主应力

之前，我们讨论了平面应力问题中的主应力。我们了解到，如果 $σ_{1}$ 和 $σ_{2}$ 是二维问题中的主应力，那么它们对应的平面上没有剪应力，并且它们是最大和最小正应力。

在本节中，我们想再次回答这个问题：是否存在一个平面，其上的应力矢量是纯法向的，没有剪切分量？如果这样的平面存在，我们称它们的法线方向为主方向，相应的正应力为主应力。

纯正应力的条件

之前，我们了解到，对于单位法向量为 $\hat{𝐧}$ 的斜平面，其牵引矢量（也称为应力矢量）可以通过以下公式计算：其中 $𝝈$ 是应力张量。此外，一般来说，应力矢量可以分解为两个分量：正应力 $σ_{n}$ ，垂直于平面作用；以及剪应力 $τ_{n}$ ，平行于平面作用。

正应力 $σ_{n}$ 是牵引矢量在法线方向上的投影：剪切分量是牵引矢量剩余部分的大小：我们的目标是找到一个剪切分量为零的平面（ $τ_{n} = 0$ ）。这个条件当且仅当牵引矢量 $𝐭$ 平行于法向量 $\hat{𝐧}$ 时满足。从数学上讲，这意味着牵引矢量必须是法向量的标量倍：这里，比例标量 $σ_{n}$ 是该平面上的正应力大小。

特征值问题公式化

将方程 (1) 代入方程 (4)，我们得到：这个方程寻找一个方向 $\hat{𝐧}$ ，使得应力张量 $𝝈$ 的作用结果是一个与 $\hat{𝐧}$ 本身平行的矢量。

为了更容易处理，我们可以对这个方程取转置。由于应力张量是对称的（ $𝝈^{T} = 𝝈$ ），前面的方程变为：¹ $𝝈 𝐧^{T} = σ_{n} 𝐧^{T}$ 用矩阵形式表示为：这是一个经典的特征值问题。² 我们正在寻找应力张量 $𝝈$ 的特征值 $σ_{n}$ 和对应的特征向量 $𝐧$ 。

求解主应力和主方向

为了找到使 $𝐧$ 有非零解的 $σ_{n}$ 值，我们将 (6) 的右边写为其中 $I$ 是单位矩阵。然后我们重新排列方程：或等价地当且仅当系数矩阵的行列式为零时， $𝐧$ 有非零解。³ 这就得到了特征方程：展开这个行列式会得到关于 $σ_{n}$ 的三次方程：其中 ⁴

对于任何实对称矩阵，它的所有特征值都是实数。因此，方程 (12) 有三个实解。这个方程的三个根，记作 $σ_{1}, σ_{2}$ 和 $σ_{3}$ （ $σ_{3} \leq σ_{2} \leq σ_{1}$ ）是应力张量的特征值。这些特定的值被称为主应力。

对于每个主应力（特征值），我们可以求解线性方程组来找到对应的特征向量 $𝐧$ 。这些向量定义了主方向。法向量与这些主方向对齐的平面称为主平面。

根据线性代数，我们知道有三种不同的情况： 1. 如果主应力各不相同，那么三个主方向相互正交。纯剪切状态就是这种情况的一个例子。 2. 可能有两个主应力相等，但第三个不同。纯拉伸应力是这种情况的一个例子。在这种情况下，对应于不同主应力的主方向（特征向量）垂直于一个平面。该平面内的任何方向都是主方向。因此，在这个平面内，我们可以选择两个不同的方向，与该平面的法线一起构成三个相互正交的方向。 3. 所有主应力都相等。在这种情况下，每个方向都是主方向，显然我们可以找到三个相互正交的方向。

从这三种情况中，我们了解到，总是可以找到一个立方体（每个面垂直于一个主方向），使得该立方体的面上没有剪应力。

因此，对于任何给定的应力状态，都存在三个相互垂直的平面，称为主平面，在这些平面上剪应力分量为零。作用在这些平面上的应力是纯法向的，这些应力的大小就是主应力，它们通过求解应力张量的特征值问题来得到。

如何求主应力

与其构造特征方程 (12)： $σ_{n}^{3} - I_{1} σ_{n}^{2} - I_{2} σ_{n} - I_{3} = 0$ 并尝试求解（例如，数值求解），我们可以利用数学软件包，如 NumPy、MATLAB、Mathematica 或 Wolfram Alpha。这些工具能够求解方阵的特征值（主应力）和特征向量（主方向）。

注意，这些程序返回的特征向量通常不是单位向量（即，它们的长度不等于 1）。如果我们需要找到某个主方向的方向余弦，我们必须通过将对应的特征向量的每个分量除以该向量的模（长度）来进行归一化。

应力张量的不变量

主应力是物理量，其值与给定应力分量所用的坐标系无关。也就是说，它们是应力状态的不变量。无论我们选择哪个坐标系，当我们求出主应力（应力张量矩阵的特征值）时，这些值保持不变。

因为主应力是不变量，所以用于求它们的特征方程的系数也必须对于坐标系的任何旋转保持不变。系数 $I_{1}$ 、 $I_{2}$ 和 $I_{3}$ 分别称为应力张量的第一、第二和第三不变量。

如果我们选择主方向作为新的坐标系，应力看起来像这样： $[\begin{matrix} σ_{a} & 0 & 0 \\ 0 & σ_{b} & 0 \\ 0 & 0 & σ_{c} \end{matrix}]$ 其中， $σ_{b}$ 和 $σ_{c}$ 是主应力。⁵ 并且应力张量的不变量将具有更简单的代数形式：

最大和最小正应力

如果 $σ_{1}$ 、 $σ_{2}$ 和 $σ_{3}$ （满足 $σ_{3} \leq σ_{2} \leq σ_{1}$ ）是三个主应力，我们可以证明，在任何平面上出现的最大正应力是 $σ_{1}$ ，最小正应力是 $σ_{3}$ 。

注意，在排序时，符号被考虑在内，这意味着压应力（视为负值）被认为小于拉应力（视为正值）。

在某点处最大正应力等于应力张量的最大主应力（特征值）这一事实的证明。

1. 公式化为约束优化问题

具有单位法向量 $𝐧$ 的平面上的正应力 $σ_{n}$ 是牵引矢量 $𝐭$ 在 $𝐧$ 方向上的投影。 $σ_{n} = 𝐭 \cdot 𝐧 = (𝐧 𝝈) 𝐧^{T} = 𝐧 𝝈 𝐧^{T}$ 我们希望在约束条件 $𝐧$ 是单位向量： $g (𝐧) = 𝐧 𝐧^{T} - 1 = 0$ 下求此函数的最大值和最小值。

2. 应用拉格朗日乘子法

我们定义拉格朗日函数 $L$ ，其中 $λ$ 是拉格朗日乘子： $L (𝐧, λ) = 𝐧 𝝈 𝐧^{T} - λ (𝐧 𝐧^{T} - 1)$ 当 $L$ 关于 $𝐧$ 的梯度为零向量时，得到稳定点。二次型 $𝐧 𝝈 𝐧^{T}$ 的梯度是 $2 𝐧 𝝈$ （因为 $𝝈$ 是对称的），而 $𝐧 𝐧^{T}$ 的梯度是 $2 𝐧$ 。 $\nabla_{𝐧} L = 2 𝐧 𝝈 - 2 λ 𝐧 = 0$ 这简化为左特征值方程： $𝐧 𝝈 = λ 𝐧$

3. 解释与结论

这一结果表明，仅当法向量 $𝐧$ 是应力张量 $𝝈$ 的（左）特征向量时，正应力达到其极值。这些方向就是主方向。主平面（垂直于主方向）上的应力是一个主应力。

为什么我们关心最大正应力？

脆性材料因拉伸应力而破坏。例如，一块粉笔在弯曲作用下，会在垂直于其长轴的平面上断裂，因为拉伸应力沿着该轴。然而，在扭转时，粉笔在与轴线方向成 45 度的表面上断裂，因为最大拉伸应力出现在 45 度方向。

最大剪应力

我们可以证明最大剪应力为 $τ_{max} = \frac{σ_{1} - σ_{3}}{2} .$ 最大剪应力出现在法向量与对应于 $σ_{1}$ 和 $σ_{2}$ 的主方向成 45 度的平面上（见下图）。

证明：一点的最大剪应力等于最大与最小特征值之差的一半。

步骤 1：在主坐标系中表达剪应力

在与主方向对齐的坐标系中，分析大大简化。在这个基下，应力张量 $𝝈$ 是主应力 $σ_{1}, σ_{2}, σ_{3}$ 的对角矩阵。我们假设排序为 $σ_{1} \geq σ_{2} \geq σ_{3}$ 。 $𝝈 = [\begin{matrix} σ_{1} & 0 & 0 \\ 0 & σ_{2} & 0 \\ 0 & 0 & σ_{3} \end{matrix}]$ 剪应力的平方由 $τ_{n}^{2} = | 𝐭 |^{2} - σ_{n}^{2}$ 给出。我们来表达这些项：

$| 𝐭 |^{2} = 𝐭 𝐭^{T} = (𝐧 𝝈) (𝐧 𝝈)^{T} = (𝐧 𝝈) (𝝈^{T} 𝐧^{T}) = 𝐧 𝝈^{2} 𝐧^{T}$ ，因为 $𝝈$ 是对称且对角的。这给出 $| 𝐭 |^{2} = n_{1}^{2} σ_{1}^{2} + n_{2}^{2} σ_{2}^{2} + n_{3}^{2} σ_{3}^{2}$ 。
$σ_{n}^{2} = (𝐧 𝝈 𝐧^{T})^{2} = (n_{1}^{2} σ_{1} + n_{2}^{2} σ_{2} + n_{3}^{2} σ_{3})^{2}$ 。

我们要最大化的函数是： $τ_{n}^{2} = (n_{1}^{2} σ_{1}^{2} + n_{2}^{2} σ_{2}^{2} + n_{3}^{2} σ_{3}^{2}) - (n_{1}^{2} σ_{1} + n_{2}^{2} σ_{2} + n_{3}^{2} σ_{3})^{2}$ 约束条件为 $n_{1}^{2} + n_{2}^{2} + n_{3}^{2} = 1$ 。

步骤 2：剪应力的详细拉格朗日乘子分析

我们想要求解 $τ_{n}^{2}$ 的驻点。引入乘子 $μ$ ，构造拉格朗日函数 $L$ ： $L (n_{1}, n_{2}, n_{3}, μ) = τ_{n}^{2} - μ (n_{1}^{2} + n_{2}^{2} + n_{3}^{2} - 1)$ 对各个 $n_{k}$ 求偏导数并令其为零。对于 $n_{1}$ ： $\frac{\partial L}{\partial n_{1}} = \frac{\partial (τ_{n}^{2})}{\partial n_{1}} - 2 μ n_{1} = 0$ $τ_{n}^{2}$ 的导数为： $\frac{\partial (τ_{n}^{2})}{\partial n_{1}} = (2 n_{1} σ_{1}^{2}) - 2 (n_{1}^{2} σ_{1} + n_{2}^{2} σ_{2} + n_{3}^{2} σ_{3}) (2 n_{1} σ_{1}) = 2 n_{1} σ_{1}^{2} - 4 n_{1} σ_{1} σ_{n}$ 令 $L$ 的导数为零，得到： $2 n_{1} σ_{1}^{2} - 4 n_{1} σ_{1} σ_{n} - 2 μ n_{1} = 0 ⟹ n_{1} (σ_{1}^{2} - 2 σ_{1} σ_{n} - μ) = 0$ 由对称性，我们得到一个三元方程组： 1. $n_{1} (σ_{1}^{2} - 2 σ_{1} σ_{n} - μ) = 0$ 2. $n_{2} (σ_{2}^{2} - 2 σ_{2} σ_{n} - μ) = 0$ 3. $n_{3} (σ_{3}^{2} - 2 σ_{3} σ_{n} - μ) = 0$

我们来分析 $𝐧$ 的可能解：

情形A： $𝐧$ 的两个分量为零。 设 $n_{1} = 1, n_{2} = 0, n_{3} = 0$ 。这是一个主方向。此时 $σ_{n} = σ_{1}$ ， $| 𝐭 |^{2} = σ_{1}^{2}$ ，因此 $τ_{n}^{2} = σ_{1}^{2} - σ_{1}^{2} = 0$ 。这些点对应于最小剪应力。
情形B： $𝐧$ 的一个分量为零。 设 $n_{3} = 0$ ，并假定 $n_{1} \neq 0$ 且 $n_{2} \neq 0$ 。为使方程组成立，前两个方程中括号内的项必须为零：令这两个 $μ$ 的表达式相等，得到： $σ_{1}^{2} - 2 σ_{1} σ_{n} = σ_{2}^{2} - 2 σ_{2} σ_{n}$ $σ_{1}^{2} - σ_{2}^{2} = 2 σ_{n} (σ_{1} - σ_{2})$ 对左边因式分解： $(σ_{1} - σ_{2}) (σ_{1} + σ_{2}) = 2 σ_{n} (σ_{1} - σ_{2})$ 假设 $σ_{1} \neq σ_{2}$ ，可以除以 $(σ_{1} - σ_{2})$ 以求得该驻点处的正应力值： $σ_{n} = \frac{σ_{1} + σ_{2}}{2}$ 现在利用此结果求 $n_{1}^{2}$ 和 $n_{2}^{2}$ 的值。我们有两个方程：
1. 由 $σ_{n}$ 的定义： $σ_{n} = n_{1}^{2} σ_{1} + n_{2}^{2} σ_{2} = \frac{σ_{1} + σ_{2}}{2}$
2. 由单位向量约束： $n_{1}^{2} + n_{2}^{2} = 1$
将 (ii) 中的 $n_{2}^{2} = 1 - n_{1}^{2}$ 代入 (i)： $n_{1}^{2} σ_{1} + (1 - n_{1}^{2}) σ_{2} = \frac{σ_{1} + σ_{2}}{2}$ $n_{1}^{2} σ_{1} + σ_{2} - n_{1}^{2} σ_{2} = \frac{σ_{1}}{2} + \frac{σ_{2}}{2}$ $n_{1}^{2} (σ_{1} - σ_{2}) = \frac{σ_{1}}{2} - \frac{σ_{2}}{2} = \frac{σ_{1} - σ_{2}}{2}$ 再次假设 $σ_{1} \neq σ_{2}$ ，得到 $n_{1}^{2} = 1 / 2$ 。由约束条件可知 $n_{2}^{2} = 1 / 2$ 。这对应于法线平分主方向1和2之间夹角的平面。

步骤3：计算驻点处的剪应力

现在我们来计算该驻点（ $n_{1}^{2} = 1 / 2, n_{2}^{2} = 1 / 2, n_{3}^{2} = 0$ ）处 $τ_{n}^{2}$ 的值： $τ_{n}^{2} = | 𝐭 |^{2} - σ_{n}^{2}$ $τ_{n}^{2} = (\frac{1}{2} σ_{1}^{2} + \frac{1}{2} σ_{2}^{2}) - {(\frac{σ_{1} + σ_{2}}{2})}^{2}$ 将各项通分到分母4： $τ_{n}^{2} = \frac{2 σ_{1}^{2} + 2 σ_{2}^{2}}{4} - \frac{(σ_{1}^{2} + 2 σ_{1} σ_{2} + σ_{2}^{2})}{4}$ $τ_{n}^{2} = \frac{2 σ_{1}^{2} + 2 σ_{2}^{2} - σ_{1}^{2} - 2 σ_{1} σ_{2} - σ_{2}^{2}}{4}$ $τ_{n}^{2} = \frac{σ_{1}^{2} - 2 σ_{1} σ_{2} + σ_{2}^{2}}{4} = {(\frac{σ_{1} - σ_{2}}{2})}^{2}$ 该点处的剪应力为 $τ_{n} = | \frac{σ_{1} - σ_{2}}{2} |$ 。

步骤4：确定最大值

同样的分析可应用于其他主平面对，得到剪应力的三个驻值：

$τ_{12} = | \frac{σ_{1} - σ_{2}}{2} |$ （位于平分1、2轴的平面上）
$τ_{23} = | \frac{σ_{2} - σ_{3}}{2} |$ （位于平分2、3轴的平面上）
$τ_{13} = | \frac{σ_{1} - σ_{3}}{2} |$ （位于平分1、3轴的平面上）

绝对最大剪应力 $τ_{m a x}$ 必定是这三个值中的最大值。根据我们的排序 $σ_{1} \geq σ_{2} \geq σ_{3}$ ，任意两个主应力之间的最大差值为 $(σ_{1} - σ_{3})$ 。

因此，最大剪应力为： $τ_{max} = \frac{σ_{1} - σ_{3}}{2}$

我们为何关心最大剪应力？

大多数金属等韧性材料因塑性屈服而失效，这通常发生在最大剪应力所在的平面上。

摩尔圆在三维应力分析中的应用

我们刚刚证明了总是存在三个主方向。如果固定其中之一，并绕该固定方向旋转另外两个方向，就可以用摩尔圆来分析变换。设主方向1、2、3分别对应于主应力 $σ_{1}$ 、 $σ_{2}$ 、 $σ_{3}$ ，并满足 $σ_{1} \geq σ_{2} \geq σ_{3}$ 。

绕主方向1旋转： 如果只考虑法向量垂直于主方向1的平面（即绕第一轴旋转），所得的正应力和剪应力 $(σ_{n}, τ_{n})$ 将落在摩尔圆上。该圆的圆心为 $(\frac{σ_{2} + σ_{3}}{2}, 0)$ ，半径为 $R = \frac{σ_{2} - σ_{3}}{2}$ 。
绕主方向2旋转： 类似地，对于法线垂直于方向2的平面，应力状态形成一个以 $(\frac{σ_{1} + σ_{3}}{2}, 0)$ 为圆心、 $R = \frac{σ_{1} - σ_{3}}{2}$ 为半径的圆。
绕主方向3旋转： 最后，对于法线垂直于方向3的平面，其圆以 $(\frac{σ_{1} + σ_{2}}{2}, 0)$ 为圆心、 $R = \frac{σ_{1} - σ_{2}}{2}$ 为半径。

这些圆中最大的是绕中间主方向（方向2）旋转所生成的圆，因为它跨越了最大和最小主应力（如图所示）。

由该图形表示可以清楚地看出，绝对最大剪应力 $τ_{max}$ 等于该最大圆的半径。 $τ_{max} = \frac{σ_{1} - σ_{3}}{2}$ 同样，从图中可以看出，最大剪应力面的法线与主方向1和3成45度角（记住，物理应力单元上的旋转角 θ 对应于摩尔圆上 同方向 旋转 2θ）。

若 A 和 B 为两个矩阵，则 $(A B)^{T} = B^{T} A^{T}$ ，其中上标 T 表示矩阵的转置。↩︎
设 A 为方阵。若存在实数或复数 $λ$ 使得 $A 𝐯 = λ 𝐯$ ，则称非零向量 $𝐯$ 为 A 的 特征向量。换言之，矩阵 A 所表示的线性变换将特征向量 $𝐯$ 映射为与其自身平行的向量。标量 $λ$ 称为对应于特征向量 $𝐯$ 的 特征值。↩︎
对于方程 $A 𝐱 = 𝐲$ ，其中 A 是方阵， $𝐱$ 和 $𝐲$ 为两个列向量，当且仅当 A 存在逆矩阵 $A^{- 1}$ 时有唯一解。此时，唯一解由 $𝐱 = A^{- 1} 𝐲$ 给出。↩︎
若 A 为方阵，其主对角线（从左上到右下）元素之和称为矩阵的迹，记作 tr(A)。↩︎
我们未使用 $σ_{1}$ 、 $σ_{2}$ 和 $σ_{3}$ ，因为根据所选的主方向， $σ_{a}$ 可以是这些值中的任一个（不一定为最大值）。↩︎