Derivadas parciais

Seja agora $f(x,y)$ uma função de duas variáveis. Consideramos o problema de encontrar as derivadas de $f(x,y)$. Por enquanto, consideraremos dois tipos de derivadas: se $(x_0,y_0)$ é um ponto, chamaremos de derivada em $x_0$ da função $g(x)=f(x,y_0)$ a derivada parcial de $f(x,y)$ em relação a $x$ em $(x_0,y_0)$ e a escreveremos como

$$f_x(x_0,y_0),\text{ou }\frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0)\cdot$$

Da mesma forma, a derivada parcial de $f(x,y)$ em relação a $y$ em $(x_0,y_0)$, escrita como

$$f_y(x_0,y_0),\text{ou }\frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)$$

é a derivada da função $h(y)=f(x_0,y)$ em $y=y_0$. Assim, temos

$$f_x(x_0,y_0)=\underset{h\to 0}{lim}\frac{f(x_0+h,y_0)-f(x_0,y_0)}{h},$$$$f_y(x_0,y_0)=\underset{k\to 0}{lim}\frac{f(x_0,y_0+k)-f(x_0,y_0)}{k}\cdot$$

Então deve ser evidente o que queremos dizer com $f_{xx},f_{xy},f_{yx},f_{yy}$; por exemplo, $f_{xy}(x_0,y_0)=(f_x{)}_y(x_0,y_0)$, ou em palavras, a derivada parcial em relação a $y$ da derivada parcial em relação a $x$ de $f(x,y)$. Para encontrá-la, devemos usar

\begin{aligned} f_{xy}(x_0, y_0) &= \lim_{k \to 0} \frac{f_x(x_0, y_0+k) - f_x(x_0, y_0)}{k} \\ &= \lim_{k \to 0} \lim_{h \to 0} \frac{\frac{f(x_0+h, y_0+k) - f(x_0, y_0+k)}{h} - \frac{f(x_0+h, y_0) - f(x_0, y_0)}{h}}{k} \\ &= \lim_{k \to 0} \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0+h, y_0+k) - f(x_0, y_0+k) - f(x_0+h, y_0) + f(x_0, y_0)}{hk} \cdot \end{aligned}

Nosso numerador é, portanto, uma combinação dos valores da função nos quatro cantos do retângulo mostrado abaixo, com os sinais correspondentes:

Da mesma forma,

$$f_{yx}(x_0,y_0)=\underset{h\to 0}{lim}\underset{k\to 0}{lim}\frac{f(x_0+h,y_0+k)-f(x_0+h,y_0)-f(x_0,y_0+k)+f(x_0,y_0)}{hk}\cdot$$

O fato de que os dois termos que estão envolvidos na tomada dos limites serem iguais não significa que os limites sejam iguais; pois não estamos tomando o mesmo limite em ambos os casos. Por exemplo, considere

$$\underset{h\to 0}{lim}\underset{k\to 0}{lim}\frac{h^2-k^2}{h^2+k^2}=\underset{h\to 0}{lim}\frac{h^2}{h^2}=\underset{h\to 0}{lim}1=1\cdot$$

Por outro lado,

$$\underset{k\to 0}{lim}\underset{h\to 0}{lim}\frac{h^2-k^2}{h^2+k^2}=\underset{k\to 0}{lim}\frac{-k^2}{k^2}=\underset{k\to 0}{lim}-1=-1\cdot$$

Sabemos, pela existência de $f_x$, que podemos aplicar o teorema do valor médio a $f(x,y)$ quando considerada como função de $x$ para $y$ fixo. Assim, temos

$$f(x_0+h,y_0+k)-f(x_0,y_0+k)=h{f}_x(\xi ,y_0+k),$$

onde $\xi$ está entre $x_0$ e $x_0+h$, e

f(x_0 + h, y_0) - f(x_0, y_0) = h f_x(\xi', y_0),

onde \xi' está entre $x_0$ e $x_0+h$. Suponha por um momento que \xi = \xi'; então o numerador nas expressões cujos limites são as derivadas parciais segundas mistas é

$$h(f_x(\xi ,y_0+k)-f_x(\xi ,y_0))=hk{f}_{xy}(\xi ,\eta )$$

para algum $\eta$ entre $y_0$ e $y_0+k$. Assim, teríamos, por exemplo,

$$f_{yx}(x_0,y_0)=\underset{h\to 0}{lim}\underset{k\to 0}{lim}{f}_{xy}(\xi ,\eta ),$$

onde $(\xi ,\eta )$ está em nosso retângulo. Então, se soubéssemos que

$$\underset{h\to 0}{lim}\underset{k\to 0}{lim}{f}_{xy}(\xi ,\eta )=f_{xy}(x_0,y_0),$$

teríamos o resultado de que

$$f_{xy}(x_0,y_0)=f_{yx}(x_0,y_0)\cdot$$

No entanto, isso não é sempre verdade. Deixa-se como exercício mostrar que para a função

f(x, y) =\left\{\begin{aligned} &\frac{4xy(x^2 - y^2)}{x^2 + y^2}, && (x, y) \neq (0, 0) \\ \\ &0, && (x, y) = (0, 0) \end{aligned}\right\} ,

temos $f_{xy}(0,0)=+4,f_{yx}(0,0)=-4$. Mas neste exemplo, nem $f_{xy}$ nem $f_{yx}$ é contínua em $(0,0)$. Se $f_{xy}$ é contínua em $(x_0,y_0)$, então de fato temos

$$\underset{h\to 0}{lim}\underset{k\to 0}{lim}{f}_{xy}(\xi ,\eta )=f_{xy}(x_0,y_0),$$

e teríamos mostrado $f_{xy}(x_0,y_0)=f_{yx}(x_0,y_0)$ se pudéssemos ter certeza de que \xi = \xi'. Mas podemos garantir isso:

Seja

$$g(x)=f(x,y_0+k)-f(x,y_0)\cdot$$

Então

$$g(x_0+h)-g(x_0)=f(x_0+h,y_0+k)-f(x_0+h,y_0)-f(x_0,y_0+k)+f(x_0,y_0)$$

é exatamente o numerador da expressão que estamos considerando. Como $g(x)$ é derivável, com g'(x) = f_x(x, y_0 + k) - f_x(x, y_0), temos

g(x_0 + h) - g(x_0) = h g'(\xi),

onde $\xi$ está entre $x_0$ e $x_0+h$. Assim

\begin{aligned} f(x_0 + h, y_0 + k) - f(x_0 + h, y_0) - &f(x_0, y_0 + k) + f(x_0, y_0) \\[6pt] &= h\bigg(f_x(\xi, y_0+k) - f_x(\xi, y_0)\bigg). \end{aligned}

Agora, isso é igual a $hk{f}_{xy}(\xi ,\eta )$ para algum $\eta$ entre $y_0$ e $y_0+k$, e podemos concluir a prova como quando assumimos \xi = \xi'. O que provamos é o seguinte:

Em praticamente todas as aplicações, temos de fato $f_{yx}=f_{xy}$, de modo que você verá essa propriedade sendo usada livremente na maioria dos livros.

EXERCÍCIOS