坐标

 

10.1 引言

10.1.1 坐标系的代数基础

代数是几何中的强大工具。在本讲座中，我们回顾坐标的概念，并考察其他坐标系。我们将空间表示为列向量，如 [ 1 , 2 , 3 ] T 。我们可以将其视为从原点到点 ( 1 , 2 , 3 ) 的箭头。人们将 ( 1 , 2 , 3 ) 中出现的数字称为坐标，而 [ 1 , 2 , 3 ] T 中的条目是向量的分量。大多数时候，我们不区分点 ( 1 , 2 , 3 ) 和向量 [ 1 , 2 , 3 ] T ，因为这两个对象可以自然地等同。在本讲座中，我们还将考察极坐标和球坐标等其他坐标。这在积分时很重要。

图 1. 拿破仑定理指出，如果在三角形的各边上向外作等边三角形，则这些等边三角形的重心构成一个等边三角形。几何证明并不容易找到，但使用坐标可以直接计算：对于三个复数 a , b , c ，则 u = ( a + b ) / 2 + i ( b − a ) / 3 ， v = ( b + c ) / 2 + i ( c − b ) / 3 ， w = ( c + a ) / 2 + i ( a − c ) / 3 满足 | u − v | = | u − v | = | v − w | 。这个结果之所以著名，是因为没有其他定理被如此多次地重新发现。虽然拿破仑本人可能从未发现或证明过它，但他与拉格朗日、傅里叶等数学家保持过交流。
图 2. 在二维平面中，点 ( x , y ) = ( 3 , 4 ) 也可以等同于复数 z = x + i y = 3 + 4 i 或向量 [ 3 , 4 ] T 。向量的模为 x 2 + y 2 ，并定义为复数 z 的长度。乘法会旋转和缩放。乘以 i 会旋转 90 度。

10.2 讲座

10.2.1 从笛卡尔坐标到极坐标：坐标变换

1637年，勒内·笛卡尔引入了坐标，使代数与几何紧密相连。1 ℝ 2 中的笛卡尔坐标 ( x , y ) 可以被其他坐标系替代，如极坐标 ( r , θ ) ，其中 r = x 2 + y 2 ≥ 0 是到 ( 0 , 0 ) 的径向距离， θ ∈ [ 0 , 2 π ) 是与正 x 轴形成的极角。由于 θ 在区间 [ 0 , 2 π ) 内，最好用复数记号 θ = arg ⁡ ( x + i y ) 来描述。半径 r = | z | = x 2 + y 2 是复数的长度。从 ( r , θ ) 坐标到 ( x , y ) 坐标的转换为 半径为 r = x 2 + y 2 ，若非零，我们总是取正根。角度公式 arctan ⁡ ( y / x ) 仅在 x 和 y 均为正时成立。角度 θ 在原点 ( 0 , 0 ) 处不是唯一定义的，大多数软件假设 arg ⁡ ( 0 ) = 0 。

10.2.2 复数：乘法框架

我们也可以将 ℝ 2 中的向量写成复数 z = x + i y ∈ ℂ 的形式，带有符号 i 。这不仅仅是记号的便利。复数可以像其他数一样进行加法和乘法，虽然 ℝ 2 = ℂ ，但后者具有乘法结构。为了确定该结构，只需指定 i 2 = − 1 。这给出 ( a + i b ) ( c + i d ) = a c − b d + i ( a d + b c ) . 我们还有 | a + i b | = ( a + i b ) ( a − i b ) = a 2 + b 2 . 一个重要的欧拉公式将指数函数和三角函数联系起来：

定理 1. e i θ = cos ⁡ ( θ ) + i sin ⁡ ( θ ) 。

证明. 证明是在两边写出级数定义。首先回顾定义 e x = 1 + x + x 2 / 2 ! + x 3 / 3 ! + ⋯ . 如果我们代入 x = i θ ，得到 e i θ = 1 + i θ − θ 2 / 2 ! − i θ 3 / 3 ! + θ 4 / 4 ! − ⋯ 但这正是 ( 1 − θ 2 / 2 + θ 4 / 4 ! − ⋯ ) + i ( θ − θ 3 / 3 ! + θ 5 / 5 ! − ⋯ ) 即 cos ⁡ ( θ ) + i sin ⁡ ( θ ) . ◻

10.2.3 泰勒级数

如果你不希望看到函数 exp 、 sin 、 cos 被定义为级数，你可以将它们视为泰勒级数 通过在 0 处对函数求导，我们就能看到这种联系。

10.2.4 欧拉公式之美

欧拉公式在 θ = π 时蕴含了神奇的公式

定理 2. e i π + 1 = 0 。

这个公式常被评选为“数学中最美的公式”。2 它结合了以 e 为代表的“分析”，以 π 为代表的“几何”，以 i 为代表的“代数”，加法单位元 0 和乘法单位元 1 。

10.2.5 复数对数与欧拉的洞见

欧拉公式允许将任何复数写为 z = r e i θ 。给定另一个复数 w = s e i ϕ ，我们有 z w = r s e i θ + ϕ ，表明极角相加，半径相乘。欧拉公式还允许定义任何复数的对数为 log ⁡ ( z ) = log ⁡ ( | z | ) + i arg ⁡ ( z ) = log ⁡ ( r ) + i θ . 我们现在看到，从 ( x , y ) 到 ( log ⁡ ( r ) , θ ) 是一个从 ℂ \ 0 到 ℂ 的非常自然的变换。指数函数 exp : z → e z 是从 ℂ → ℂ \ 0 的映射。它将 ℂ 上的加法结构转换为乘法结构，因为 exp ⁡ ( z + w ) = exp ⁡ ( z ) exp ⁡ ( w ) 。

10.2.6 柱坐标

在三维空间中，我们可以考察柱坐标 ( r , θ , z ) ，它只是在前两个坐标上使用极坐标。例如，半径为 2 的圆柱表示为 r = 2 。环面 ( 3 + x 2 + y 2 + z 2 ) 2 − 16 ( x 2 + y 2 ) = 0 可以写为 3 + r 2 + z 2 = 4 r ，或者更直观地写为 ( r − 2 ) 2 + z 2 = 1 ，即 r z 平面上的一个圆。

图 3. 推导柱坐标和球坐标的关键图示。

10.2.7 球坐标

球坐标 ( ρ , θ , ϕ ) ，其中 ρ = x 2 + y 2 + z 2 。角度 θ 是极角，与柱坐标中相同， ϕ 是点 ( x , y , z ) 与 z 轴之间的夹角。我们有 因此 z = ρ cos ⁡ ( ϕ ) 且 r = ρ sin ⁡ ( ϕ ) ，从而 其中 0 ≤ θ < 2 π ， 0 ≤ ϕ ≤ π ，且 ρ ≥ 0 。

10.2.8 坐标变换与偏导数

平面上的坐标变换 x → f ( x ) 是一个映射 f : ℝ 2 → ℝ 2 。点 ( x 1 , x 2 ) 被映射为 ( f 1 , f 2 ) 。我们用 ∂ x k 表示关于变量 x k 的偏导数。例如 ∂ x 1 ( x 1 2 x 2 + 3 x 1 x 2 3 ) = 2 x 1 x 2 + 3 x 2 3 。

f [ x 1 x 2 ] = [ f 1 ( x 1 , x 2 ) f 2 ( x 1 , x 2 ) ] , d f [ x 1 x 2 ] = [ ∂ x 1 f 1 ( x ) ∂ x 2 f 1 ( x ) ∂ x 1 f 2 ( x ) ∂ x 2 f 2 ( x ) ] , 其中 d f 是一个矩阵，称为雅可比矩阵。其行列式称为在 x = ( x 1 , x 2 ) 处的畸变因子。

10.2.9 极坐标的雅可比矩阵

对于极坐标，我们得到

f [ r θ ] = [ r cos ⁡ ( θ ) r sin ⁡ ( θ ) ] , d f [ r θ ] = [ cos ⁡ ( θ ) − r sin ⁡ ( θ ) sin ⁡ ( θ ) r cos ⁡ ( θ ) ] . 极坐标映射的畸变因子是 r 。我们将在极坐标积分时使用它。

10.2.10 复变换的代数

如果 f ( z ) = z 2 + c ，其中 c = a + i b , z = x + i y ，写为 f ( x , y ) = ( x 2 − y 2 + a , 2 x y + b ) , 那么 d f 是一个 2 × 2 的旋转缩放矩阵，对应于复数 。代数 ℂ 与旋转缩放矩阵的代数相同。

10.2.11 空间变换与雅可比

空间中的坐标变换 x → f ( x ) 是一个映射 f : ℝ 3 → ℝ 3 。我们计算 f [ x 1 x 2 x 3 ] = [ f 1 ( x ) f 2 ( x ) f 3 ( x ) ] , d f [ x 1 x 2 x 3 ] = [ ∂ x 1 f 1 ( x ) ∂ x 2 f 1 ( x ) ∂ x 3 f 1 ( x ) ∂ x 1 f 2 ( x ) ∂ x 2 f 2 ( x ) ∂ x 3 f 2 ( x ) ∂ x 1 f 3 ( x ) ∂ x 2 f 3 ( x ) ∂ x 3 f 3 ( x ) ] . 我们记 x = ( x 1 , x 2 , x 3 ) 。其行列式 det ⁡ ( d T ) ( x ) 是一个体积畸变因子。

10.2.12 球坐标中的体积畸变

对于球坐标，我们有 畸变因子为 det ⁡ ( d f ( ρ , ϕ , θ ) ) = ρ 2 sin ⁡ ( ϕ ) 。

10.3 示例

10.4 插图

10.4.1 曼德勃罗的复杂性

10.4.2 从曼德勃罗到曼德球

练习

示例 1. 点 ( x , y ) = ( − 1 , 1 ) 对应复数 z = − 1 + i 。它的极坐标为 ( r , θ ) = ( 2 , 3 π / 4 ) 。由于我们有 z = r e i θ ，我们检验 z 2 = ( − 1 + i ) ( − 1 + i ) = − 2 i 这与 ( r e i θ ) 2 = r 2 e 2 i θ = 2 e 6 π i / 4 . 一致。

示例 2.

  1. ( x , y , z ) = ( 1 , 1 , − 2 ) 对应球坐标 ( ρ , ϕ , θ ) = ( 2 , 3 π / 4 , π / 4 ) 。
  2. 以球坐标 ( ρ , ϕ , θ ) = ( 3 , 0 , π / 2 ) 给出的点是 ( 0 , 3 , 0 ) 。

示例 3.

  1. ℝ 2 中满足 r = 1 的点的集合构成一个圆。
  2. ℝ 3 中满足 ρ = 1 的点的集合构成一个球面。
  3. 球坐标满足 ϕ = 0 的点的集合是正 z 轴上的点。
  4. 球坐标满足 θ = 0 的点的集合在 y z 平面上构成一个半平面。
  5. 满足 ρ = cos ⁡ ( ϕ ) 的点的集合构成一个球面。实际上，两边同乘 ρ 得到 ρ 2 = ρ cos ⁡ ( ϕ ) ，即 x 2 + y 2 + z 2 = z ，配方后等于 x 2 + y 2 + ( z − 1 / 2 ) 2 = 1 / 4 。

示例 4. 对于 A ∈ M ( n , n ) ， f ( x ) = A x + b 有 d f = A 和 distortion 因子 det ⁡ ( A ) 。

示例 5. 求映射 f ( x 1 , x 2 ) = ( x 1 3 + x 2 , x 2 2 − sin ⁡ ( x 1 ) ) . 的雅可比矩阵和畸变因子。解：写出变换和雅可比： f [ x 1 x 2 ] = [ x 1 3 + x 2 x 2 2 − sin ⁡ ( x 1 ) ] , d f [ x 1 x 2 ] = [ 3 x 1 2 1 − cos ⁡ ( x 1 ) 2 x 2 ] . 雅可比矩阵为 det ⁡ ( d f ( x ) ) = 6 x 1 2 x 2 + cos ⁡ ( x 1 ) 。

10.4 图示

10.4.1 曼德勃罗的复杂性

定义映射 T : ℂ → ℂ 为 z → z 2 + c ，其中 z = x + i y 。所有满足迭代 T n ( 0 ) 有界的 c = a + i b 的集合即为曼德勃罗集 M 。对于 c = − 1 ，我们得到 T ( 0 ) = − 1 ， T 2 ( 0 ) = T ( − 1 ) = 0 ，因此 T n ( z ) 要么是 0 要么是 − 1 。点 c = − 1 属于 M 。点 c = 1 则有 T ( 0 ) = 1 ， T 2 ( 0 ) = 1 2 = 1 = 2 ， T 3 ( 0 ) = 2 2 + 1 = 5 。归纳可知 T n ( 0 ) 不收敛。点 c = 1 不在 M 中。

10.4.2 从曼德勃罗到曼德球

如果 T 是 ℝ 3 中的变换，在球坐标下由 T ( x ) = x 2 + c 给出，其中若 x 具有 ( ρ , ϕ , θ ) 坐标，则 x 2 的球坐标为 ( ρ 2 , 2 ϕ , 2 θ ) 。事实证明， T ( x ) = x 8 + c 给出了曼德勃罗集的一个优美类似物，即曼德球。

图 4. 曼德勃罗集 M = { c ∈ ℂ ∣ T ( z ) = z 2 + c  has bounded  T n ( 0 ) } 。在空间 ℝ 3 中有一种使用球坐标的类似构造，这得到了曼德球集 B = { c ∈ ℝ 3 ∣ T ( x ) = x 8 + c  has bounded  T n ( 0 ) } ，其中若 x 的球坐标为 ( ρ , ϕ , θ ) ，则 x 8 的球坐标为 ( ρ 8 , 8 ϕ , 8 θ ) 。

练习

练习 1.

  1. 求 ( x , y ) = ( − 1 , 3 ) 的极坐标。
  2. 哪个点的极坐标为 ( r , θ ) = ( 2 , π / 4 ) ？
  3. 求点 ( x , y , z ) = ( 1 , 1 , 2 ) 的球坐标。
  4. 哪个点的球坐标为 ( ρ , θ , ϕ ) = ( 3 , π / 2 , π / 3 ) ？

练习 2.

  1. 计算当 c = ( 1 + i ) 时 n = 1 ， 2 ， 3 的 T c n ( 0 ) 。 1 + i 在曼德勃罗集中吗？
  2. “以眼还眼”数 i i 是多少？（你可以使用 z w = e w log ⁡ ( z ) ）。

练习 3.

  1. 方程 r = z 表示什么曲面？
  2. 用极坐标描述双曲线 x 2 − y 2 = 5 。
  3. 方程 ρ sin ⁡ ( ϕ ) = ρ 2 表示什么曲面？
  4. 用球坐标描述双曲面 x 2 + y 2 − z 2 = 1 。

练习 4.

  1. 计算坐标变换 T ( x , y ) = ( 2 x + sin ⁡ ( x ) − y , x ) （奇里科夫映射）的雅可比矩阵和畸变因子。
  2. 计算坐标变换 T ( x , y ) = ( 1 − 1.4 x 2 − y , 0.3 x ) （经典埃农映射）的雅可比矩阵和畸变因子。

附言：当你反复进行奇里科夫映射的坐标变换时，可以观察到混沌。而对于埃农映射，可以看到一个奇异吸引子，它是一个分形物体，类似于上周遇到的科赫曲线，其维数大于 1 。

练习 5.

  1. 验证曼德勃罗集 M 包含在集合 | c | ≤ 2 中。提醒，这意味着你要证明此时 0 → c → c 2 + c → ( c 2 + c ) 2 + c → ⋯ 会逃逸到无穷大。
  2. 选做题：用同样的论证说明曼德球集 B 包含在集合 | c | ≤ 2 中。
  1. 笛卡尔：《几何学》，1637年（哈佛学院成立一年后）↩︎
  2. D. Wells, 最为优美的是什么？，《数学情报员》，1988年。↩︎