima.
Respuesta
La pendiente es \(\dfrac{dy}{d\theta} = 100\cos\left(\theta -\frac{\pi}{12} \right)\), que es máxima cuando \((\theta -\frac{\pi}{12}) = 0\), o \(\theta = \frac{\pi}{12}\); el valor de la pendiente siendo entonces \({}= 100\). Cuando \(\theta = \frac{5\pi}{12}\) la pendiente es \(100\cos\left(\frac{5\pi}{12} - \frac{\pi}{12}\right) = 100\cos \frac{\pi}{3} = 100 \times \frac{1}{2} = 50\).
Solución
\[\begin{align} & y=10 \sin \left(\theta-\frac{\pi}{12}\right) \\ & \frac{d y}{d \theta}=10 \cos \left(\theta-\frac{\pi}{12}\right) \end{align}\]
Para encontrar la pendiente máxima, tenemos que diferenciar \(\dfrac{d y}{d \theta}\) con respecto a \(\theta\) y equacionar el resultado a cero
\[\frac{d\left(\dfrac{d y}{d \theta}\right)}{d \theta}=\frac{d^{2} y}{d \theta^{2}}=-10 \sin \left(\theta-\frac{\pi}{12}\right)=0\]
\[\begin{align} \frac{d^{2} y}{d \theta^{2}}=0\quad\Leftrightarrow &\quad \theta-\frac{\pi}{12}=0 \quad \text { o } \quad \theta-\frac{\pi}{12}=\pi \\ \frac{d^{2} y}{d \theta^{2}}=0\quad \Leftrightarrow &\quad \theta=\frac{\pi}{12} \quad \text { o } \quad \theta=\frac{13 \pi}{12} \end{align}\]
Cuando \(\theta=\dfrac{\pi}{12}\) \[\frac{d y}{d \theta}=10 \cos 0=10\quad (\text {pendiente máxima})\]
Cuando \(\theta=\dfrac{13 \pi}{12}\) \[\frac{d y}{d \theta}=10 \cos (\pi)=-10 \quad (\text {pendiente mínima})\]
Pendiente cuando \(\theta=\dfrac{5 \pi}{12}\): \[\begin{align} \frac{d y}{d \theta} & =10 \cos \left(\frac{5 \pi}{12}-\frac{\pi}{12}\right)=10 \cos \left(\frac{\pi}{3}\right) \\ & =10 \times \frac{1}{2}=5 . \end{align}\] Como podemos ver, la pendiente de la curva en \(\theta=\frac{5 \pi}{12}\), que es 5, es la mitad de la pendiente máxima, que es 10 y ocurre cuando \(\theta=\frac{\pi}{12}.\)
Ejercicio 15.8. Si \(y=\sin \theta\cdot\sin 2\theta\), encuentra \(\dfrac{dy}{d\theta}\).
Respuesta
\[\begin{align} \cos\theta \sin2\theta + 2\cos2\theta \sin\theta &= 2\sin\theta\left(\cos^2 \theta + \cos2\theta\right) \\ &= 2\sin\theta\left(3\cos^2 \theta - 1\right). \end{align}\]
Solución
\[y=\sin \theta \cdot \sin 2 \theta\]
Usando la Regla del Producto:
\[\frac{d y}{d \theta}=\frac{d(\sin \theta)}{d \theta} \cdot \sin 2 \theta+\sin \theta \frac{d(\sin 2 \theta)}{d \theta}\]
Mostramos en el Ejercicio 1 (ii) que \(\dfrac{d(\sin 2 \theta)}{d \theta}=2 \cos 2 \theta\).
Por lo tanto,
\[\frac{d y}{d \theta}=\cos \theta \cdot \sin 2 \theta+2 \sin \theta \cos 2 \theta\]
Podemos simplificarlo aún más usando
\[\sin 2 \theta=2 \sin \theta \cos \theta\] y \[\cos 2 \theta=2 \cos ^{2} \theta-1.\]
\[\begin{align} \frac{d y}{d \theta} & =2 \sin \theta \cos ^{2} \theta+2 \sin \theta\left(2 \cos ^{2} \theta-1\right) \\ & =2 \sin \theta\left(\cos ^{2} \theta+2 \cos ^{2} \theta-1\right) \\ & =2 \sin \theta\left(3 \cos ^{2} \theta-1\right) . \end{align}\]
Ejercicio 15.9. Si \(y=a\cdot\tan^m(\theta^n)\), encuentra la derivada de \(y\) con respecto a \(\theta\).
Respuesta
\(amn\theta^{n-1} \tan^{m-1}\left(\theta^n\right)\sec^2 \theta^n\).
Solución
\[y=a \tan ^{m}\left(\theta^{n}\right)=a\left[\tan \left(\theta^{n}\right)\right]^{m}\] Escribimos \[y=a u^{m}\quad\text{ donde }\quad u=\tan v\ \text{ y }\ v=\theta^{n}.\] Entonces
\[\begin{align} & \frac{d y}{d \theta}=\frac{d y}{d u} \cdot \frac{d u}{d v} \cdot \frac{d v}{d \theta} \\ &=a m u^{m-1} \cdot \sec ^{2} v \cdot n \cdot \theta^{n-1} \\ &=a m (\tan v)^{m-1} \cdot \sec ^{2} v \cdot n \cdot \theta^{n-1} \\ &=a \cdot m \cdot n \cdot\left[\tan \left(\theta^{n}\right)\right]^{m-1} \cdot \sec ^{2}\left(\theta^{n}\right) \cdot \theta^{n-1} \end{align}\] Nótese que \(\sec ^{2}\left(\theta^{n}\right)\) significa \(\left[\sec \left(\theta^{n}\right)\right]^{2}\) y \(\left[\tan \left(\theta^{n}\right)\right]^{m-1}\) se puede escribir como \(\tan ^{m-1}\left(\theta^{n}\right)\). Por lo tanto, \[\frac{d y}{d \theta}=a m n \theta^{n-1} \tan ^{m-1}\left(\theta^{n}\right) \sec ^{2}\left(\theta^{n}\right)\]
Ejercicio 15.10. Si \(y=e^x \sin^2 x\), encuentra \(\dfrac{dy}{dx}\) y \(\dfrac{d^2y}{dx^2}\).
Respuesta
\(e ^x \left(\sin^2 x + \sin2x\right)\);\(e ^x \left(\sin^2 x + 2\sin2x + 2\cos2x\right)\).
Solución
\[y=e^{x} \sin ^{2} x=e^{x}(\sin x)^{2}\]
\[\frac{d y}{d x}=\frac{d\left(e^{x}\right)}{d x} \sin ^{2} x+e^{x} \frac{d\left(\sin ^{2} x\right)}{d x}\]
Para encontrar \(\dfrac{d\left(\sin ^{2} x\right)}{d x}\), notamos que
\[\sin ^{2} x=(\sin x)^{2}\]
y
\[\begin{align} \frac{d\left(u^{2}\right)}{d x} & =\frac{d\left(u^{2}\right)}{d u} \cdot \frac{d u}{d x} \qquad(u=\sin x) \\ & =2 u \cdot \cos x \\ & =2 \sin x \cos x \\ & =\sin 2 x \end{align}\] Por lo tanto, \[\begin{align} \frac{d y}{d x} & =\frac{d\left(e^{x}\right)}{d x} \sin ^{2} x+e^{x} \frac{d\left(\sin ^{2} x\right)}{d x} \\ & =e^{x} \sin ^{2} x+e^{x} \sin 2 x \\ & =e^{x}\left(\sin ^{2} x+\sin 2 x\right) \end{align}\]
La segunda derivada: \[\begin{align} \frac{d y}{d x}&= \frac{d\left(e^{x}\left(\sin ^{2} x+\sin 2 x\right)\right)}{dx}\\ &=\frac{d(e^x)}{dx}\left(\sin ^{2} x+\sin 2 x\right)+e^x\left(\frac{d(\sin^2 x)}{dx}+\frac{d(\sin 2x)}{dx}\right)\\ &=e^x\left(\sin ^{2} x+\sin 2 x\right)+e^x\left(\underbrace{2\cos x \sin x}_{\sin 2x}+2\cos 2x\right)\\ &=e^x\left(\sin^2 x+2\sin 2x+2\cos 2x\right). \end{align}\]
Ejercicio 15.11. Diferencia las tres ecuaciones de Ejercicios 14.II (ver aquí), No. 4, y compara sus derivadas, en cuanto a si son iguales, o aproximadamente iguales, para valores muy pequeños de \(x\), o para valores muy grandes de \(x\), o para valores de \(x\) en el vecindario de \(x=b\).
Respuesta
\(\left(i\right) \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{ab}{\left(x + b\right)^2}\); (ii) \(\dfrac{a}{b} e ^{-\frac{x}{b}}\); (iii) \(\dfrac{2ab}{\pi}\cdot\dfrac{1}{\left(b^2 + x^2\right)}\).
Solución
(i) Usando la Regla del Cociente: \[\frac{d y}{d x}=\frac{a(x+b)-a x}{(x+b)^{2}}=\frac{a b}{(x+b)^{2}}\]
(ii) \(\dfrac{d y}{d x}=-a \times\left(-\frac{1}{b}\right) e^{-\frac{x}{b}}=\frac{a}{b} e^{-\frac{x}{b}}\)
(iii) Para diferenciar \(y=\dfrac{2 a}{\pi} \arctan \left(\frac{x}{b}\right)\), escribimos \[y =\frac{2 a}{\pi} \arctan u \quad\text{donde}\quad u=\frac{x}{b}.\] Luego, \[\begin{align} \frac{d y}{d x} & =\frac{d y}{d u} \cdot \frac{d u}{d x} \\ & =\frac{2 a}{\pi} \frac{1}{1+u^{2}} \cdot \frac{1}{b} \\ & =\frac{2 a}{\pi b} \frac{1}{1+\left(\frac{x}{b}\right)^{2}} \\ & =\frac{2 a b}{\pi} \frac{1}{x^{2}+b^{2}} \end{align}\]
Cuando \(x\) es muy grande
\[\begin{align} & \frac{a b}{(x+b)^{2}} \approx \frac{a b}{x^{2}} \approx 0 \\ & \frac{a}{b} e^{-\frac{x}{b}} \approx \frac{a}{b} \times 0=0 \\ & \frac{2 a b}{x^{2}+b^{2}} \approx \frac{2 a b}{x^{2}} \approx 0 \end{align}\]
Por lo tanto, sus pendientes son casi cero para valores grandes de \(x\).
Cuando \(x \approx 0\) \[\begin{align} & \frac{a b}{(x+b)^{2}} \approx \frac{a b}{b^{2}}=\frac{a}{b} \\ & e^{-\frac{x}{b}} \approx 1 \Rightarrow \frac{a}{b} e^{-\frac{x}{b}} \approx \frac{a}{b} \\ & \frac{2 a b}{x^{2}+b^{2}} \approx \frac{2 a b}{b^{2}}=\frac{2 a}{b} \end{align}\] Cuando \(x\) es pequeño (\(x\approx 0\)), las pendientes de \(y=\frac{a x}{x+b}\) y \(y=a\left(1-e^{-\frac{x}{b}}\right)\) son casi idénticas, pero la pendiente de \(\frac{2 a}{\pi} \arctan \left(\frac{x}{b}\right)\) es el doble de las otras.
Cuando \(x \approx b\) \[\begin{align} & \frac{a b}{(x+b)^{2}} \approx \frac{a b}{(2 b)^{2}}=\frac{a}{4 b} \\ & \frac{a}{b} e^{-\frac{x}{b}} \approx \frac{a}{b} \cdot e^{-1}=\frac{a}{2.78 b} \\ & \frac{2 a b}{x^{2}+b^{2}} \approx \frac{2 a b}{2 b^{2}}=\frac{a}{b} . \end{align}\]
Ejercicio 15.12. Diferencia los siguientes: \[\begin{align} \text{(i)}\quad y &= \sec x. & \text{(ii)}\quad y &= \arccos x. \\ \text{(iii)}\quad y &= \arctan x. & \text{(iv)}\quad y &= \text{arcsec} x. \\ \text{(v)}\quad y &= \tan x \times \sqrt{3 \sec x}. && \end{align}\]
Respuesta
(i) \(\dfrac{dy}{dx} = \sec x \tan x\);
(ii) \(\dfrac{dy}{dx} = - \dfrac{1}{\sqrt{ 1 - x^2}}\);
(iii) \(\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{1}{ 1 + x^2}\);
(iv) \(\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{1}{|x| \sqrt{ x^2 - 1}}\);
(v) \(\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{\sqrt{ 3\sec x} \left(3\sec^2 x - 1\right)}{2}\).
Solución
(i) \(y=\sec x=\dfrac{1}{\cos x}\)
Usando la Regla del Cociente \[\begin{align} \frac{d y}{d x} & =\frac{-(-\sin x)}{\cos ^{2} x}=\frac{\sin x}{\cos x} \cdot \frac{1}{\cos x} \\ & =\tan x \cdot \sec x . \end{align}\]
(ii) \(y=\arccos x\) (o \(y=\cos ^{-1} x\) )
Si \(y=\arccos x\), entonces \(x=\cos y\) y \[\frac{d x}{d y}=-\sin y\]
\[\begin{align} \frac{d y}{d x} & =\frac{1}{\frac{d x}{d y}} \\ & =\frac{1}{-\sin y} \end{align}\] Dado que \(\sin y= \pm \sqrt{1-\cos ^{2} y}\) \[\frac{d y}{d x}=\frac{1}{-\sqrt{1-\cos ^{2} y}}\] Dado que \(x=\cos y\) \[\frac{d y}{d x}=\frac{1}{\mp \sqrt{1-x^{2}}}\] Pero ¿cuál es correcto? ¿El signo \(-\) o el signo \(+\)? Si observamos el gráfico de \(y=\arccos x\), la pendiente es negativa en todas partes.
Por lo tanto, \[\frac{d(\arccos x)}{d x}=\frac{-1}{\sqrt{1-x^{2}}}\]
(iii) Si \(y=\arctan x\), entonces \(x=\tan y\) y
\[\frac{d x}{d y}=1+\tan ^{2} y \quad\left(\text { o } \sec ^{2} y\right)\] Por lo tanto,
\[\begin{align} \frac{d y}{d x} & =\frac{1}{\dfrac{d x}{d y}} \\ & =\frac{1}{1+\tan ^{2} y} \\ & =\frac{1}{1+x^{2}} \end{align}\]
(iv) Si \(y=\operatorname{arcsec} x\) entonces \(x=\sec y\). En la parte (i), mostramos que
\[\frac{d x}{d y}=\tan y \cdot \sec y \text {. }\] Por lo tanto, \[\begin{align} \frac{d y}{d x} & =\frac{1}{\dfrac{d x}{d y}} \\ & =\frac{1}{\tan y \cdot \sec y} \end{align}\] Dado que \(1+\tan ^{2} y=\sec ^{2} y \Rightarrow \tan y= \pm \sqrt{\sec ^{2} y-1}\), tenemos \[\begin{align} \frac{d y}{d x} & =\frac{1}{ \pm \sqrt{\sec ^{2} y-1} \cdot \sec y} \\ & =\frac{1}{ \pm x \sqrt{x^{2}-1}} . \end{align}\]
Ahora necesitamos decidir sobre el signo.
Como podemos ver en el gráfico \(y=\operatorname{arcsec} x\), la pendiente es siempre positiva. Por lo tanto, debemos tener
\[\begin{align} & \frac{d y}{d x}=\frac{1}{x \sqrt{x^{2}-1}} &&\text { si } x \geq 1 \\ & \frac{d y}{d x}=\frac{1}{-x \sqrt{x^{2}-1}} &&\text { si } x \leq-1 \end{align}\] Podemos combinar estos dos y escribir \[\frac{d y}{d x}=\frac{1}{|x| \sqrt{x^{2}-1}}\]
(v) \(y=\tan x\times \sqrt{3 \sec x}=\sqrt{3}\, \tan x \cdot \sqrt{\sec x}\).
Usando la Regla del Producto: \[\frac{d y}{d x}=\sqrt{3}\left[\frac{d(\tan x)}{d x} \cdot \sqrt{\sec x}+\tan x \frac{d(\sqrt{\sec x})}{d x}\right]\]
Para encontrar \(\dfrac{d\left(\sqrt{\sec x}\right)}{d x}\), sea \(u=\sec x\). Entonces,
\[\begin{align} \frac{d(\sqrt{u})}{d x} & =\frac{