Ejemplos de derivadas

Ejemplo 1.

$y=f(x)=x.$

$$\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\frac{(x+h)-x}{h}=\frac{h}{h}=1.$$

A medida que $h⟶0$, esto no se ve afectado, por lo tanto se considera que se aproxima a 1 (ya que está cerca de 1 cuando $h$ está cerca de cero). Así tenemos

y' = f'(x) = 1\quad \text{ para todo } x.

Ejemplo 2.

$y=f(x)=c$,
es decir, $f(x)$ es una constante $c$ para todo $x$. (Si prefiere ver una "$x$" en una función de $x$, puede escribir $f(x)=(x+c)-x.)$

$$\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\frac{c-c}{h}=0,$$

que no cambia cuando $h$ se aproxima a 0. Así, f'(x) = 0 en este caso para todo $x.$

Ejemplo 3.

$y=f(x)=x^n,$ $n$ un entero positivo.

\begin{aligned} \frac{f(x+h)- f(x)}{h}& = \frac{(x+h)^n - x^n}{h}\\ &= \frac{x^n + nx^{n-1}h + \frac{n(n-1)}{2} x^{n-2} h^{2} + \dots + nxh^{n-1} + h^n - x^n}{h}\\ &= nx^{n-1} + \frac{n(n-1)}{2} x^{n-2} h + \dots + nxh^{n-2} + h^{n-1} . \end{aligned}

Cuando $h\to 0$, todos los términos excepto el primero tienden a cero, y su suma igualmente tiende a cero. (Esto parece bastante obvio, pero eventualmente lo demostraremos.) Así, f'(x) = nx^{n-1}.

Ejemplo 4.

$y=f(x)=x^{p/q}$ (esto solo está definido para $x\ge 0$.)

$$\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\frac{(x+h{)}^{p/q}-x^{p/q}}{h}.$$

Sea $u=(x+h{)}^{1/q},v=x^{1/q}$. Entonces cuando $h\to 0,u\to v$. También $x+h=u^q,x=v^q$, y $h=u^q-v^q$. El cociente de diferencias se convierte en

$$\frac{u^p-v^p}{u^q-v^q}=\frac{(u-v)(u^{p-1}+u^{p-2}v+\cdots +u{v}^{p-2}+v^{p-1})}{(u-v)(u^{q-1}+u^{q-2}v+\cdots +u{v}^{q-2}+v^{q-1})}$$$$=\frac{u^{p-1}+u^{p-2}v+\cdots +u{v}^{p-2}+v^{p-1}}{u^{q-1}+u^{q-2}v+\cdots +u{v}^{q-2}+v^{q-1}}.$$

El numerador consta de $p$ términos, cada uno con aproximación a $v^{p-1}$, y el denominador consta de $q$ términos, cada uno con aproximación a $v^{q-1}$. El cociente entonces se aproxima a

$$\frac{p{v}^{p-1}}{q{v}^{q-1}}=\frac{p}{q}{v}^{p-q}=\frac{p}{q}(x^{1/q}{)}^{p-q}=\frac{p}{q}{x}^{(p-q)/q}=\frac{p}{q}{x}^{\frac{p}{q}-1}.$$

Aquí hemos asumido $x\ne 0$, y que el límite de un cociente es el cociente de los límites si el denominador no se aproxima a cero. Así

f'(x) = \frac{p}{q} x^{\frac{p}{q}-1} ,

y hemos demostrado que si $f(x)=x^a$, $a$ un número racional positivo, es decir, un cociente de enteros positivos, entonces

f'(x)=a x^{a-1}.