مشتقات جزئی

اکنون فرض کنید f ( x , y ) تابعی از دو متغیر باشد. ما مسئله‌ی یافتن مشتق‌های f ( x , y ) را در نظر می‌گیریم. در حال حاضر، دو نوع مشتق را در نظر خواهیم گرفت: اگر ( x 0 , y 0 ) یک نقطه باشد، مشتق تابع g ( x ) = f ( x , y 0 ) در x 0 را مشتق جزئی f ( x , y ) نسبت به x در ( x 0 , y 0 ) می‌نامیم و آن را به‌صورت

f x ( x 0 , y 0 ) , یا  ∂ f ∂ x ( x 0 , y 0 ) ⋅

می‌نویسیم. به همین ترتیب، مشتق جزئی f ( x , y ) نسبت به y در ( x 0 , y 0 ) که به‌صورت

f y ( x 0 , y 0 ) , یا  ∂ f ∂ y ( x 0 , y 0 )

نوشته می‌شود، مشتق تابع h ( y ) = f ( x 0 , y ) در y = y 0 است. بنابراین داریم

f x ( x 0 , y 0 ) = lim h → 0 f ( x 0 + h , y 0 ) − f ( x 0 , y 0 ) h , f y ( x 0 , y 0 ) = lim k → 0 f ( x 0 , y 0 + k ) − f ( x 0 , y 0 ) k ⋅

در این صورت باید مشخص باشد که منظور ما از f x x , f x y , f y x , f y y چیست؛ برای مثال، f x y ( x 0 , y 0 ) = ( f x ) y ( x 0 , y 0 ) ، یا به عبارت دیگر، مشتق جزئی نسبت به y از مشتق جزئی نسبت به x تابع f ( x , y ) . برای یافتن آن، باید از رابطه زیر استفاده کنیم

بنابراین صورت کسر ما ترکیبی از مقادیر تابع در چهار گوشه‌ی مستطیل نشان‌داده‌شده در زیر، با علامت‌های متناظر است:

TikZ figure

به همین ترتیب،

f y x ( x 0 , y 0 ) = lim h → 0 lim k → 0 f ( x 0 + h , y 0 + k ) − f ( x 0 + h , y 0 ) − f ( x 0 , y 0 + k ) + f ( x 0 , y 0 ) h k ⋅

این واقعیت که دو عبارتی که در حدگیری دخیل هستند با هم برابرند، به این معنا نیست که حدها نیز برابرند؛ زیرا ما در هر دو حالت حد یکسانی نمی‌گیریم. برای مثال، عبارت زیر را در نظر بگیرید

lim h → 0 lim k → 0 h 2 − k 2 h 2 + k 2 = lim h → 0 h 2 h 2 = lim h → 0 1 = 1 ⋅

از سوی دیگر،

lim k → 0 lim h → 0 h 2 − k 2 h 2 + k 2 = lim k → 0 − k 2 k 2 = lim k → 0 − 1 = − 1 ⋅

به‌واسطه وجود f x ، می‌دانیم که می‌توانیم قضیه مقدار میانگین را برای f ( x , y ) وقتی که به عنوان تابعی از x در نظر گرفته می‌شود برای یافتن y اعمال کنیم. بنابراین داریم

f ( x 0 + h , y 0 + k ) − f ( x 0 , y 0 + k ) = h f x ( ξ , y 0 + k ) ,

که در آن ξ بین x 0 و x 0 + h است، و

که در آن بین x 0 و x 0 + h است. برای لحظه‌ای فرض کنید باشد؛ در این صورت صورت کسر در عبارت‌هایی که حدهای آن‌ها مشتق‌های جزئی مرتبه دوم آمیخته هستند، عبارت است از

h ( f x ( ξ , y 0 + k ) − f x ( ξ , y 0 ) ) = h k f x y ( ξ , η )

به ازای مقداری η بین y 0 و y 0 + k . بنابراین برای مثال خواهیم داشت

f y x ( x 0 , y 0 ) = lim h → 0 lim k → 0 f x y ( ξ , η ) ,

که در آن ( ξ , η ) در مستطیل ما قرار دارد. حال اگر می‌دانستیم که

lim h → 0 lim k → 0 f x y ( ξ , η ) = f x y ( x 0 , y 0 ) ,

به این نتیجه می‌رسیدیم که

f x y ( x 0 , y 0 ) = f y x ( x 0 , y 0 ) ⋅

با این حال، این گزاره همیشه درست نیست. نشان دادن این که برای تابع

داریم f x y ( 0 , 0 ) = + 4 , f y x ( 0 , 0 ) = − 4 ، به عنوان تمرین واگذار می‌شود. اما در این مثال، نه f x y و نه f y x در ( 0 , 0 ) پیوسته نیستند. اگر f x y در ( x 0 , y 0 ) پیوسته باشد، در این صورت داریم

lim h → 0 lim k → 0 f x y ( ξ , η ) = f x y ( x 0 , y 0 ) ,

و چنانچه می‌توانستیم مطمئن شویم است، نشان می‌دادیم که f x y ( x 0 , y 0 ) = f y x ( x 0 , y 0 ) . اما می‌توانیم این کار را ترتیب دهیم:

فرض کنید

g ( x ) = f ( x , y 0 + k ) − f ( x , y 0 ) ⋅

آنگاه

g ( x 0 + h ) − g ( x 0 ) = f ( x 0 + h , y 0 + k ) − f ( x 0 + h , y 0 ) − f ( x 0 , y 0 + k ) + f ( x 0 , y 0 )

دقیقاً صورت کسر عبارتی است که در نظر داریم. از آنجا که g ( x ) مشتق‌پذیر است و ، داریم

که در آن ξ بین x 0 و x 0 + h است. بنابراین

اکنون این مقدار برابر با h k f x y ( ξ , η ) برای مقداری η بین y 0 و y 0 + k است، و می‌توانیم اثبات را همانند زمانی که فرض کردیم به پایان برسانیم. آنچه اثبات کرده‌ایم به شرح زیر است:

قضیه 1

فرض کنید f x y ( x 0 , y 0 ) و f y x ( x 0 , y 0 ) وجود داشته باشند، و دست‌کم یکی از f x y یا f y x در ( x 0 , y 0 ) پیوسته باشد. در این صورت

f y x ( x 0 , y 0 ) = f x y ( x 0 , y 0 ) .

عملاً در تمامی کاربردها، f y x = f x y برقرار است، بنابراین خواهید دید که از این ویژگی در بیشتر کتاب‌ها آزادانه استفاده می‌شود.

تمرین‌ها

تمرین 1.

کورانت، ص ۴۷۲، تمرین ۱، ۲.