梁的剪力与弯矩

为了确定梁安全承受外加荷载的能力，有必要了解梁内力的分布。这一问题的完整解答在《弹性理论》和《材料力学》的书籍中有所介绍，但求解过程中必不可少的首要步骤仅涉及静力学原理。

为了求梁在某一特定截面处的内力，可以设想在该截面处将梁切开，并画出梁其中一部分的受力图。例如，考虑如图 1a 所示的承受单个集中荷载的简支梁，并假设我们希望知道梁在距离左侧支座反力为 $x$ 的截面处的内力。

在图 1b 中，梁在截面 $x$ 处被切开，显示为两个受力图。作用在切开横截面上的实际力可以如本例所示来表示，但就我们目前的目的而言，我们只需要垂直于梁轴线的所有力的合力，我们称之为梁内的剪力 $V$，以及由梁上部的压应力和梁下部的拉应力所组成的力偶矩，我们称之为梁内的弯矩 $M$。我们目前的目标是确定梁每个截面上的剪力和弯矩。从图 1a 所示的梁的完整受力图，可以求出两个支座反力 $R_1$ and $R_2$。因此，图 1b 中梁任一端的受力图将仅包含两个未知量 $V$ 和 $M$，从而可以直接从静力学方程中求出。为了确定 $V$ 和 $M$ 的符号规定，我们注意到左侧截面上的剪力向下，而右侧截面上的剪力（作为另一个力的等值反向作用力）向上。然而，为了使梁中某一点的剪力具有统一的符号，我们采用以下规定：如果梁中的剪切方向使得梁的右侧部分相对于左侧部分有向下移动的趋势，则该点处的剪力为正。出于类似的原因，使梁向上凹弯曲的弯矩被称为正弯矩。这些规定如图 2 所示。

剪力和弯矩沿梁的变化方式通常通过在梁下方绘制图表来表示，如下面的示例所示。需要注意的是，对于梁的两个部分，计算出的剪力和弯矩是相同的。人们通常选择受力较少的那部分梁作为受力图。

弯矩图可以直接根据已知的梁荷载通过作图法绘制。该方法直接源于通过索多边形图解确定弯矩的讨论。由于根据定义，梁上某一点的弯矩是该点一侧梁上所有力的力矩之和，因此在本题中绘制的索多边形就是该梁的弯矩图。

例 1. 绘制如图 3 所示的承受两个集中荷载的简支梁的剪力图和弯矩图。

解答. 从整根梁的受力图（图 4）中，可以求出支座反力：

$\sum M_A=0=-(2)(1000)-(6)(2000)+(10)\left(R_2\right);R_2=1400\mathrm{lb}$

$\sum F_y=0=R_1+1400-1000-2000;R_1=1600\mathrm{lb}$

为了求出 $R_1$ 与 1000 磅荷载之间任意点处的剪力，画出截面 $C$ 左侧部分梁的受力图（图 5）：

对于梁的下一段（在 1000 磅荷载与 2000 磅荷载之间），我们画出截面 $D$ 左侧部分梁的受力图（图 6）。

对于梁的其余部分，我们画出截面 $E$ 右侧部分梁的受力图（图 7）：

请注意，在所有的受力图中，未知的剪力和弯矩都已按正方向表示。在列出静力学方程时，使用了通常的符号规定。

现在可以为整根梁绘制剪力图和弯矩图，如下所示（图 8）：

例 2. 绘制如图 9 所示的承受均布荷载的悬臂梁的剪力图和弯矩图。

解答. 从整根梁的受力图，可以确定支座反力和反力矩（图 10）：

为了求出梁中任意点处的剪力和弯矩，我们画出截面 $A$ 左侧部分梁的受力图，该截面距离梁的左端为距离 $x$（图 11）：

绘制这些表达式的图线可得（图 12）：

对于本题，如果从梁的右端开始测量 $x$，并画出该段截面的受力图（图 13），效果会更好。这样就可以避免确定梁支座反力的必要：

可以看出，这些表达式给出的剪力图和弯矩图与上面求得的相同。

6.11.1 习题

对于以下各梁，绘制剪力图和弯矩图，并给出各个重要点处的数值：

1.

答案

$M_{\text{最大}}=20,700\mathrm{ft}\cdot \mathrm{lb}$

2.

答案

$M_{max}=-12,000\mathrm{ft}\cdot \mathrm{lb}$

3.

答案

$M_{\text{最大}}=22,800\mathrm{ft}\cdot \mathrm{lb}$

4.

答案

$M_{\text{最大}}=-27,000\mathrm{ft}\cdot \mathrm{lb}$

5.

答案

$M_{\text{最大}}=-16,670\mathrm{ft}\cdot \mathrm{lb}$

6.

答案

$M_{max}=6,480\mathrm{ft}\cdot \mathrm{lb}$