Coordenadas

Sumário

10.1 INTRODUÇÃO
- 10.1.1 Fundamentos Algébricos dos Sistemas de Coordenadas
10.2 AULA
10.3 EXEMPLOS
10.4 ILUSTRAÇÕES
- 10.4.1 A Complexidade de Mandelbrot
- 10.4.2 De Mandelbrot a Mandelbulb
EXERCÍCIOS

10.1 INTRODUÇÃO

10.1.1 Fundamentos Algébricos dos Sistemas de Coordenadas

A álgebra é uma ferramenta poderosa na geometria. Nesta aula, retornamos ao conceito de coordenadas e examinamos também outros sistemas de coordenadas. Introduzimos o espaço como vetores coluna, como $[1, 2, 3]^{T}$ . Podemos pensar nele como uma flecha da origem até o ponto $(1, 2, 3)$ . Fala-se dos números que aparecem em $(1, 2, 3)$ como coordenadas, enquanto as entradas em $[1, 2, 3]^{T}$ são componentes do vetor. Na maioria das vezes, não distinguimos entre o ponto $(1, 2, 3)$ e o vetor $[1, 2, 3]^{T}$ , pois os dois objetos podem claramente ser identificados naturalmente. Nesta aula, também examinamos outras coordenadas, como coordenadas polares e esféricas. Isso será importante ao fazer integração.

**Figura 1.** O teorema de Napoleão afirma que, se desenharmos triângulos equiláteros sobre os lados de um triângulo, seus centros de massa estão sobre um triângulo equilátero. Uma prova geométrica não é tão fácil de encontrar, mas usando coordenadas é um cálculo direto: para três números complexos $a, b, c$ , então $u = (a + b) / 2 + i (b - a) / 3$ , $v = (b + c) / 2 + i (c - b) / 3$ , $w = (c + a) / 2 + i (a - c) / 3$ satisfazem $| u - v | = | u - v | = | v - w |$ . O resultado é famoso porque nenhum outro teorema foi redescoberto tantas vezes. Embora Napoleão possa nunca ter descoberto ou provado o teorema pessoalmente, ele mantinha conversas com matemáticos como Lagrange ou Fourier.

**Figura 2.** No plano bidimensional, um ponto $(x, y) = (3, 4)$ também pode ser identificado com o número complexo $z = x + i y = 3 + 4 i$ ou com o vetor $[3, 4]^{T}$ . A magnitude do vetor é $\sqrt{x^{2} + y^{2}}$ e é definida como o comprimento do número complexo $z$ . A multiplicação rotaciona e escala. Uma multiplicação por $i$ rotaciona em $90$ graus.

10.2 AULA

10.2.1 De Cartesianas para Polares: Uma Transformação de Coordenadas

Foi René Descartes quem, em 1637, introduziu as coordenadas e aproximou a álgebra da geometria.¹ As coordenadas cartesianas $(x, y)$ em $ℝ^{2}$ podem ser substituídas por outros sistemas de coordenadas, como as coordenadas polares $(r, θ)$ , onde $r = \sqrt{x^{2} + y^{2}} \geq 0$ é a distância radial até a origem $(0, 0)$ e $θ \in [0, 2 π)$ é o ângulo polar formado com o eixo $x$ positivo. Como $θ$ está no intervalo $[0, 2 π)$ , é melhor descrito na notação complexa $θ = \arg (x + i y)$ . O raio $r = | z | = \sqrt{x^{2} + y^{2}}$ é o comprimento do número complexo. A conversão das coordenadas $(r, θ)$ para as coordenadas $(x, y)$ é \begin{aligned} x&=r \cos (\theta),\\ y&=r \sin (\theta). \end{aligned} O raio é $r = \sqrt{x^{2} + y^{2}}$ , onde, se for diferente de zero, sempre tomamos a raiz positiva. A fórmula do ângulo $\arctan (y / x)$ só é válida se $x$ e $y$ forem ambos positivos. O ângulo $θ$ não é unicamente definido na origem $(0, 0)$ ; a maioria dos softwares simplesmente assume $\arg (0) = 0$ .

10.2.2 Números Complexos: Uma Estrutura Multiplicativa

Podemos escrever um vetor em $ℝ^{2}$ também na forma de um número complexo $z =$ $x + i y \in ℂ$ com o símbolo $i$ . Isto não é apenas uma conveniência notacional. Números complexos podem ser somados e multiplicados como outros números e, embora $ℝ^{2} = ℂ$ , este último possui uma estrutura multiplicativa. Para fixar essa estrutura, basta especificar que $i^{2} = - 1$ . Isto resulta em $(a + i b) (c + i d) = a c - b d + i (a d + b c) .$ Temos também $| a + i b | = \sqrt{(a + i b) (a - i b)} = \sqrt{a^{2} + b^{2}} .$ Uma importante fórmula de Euler liga as funções exponencial e trigonométricas:

Teorema 1. $e^{i θ} = \cos (θ) + i \sin (θ)$ .

Prova. A prova consiste em escrever a definição em série em ambos os lados. Primeiro, lembre-se das definições de $e^{x} = 1 + x + x^{2} / 2! + x^{3} / 3! + \dots .$ Se substituirmos $x = i θ$ obtemos $e^{i θ} = 1 + i θ - θ^{2} / 2! - i θ^{3} / 3! + θ^{4} / 4! - \dots$ Mas isto é $(1 - θ^{2} / 2 + θ^{4} / 4! - \dots) + i (θ - θ^{3} / 3! + θ^{5} / 5! - \dots)$ que é $\cos (θ) + i \sin (θ)$ . ◻

10.2.3 Séries de Taylor

Se você preferir não ver as funções $\exp$ , $\sin$ , $\cos$ sendo definidas como séries, pode vê-las como séries de Taylor f(x)=f(0)+f^{\prime}(0) x+f^{\prime \prime}(0) / 2 ! x^{2}+\cdots=\sum_{k=0}^{\infty}\left(f^{(k)}(0) / k !\right) x^{k}. Diferenciando as funções em $0$ , vemos então a conexão.

10.2.4 A Beleza da Fórmula de Euler

A fórmula de Euler implica, para $θ = π$ , a fórmula mágica

Teorema 2. $e^{i π} + 1 = 0$ .

Esta fórmula é frequentemente considerada a "fórmula mais bonita da matemática".² Ela combina "análise" na forma de $e$ , "geometria" na forma de $π$ , "álgebra" na forma de $i$ , a unidade aditiva $0$ e a unidade multiplicativa $1$ .

10.2.5 Logaritmos Complexos e as Ideias de Euler

A fórmula de Euler permite escrever qualquer número complexo como $z = r e^{i θ}$ . Dado outro número complexo $w = s e^{i ϕ}$ , temos $z w = r s e^{i θ + ϕ}$ , mostrando que os ângulos polares se somam e os raios se multiplicam. A fórmula de Euler também permite definir o logaritmo de qualquer número complexo como $\log (z) = \log (| z |) + i \arg (z) = \log (r) + i θ .$ Vemos agora que passar de $(x, y)$ para $(\log (r), θ)$ é uma transformação muito natural de $ℂ \ 0$ para $ℂ$ . A função exponencial $\exp : z \to e^{z}$ é uma aplicação de $ℂ \to ℂ \ 0$ . Ela transforma a estrutura aditiva em $ℂ$ na estrutura multiplicativa porque $\exp (z + w) = \exp (z) \exp (w)$ .

10.2.6 Coordenadas Cilíndricas

Em três dimensões, podemos considerar as coordenadas cilíndricas $(r, θ, z)$ , que são apenas coordenadas polares nas duas primeiras coordenadas. Um cilindro de raio $2$ , por exemplo, é dado por $r = 2$ . O toro $(3 + x^{2} + y^{2} + z^{2})^{2} - 16 (x^{2} + y^{2}) = 0$ pode ser escrito como $3 + r^{2} + z^{2} = 4 r$ ou, de forma mais intuitiva, como $(r - 2)^{2} + z^{2} = 1$ , um círculo no plano $r z$ .

**Figura 3.** Figuras-chave para derivar coordenadas cilíndricas e esféricas.

10.2.7 Coordenadas Esféricas

As coordenadas esféricas $(ρ, θ, ϕ)$ , onde $ρ = \sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}$ . O ângulo $θ$ é o ângulo polar como nas coordenadas cilíndricas e $ϕ$ é o ângulo entre o ponto $(x, y, z)$ e o eixo $z$ . Temos \begin{aligned} \cos (\phi)&=[x, y, z] \cdot[0,0,1] /\big|[x, y, z]\big|=z / \rho,\\ \sin (\phi)&=\big|[x, y, z] \times[0,0,1]\big| /\big|[x, y, z]\big|=r / \rho \end{aligned} de modo que $z = ρ \cos (ϕ)$ e $r = ρ \sin (ϕ)$ e, portanto, \begin{aligned} & x=\rho \sin (\phi) \cos (\theta) \\ & y=\rho \sin (\phi) \sin (\theta) \\ & z=\rho \cos (\phi) \end{aligned} onde $0 \leq θ < 2 π$ , $0 \leq ϕ \leq π$ , e $ρ \geq 0$ .

10.2.8 Mudanças de Coordenadas e Derivadas Parciais

Uma mudança de coordenadas $x \to f (x)$ no plano é uma aplicação $f : ℝ^{2} \to ℝ^{2}$ . Um ponto $(x_{1}, x_{2})$ é mapeado em $(f_{1}, f_{2})$ . Escrevemos $\partial_{x_{k}}$ para a derivada parcial em relação à variável $x_{k}$ . Por exemplo, $\partial_{x_{1}} (x_{1}^{2} x_{2} + 3 x_{1} x_{2}^{3}) = 2 x_{1} x_{2} + 3 x_{2}^{3}$ .

$f [\begin{array}{l} x_{1} \\ x_{2} \end{array}] = [\begin{array}{l} f_{1} (x_{1}, x_{2}) \\ f_{2} (x_{1}, x_{2}) \end{array}], d f [\begin{array}{l} x_{1} \\ x_{2} \end{array}] = [\begin{array}{ll} \partial_{x_{1}} f_{1} (x) & \partial_{x_{2}} f_{1} (x) \\ \partial_{x_{1}} f_{2} (x) & \partial_{x_{2}} f_{2} (x) \end{array}],$ onde $d f$ é uma matriz chamada matriz Jacobiana. O determinante é chamado de fator de distorção em $x = (x_{1}, x_{2})$ .

10.2.9 A Matriz Jacobiana para Coordenadas Polares

Para coordenadas polares, obtemos

$f [\begin{array}{l} r \\ θ \end{array}] = [\begin{array}{l} r \cos (θ) \\ r \sin (θ) \end{array}], d f [\begin{array}{l} r \\ θ \end{array}] = [\begin{array}{rr} \cos (θ) & - r \sin (θ) \\ \sin (θ) & r \cos (θ) \end{array}] .$ Seu fator de distorção da aplicação polar é $r$ . Usaremos isso ao integrar em coordenadas polares.

10.2.10 A Álgebra das Transformações Complexas

Se $f (z) = z^{2} + c$ com $c = a + i b, z = x + i y$ for escrita como $f (x, y) = (x^{2} - y^{2} + a, 2 x y + b),$ então $d f$ é uma matriz de rotação-dilatação $2 \times 2$ que corresponde ao número complexo f^{\prime}(z)=2 z. A álgebra $ℂ$ é a mesma que a álgebra das matrizes de rotação-dilatação.

10.2.11 Transformações Espaciais e o Jacobiano

Uma mudança de coordenadas $x \to f (x)$ no espaço é uma aplicação $f : ℝ^{3} \to ℝ^{3}$ . Calculamos $f [\begin{array}{l} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array}] = [\begin{array}{l} f_{1} (x) \\ f_{2} (x) \\ f_{3} (x) \end{array}], d f [\begin{array}{l} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array}] = [\begin{array}{lll} \partial_{x_{1}} f_{1} (x) & \partial_{x_{2}} f_{1} (x) & \partial_{x_{3}} f_{1} (x) \\ \partial_{x_{1}} f_{2} (x) & \partial_{x_{2}} f_{2} (x) & \partial_{x_{3}} f_{2} (x) \\ \partial_{x_{1}} f_{3} (x) & \partial_{x_{2}} f_{3} (x) & \partial_{x_{3}} f_{3} (x) \end{array}] .$

Escrevemos $x = (x_{1}, x_{2}, x_{3})$ . Seu determinante $\det (d T) (x)$ é um fator de distorção de volume.

10.2.12 Distorção de Volume em Coordenadas Esféricas

Para coordenadas esféricas, temos \begin{aligned} f\left[\begin{array}{l}\rho \\ \phi \\ \theta\end{array}\right]&=\left[\begin{array}{c}\rho \sin (\phi) \cos (\theta) \\ \rho \sin (\phi) \sin (\theta) \\ \rho \cos (\phi)\end{array}\right],\\ d f\left[\begin{array}{l}\rho \\ \phi \\ \theta\end{array}\right]&=\left[\begin{array}{rrr}\sin (\phi) \cos (\theta) & \rho \cos (\phi) \cos (\theta) & -\rho \cos (\phi) \sin (\theta) \\ \sin (\phi) \sin (\theta) & \rho \cos (\phi) \sin (\theta) & \rho \cos (\phi) \cos (\theta) \\ \cos (\phi) & -\rho \sin (\phi) & 0\end{array}\right]. \end{aligned} O fator de distorção é $\det (d f (ρ, ϕ, θ)) = ρ^{2} \sin (ϕ)$ .

10.3 EXEMPLOS

Exemplo 1. O ponto $(x, y) = (- 1, 1)$ corresponde ao número complexo $z = - 1 + i$ . Ele tem as coordenadas polares $(r, θ) = (\sqrt{2}, 3 π / 4)$ . Como temos $z = r e^{i θ}$ , verificamos $z^{2} = (- 1 + i) (- 1 + i) = - 2 i$ que concorda com ${(r e^{i θ})}^{2} = r^{2} e^{2 i θ} = 2 e^{6 π i / 4} .$

Exemplo 2.

$(x, y, z) = (1, 1, - \sqrt{2})$ corresponde às coordenadas esféricas $(ρ, ϕ, θ) = (2, 3 π / 4, π / 4)$ .
O ponto dado em coordenadas esféricas como $(ρ, ϕ, θ) = (3, 0, π / 2)$ é o ponto $(0, 3, 0)$ .

Exemplo 3.

O conjunto de pontos com $r = 1$ em $ℝ^{2}$ forma um círculo.
O conjunto de pontos com $ρ = 1$ em $ℝ^{3}$ forma uma esfera.
O conjunto de pontos com coordenadas esféricas $ϕ = 0$ são pontos no semi-eixo positivo $z$ .
O conjunto de pontos com coordenadas esféricas $θ = 0$ forma um semi-plano no plano $y z$ .
O conjunto de pontos com $ρ = \cos (ϕ)$ forma uma esfera. De fato, multiplicando ambos os lados por $ρ$ , obtemos $ρ^{2} = ρ \cos (ϕ)$ que significa $x^{2} + y^{2} + z^{2} = z$ , que, após completar o quadrado, é igual a $x^{2} + y^{2} + (z - 1 / 2)^{2} = 1 / 4$ .

Exemplo 4. Para $A \in M (n, n)$ , $f (x) = A x + b$ tem $d f = A$ e fator $distortion$ $\det (A)$ .

Exemplo 5. Encontre a matriz jacobiana e o fator de distorção do mapa $f (x_{1}, x_{2}) = (x_{1}^{3} + x_{2}, x_{2}^{2} - \sin (x_{1})) .$ Resposta: Escreva tanto a transformação quanto a jacobiana: $f [\begin{array}{l} x_{1} \\ x_{2} \end{array}] = [\begin{matrix} x_{1}^{3} + x_{2} \\ x_{2}^{2} - \sin (x_{1}) \end{matrix}], d f [\begin{array}{l} x_{1} \\ x_{2} \end{array}] = [\begin{array}{cc} 3 x_{1}^{2} & 1 \\ - \cos (x_{1}) & 2 x_{2} \end{array}] .$ A matriz jacobiana é $\det (d f (x)) = 6 x_{1}^{2} x_{2} + \cos (x_{1})$ .

10.4 ILUSTRAÇÕES

10.4.1 Complexidade de Mandelbrot

Seja $T : ℂ \to ℂ$ definida por $z \to z^{2} + c$ , onde $z = x + i y$ . O conjunto de todos $c = a + i b$ para os quais as iteradas $T^{n} (0)$ permanecem limitadas é o conjunto de Mandelbrot $M$ . Para $c = - 1$ obtemos $T (0) = - 1$ , $T^{2} (0) = T (- 1) = 0$ de modo que $T^{n} (z)$ é ou $0$ ou $- 1$ . O ponto $c = - 1$ está em $M$ . O ponto $c = 1$ dá $T (0) = 1$ , $T^{2} (0) = 1^{2} = 1 = 2$ , $T^{3} (0) = 2^{2} + 1 = 5$ . Indução mostra que $T^{n} (0)$ não converge. O ponto $c = 1$ não está em $M$ .

10.4.2 De Mandelbrot a Mandelbulb

Se $T$ é a transformação em $ℝ^{3}$ que em coordenadas esféricas é dada por $T (x) = x^{2} + c$ , onde $x^{2}$ tem coordenadas esféricas $(ρ^{2}, 2 ϕ, 2 θ)$ se $x$ tem $(ρ, ϕ, θ)$ . Acontece que $T (x) = x^{8} + c$ dá um bom análogo do conjunto de Mandelbrot, o Mandelbulb.

**Figura 4.** O **conjunto de Mandelbrot** $M = {c \in ℂ ∣ T (z) = z^{2} + c tem T^{n} (0) limitada}$ . Há uma construção similar no espaço $ℝ^{3}$ que usa coordenadas esféricas. Isso leva ao **conjunto Mandelbulb** $B = {c \in ℝ^{3} ∣ T (x) = x^{8} + c tem T^{n} (0) limitada}$ , onde $x^{8}$ tem coordenadas esféricas $(ρ^{8}, 8 ϕ, 8 θ)$ se $x$ tem coordenadas esféricas $(ρ, ϕ, θ)$ .

EXERCÍCIOS

Exercício 1.

Encontre as coordenadas polares de $(x, y) = (- 1, \sqrt{3})$ .
Que ponto tem as coordenadas polares $(r, θ) = (2, π / 4)$ ?
Encontre as coordenadas esféricas do ponto $(x, y, z) = (1, 1, \sqrt{2})$ .
Que ponto tem as coordenadas esféricas $(ρ, θ, ϕ) = (3, π / 2, π / 3)$ ?

Exercício 2.

Calcule $T_{c}^{n} (0)$ para $c = (1 + i)$ para $n = 1$ , $2$ , $3$ . $1 + i$ está no conjunto de Mandelbrot?
Qual é o número "olho por olho" $i^{i}$ ? (Você pode usar $z^{w} = e^{w \log (z)}$ ).

Exercício 3.

Que superfície é descrita como $r = z$ ?
Descreva a hipérbole $x^{2} - y^{2} = 5$ em coordenadas polares.
Que superfície é descrita como $ρ \sin (ϕ) = ρ^{2}$ ?
Descreva o hiperboloide $x^{2} + y^{2} - z^{2} = 1$ em coordenadas esféricas.

Exercício 4.

Calcule a matriz jacobiana e o fator de distorção da mudança de coordenadas $T (x, y) = (2 x + \sin (x) - y, x)$ (mapa de Chirikov).
Calcule a matriz jacobiana e o fator de distorção da mudança de coordenadas $T (x, y) = (1 - 1.4 x^{2} - y, 0.3 x)$ (mapa clássico de Hénon).

P.S.: Quando você faz a mudança de coordenadas do mapa de Chirikov repetidamente, pode-se observar caos. No caso do mapa de Hénon, vê-se um atrator estranho, um objeto fractal que, de forma semelhante à curva de Koch encontrada na semana passada, tem uma dimensão maior que $1$ .

Exercício 5.

Verifique que o conjunto de Mandelbrot $M$ está contido no conjunto $| c | \leq 2$ . Como lembrete, isso significa que você deve mostrar que então $0 \to c \to c^{2} + c \to {(c^{2} + c)}^{2} + c \to \dots$ escapa para o infinito.
Opcional: Use o mesmo argumento para ver que o conjunto Mandelbulb $B$ está contido no conjunto $| c | \leq 2$ .

Descartes: La Géometrie, 1637 (1 ano após a fundação da faculdade de Harvard)↩︎
D. Wells, Which is the most beautiful?, Mathematical Intelligencer, 1988.↩︎