Taxas de Variação. Velocidade e Aceleração

Alguns dos problemas mais importantes do cálculo são aqueles em que o tempo é a variável independente, e temos que pensar nos valores de alguma outra quantidade que varia quando o tempo varia. Algumas coisas crescem conforme o tempo passa; outras coisas diminuem. A distância que um trem viajou desde seu ponto de partida continua sempre aumentando conforme o tempo passa. As árvores ficam mais altas conforme os anos passam. Qual está crescendo com a maior taxa; uma planta $12$ polegadas de altura que em um mês fica com $14$ polegadas de altura, ou uma árvore $12$ pés de altura que em um ano fica com $14$ pés de altura?

Neste capítulo vamos fazer muito uso da palavra taxa. Nada a ver com taxa de pobreza, ou taxa de água (exceto que mesmo aqui a palavra sugere uma proporção—uma razão—tantos pence por libra). Nada a ver nem mesmo com taxa de natalidade ou taxa de mortalidade, embora essas palavras sugiram tantos nascimentos ou mortes por mil da população. Quando um carro passa voando por nós, dizemos: Que velocidade terrível! Quando um pródigo anda lançando seu dinheiro aos quatro ventos, observamos que aquele jovem está vivendo em uma escala extraordinária. O que queremos dizer com taxa? Em ambos esses casos estamos fazendo uma comparação mental de algo que está acontecendo, e o tempo que leva para acontecer. Se o carro passa voando a $40$ jardas por segundo, um simples cálculo mental mostrará que isto é equivalente—enquanto isso dura—a uma taxa de $2400$ jardas por minuto, ou cerca de $82$ milhas por hora.¹

Agora, em que sentido é verdade que uma velocidade de $40$ jardas por segundo é a mesma que $2400$ jardas por minuto? Quarenta jardas não são a mesma coisa que $2400$ jardas, nem um segundo é a mesma coisa que um minuto. O que queremos dizer ao afirmar que a taxa é a mesma, é isto: que a proporção entre a distância percorrida e o tempo levado para percorrê-la, é a mesma em ambos os casos.

Tomemos outro exemplo. Um homem pode ter apenas algumas libras em sua posse, mas ainda assim conseguir gastar dinheiro à taxa de milhões por ano—contanto que continue gastando dinheiro naquela taxa por apenas alguns minutos. Suponha que você passa um xelim sobre o balcão para pagar algumas mercadorias; e suponha que a operação dura exatamente um segundo. Então, durante essa breve operação, você está gastando seu dinheiro à taxa de $1$ xelim² por segundo, o que é a mesma taxa que £$3$ por minuto, ou £$180$ por hora, ou £$4320$ por dia, ou £$1.576.800$ por ano! Se você tem £$10$ em seu bolso, você pode continuar gastando dinheiro à taxa de um milhão por ano por apenas $5\frac{1}{4}$ minutos.

Agora tente colocar algumas dessas ideias em notação diferencial.

Deixe $y$ neste caso representar dinheiro, e deixe $t$ representar tempo.

Se você está gastando dinheiro, e a quantidade que você gasta em um curto tempo $dt$ é chamada $dy$, a taxa de gasto será $\dfrac{dy}{dt}$, ou melhor, deveria ser escrita com um sinal de menos, como $-\dfrac{dy}{dt}$, porque $dy$ é um decremento, não um incremento. Mas dinheiro não é um bom exemplo para o cálculo, porque geralmente vem e vai aos saltos, não por um fluxo contínuo—você pode ganhar £$200$ por ano, mas ele não continua entrando durante todo o dia em um fino fluxo; vem apenas semanalmente, ou mensalmente, ou trimestralmente, em porções: e sua despesa também sai em pagamentos repentinos.

Uma ilustração mais apropriada da ideia de uma taxa é fornecida pela velocidade de um corpo em movimento. De Londres (estação Euston) a Liverpool são $200$ milhas. Se um trem sai de Londres às $7$ horas e chega a Liverpool às $11$ horas, você sabe que, como viajou $200$ milhas em $4$ horas, sua taxa média deve ter sido $50$ milhas por hora; porque $\frac{200}{4} = \frac{50}{1}$. Aqui você está realmente fazendo uma comparação mental entre a distância percorrida e o tempo levado para percorrê-la. Você está dividindo um pelo outro. Se $y$ é a distância total, e $t$ o tempo total, claramente a taxa média é $\dfrac{y}{t}$. Agora a velocidade não foi realmente constante durante toda a jornada: no início, e durante a desaceleração no final da jornada, a velocidade era menor. Provavelmente em alguma parte, quando descendo uma ladeira, a velocidade foi acima de $60$ milhas por hora. Se, durante qualquer elemento particular de tempo $dt$, o elemento correspondente de distância percorrida foi $dy$, então naquela parte da jornada a velocidade era $\dfrac{dy}{dt}$. A taxa na qual uma quantidade (neste caso, distância) está mudando em relação à outra quantidade (neste caso, tempo) é propriamente expressa, então, indicando a derivada de uma com respeito à outra. Uma velocidade, cientificamente expressa, é a taxa na qual uma distância muito pequena em qualquer direção dada está sendo percorrida; e pode portanto ser escrita \[v = \dfrac{dy}{dt}.\]

Mas se a velocidade $v$ não é uniforme, então ela deve estar ou aumentando ou diminuindo. A taxa na qual uma velocidade está aumentando é chamada de aceleração. Se um corpo em movimento está, em qualquer instante particular, ganhando uma velocidade adicional $dv$ em um elemento de tempo $dt$, então a aceleração $a$ naquele instante pode ser escrita \[a = \dfrac{dv}{dt};\] mas $dv$ é ele próprio $d\left( \dfrac{dy}{dt} \right)$. Portanto, podemos escrever \[a = \frac{d\left( \dfrac{dy}{dt} \right)}{dt};\] e isto é geralmente escrito $a = \dfrac{d^2y}{dt^2}$; ou a aceleração é a segunda derivada da distância, com respeito ao tempo. A aceleração é expressa como uma mudança de velocidade em uma unidade de tempo, por exemplo, como sendo tantos pés por segundo por segundo; a notação utilizada sendo $\text{feet}/\text{second}^2$.

Quando um trem de carga acabou de começar a se mover, sua velocidade $v$ é pequena; mas está rapidamente ganhando velocidade—está sendo apressado, ou acelerado, pelo esforço do motor. Assim, seu $\dfrac{d^2y}{dt^2}$ é grande. Quando chegou à sua velocidade máxima ele não está mais sendo acelerado, de modo que então $\dfrac{d^2y}{dt^2}$ caiu para zero. Mas quando se aproxima do seu ponto de parada, sua velocidade começa a diminuir; pode, de fato, diminuir muito rapidamente se os freios forem acionados, e durante este período de desaceleração ou redução de ritmo, o valor de $\dfrac{dv}{dt}$, isto é, de $\dfrac{d^2y}{dt^2}$ será negativo.

Para acelerar uma massa $m$ é necessária a aplicação contínua de uma força. A força necessária para acelerar uma massa é proporcional à massa, e também é proporcional à aceleração que está sendo imprimida. Portanto, podemos escrever para a força $f$, a expressão \[f = ma;\] ou \[f = m \frac{dv}{dt};\] ou \[f = m \frac{d^2y}{dt^2}.\]

O produto de uma massa pela velocidade na qual ela está indo é chamado de sua quantidade de movimento, e em símbolos $mv$. Se diferenciarmos a quantidade de movimento com respeito ao tempo, obteremos $\dfrac{d(mv)}{dt}$ para a taxa de mudança da quantidade de movimento. Mas, como $m$ é uma quantidade constante, isto pode ser escrito $m \dfrac{dv}{dt}$, que vemos acima é a mesma coisa que $f$. Isto é, força pode ser expressa tanto como massa vezes aceleração, como taxa de mudança de quantidade de movimento.

Novamente, se uma força é empregada para mover algo (contra uma força de reação igual e oposta), ela faz trabalho; e a quantidade de trabalho feito é medida pelo produto da força pela distância (em sua própria direção) através da qual seu ponto de aplicação se move para frente. Então, se uma força $f$ se move para frente através de um comprimento $y$, o trabalho feito (que podemos chamar de $w$) será \[w = f \times y;\] onde tomamos $f$ como uma força constante. Se a força varia em diferentes partes do intervalo $y$, então devemos encontrar uma expressão para seu valor de ponto a ponto. Se $f$ é a força ao longo do pequeno elemento de comprimento $dy$, a quantidade de trabalho feito será $f \times dy$. Mas como $dy$ é apenas um elemento de comprimento, apenas um elemento de trabalho será feito. Se escrevermos $w$ para trabalho, então um elemento de trabalho será $dw$; e temos \[dw = f \times dy;\] que pode ser escrito \[dw = ma\cdot dy;\] ou \[dw = m \frac{d^2y}{dt^2}\cdot dy;\] ou \[dw = m \frac{dv}{dt}\cdot dy.\] Além disso, podemos transpor a expressão e escrever \[\frac{dw}{dy} = f.\]

Isto nos dá ainda uma terceira definição de força; que se está sendo usada para produzir um deslocamento em qualquer direção, a força (naquela direção) é igual à taxa na qual o trabalho está sendo feito por unidade de comprimento naquela direção. Nesta última sentença a palavra taxa claramente não é usada em seu sentido de tempo, mas em seu significado como razão ou proporção.

Sir Isaac Newton, que foi (junto com Gottfried Wilhelm Leibniz) um inventor dos métodos do cálculo, considerava todas as quantidades que estavam variando como fluindo; e a razão que hoje chamamos de derivada ele considerava como a taxa de fluxo, ou a fluxão da quantidade em questão. Ele não usava a notação de $dy$ e $dx$, e $dt$ (isto era devido a Leibniz), mas tinha em vez disso uma notação sua própria. Se $y$ era uma quantidade que variava, ou "fluía", então seu símbolo para sua taxa de variação (ou "fluxão") era $\dot{y}$. Se $x$ era a variável, então sua fluxão era denotada por $\dot{x}$. O ponto sobre a letra indicava que tinha sido diferenciada. Em física, esta notação ainda está em uso, mas exclusivamente onde tempo é a variável independente. Naquele caso, $\dot{y}$ vai significar $\dfrac{dy}{dt}$ e $\dot{u}$ vai significar $\dfrac{du}{dt}$; e $\ddot{x}$ vai significar $\dfrac{d^2x}{dt^2}$.

Adotando esta notação fluxional podemos escrever as equações mecânicas consideradas nos parágrafos acima, como segue:

distância	$x$,
velocidade	$v = \dot{x}$,
aceleração	$a = \dot{v} = \ddot{x}$,
força	$f = m\dot{v} = m\ddot{x}$,
trabalho	$w = x \times m \ddot{x}$.

Exemplos

Example 1.

Exemplo 8.1. Um corpo se move de tal forma que a distância $x$ (em pés), que ele percorre a partir de um certo ponto $O$ (veja a figura a seguir), é dada pela relação $x = 0.2t^2 + 10.4$, onde $t$ é o tempo em segundos decorrido desde um certo instante. (a) Encontre a velocidade e aceleração $5$ segundos depois que o corpo começou a se mover. (b) Encontre os valores correspondentes quando a distância coberta é $100$ pés. (c) Encontre também a velocidade média durante os primeiros $10$ segundos de seu movimento. (Suponha que distâncias e movimento para a direita sejam positivos.)

Solução. Agora \[\begin{gathered} x = 0.2t^2 + 10.4 \\ v = \dot{x} = \frac{dx}{dt} = 0.4t;\quad\text{and}\quad a = \ddot{x} = \frac{d^2x}{dt^2} = 0.4 = \text{constant.} \end{gathered}\]

Os gráficos de $x$, $v$, e $a$ versus $t$ são mostrados abaixo.

Quando $t = 0$, $x = 10.4$ e $v = 0$. O corpo começou a partir de um ponto $10.4$ pés à direita do ponto $O$; e o tempo foi calculado a partir do instante em que o corpo começou.

(a) Quando $t = 5$, $v = 0.4 \times 5 = 2~\text{ft/s}$; $a = 0.4~\text{ft/s}^2$.

(b) Quando $x = 100$, $100 = 0.2t^2 + 10.4$, ou $t^2 = 448$, e $t = 21.17~\text{s}$; $v = 0.4 \times 21.17 = 8.468~\text{ft/s}$

(c) Quando $t = 10$, \[\begin{gathered} \text{distância percorrida} = 0.2 \times 10^2 + 10.4 - 10.4 = 20~\text{ft.} \\ \text{Velocidade média} = \frac{20}{10} = 2~\text{ft/s.} \end{gathered}\]

(É a mesma velocidade que a velocidade no meio do intervalo, $t = 5$; pois, estando a aceleração constante, a velocidade variou uniformemente de zero quando $t = 0$ para $4~\text{ft/s}$ quando $t = 10$ s.)

Example 2.

Exemplo 8.2. Resolva o problema acima se \[x = 0.2t^2 + 3t + 10.4.\]

Solução. Se $x = 0.2t^2 + 3t + 10.4$, então \[\begin{gathered} v = \dot{x} = \dfrac{dx}{dt} = 0.4t + 3;\quad a = \ddot{x} = \frac{d^2x}{dt^2} = 0.4 = \text{constant}. \end{gathered}\] Os gráficos de $x$, $v$, e $a$ versus $t$ são mostrados abaixo.

Quando $t = 0$, $x = 10.4$ e $v = 3$ ft/s (pés por segundo), o tempo é calculado a partir do instante em que o corpo passou por um ponto $10.4$ ft a partir do ponto $O$, sua velocidade sendo então já $3$ ft/s.

(a) Para encontrar o tempo decorrido desde que começou a se mover, deixe $v = 0$; então $0.4t + 3 = 0$, $t= -\frac{3}{0.4} = -7.5$ segundos. O corpo começou a se mover $7.5$ segundos antes do tempo começar a ser observado; $5$ segundos depois disto dá $t = -2.5$ e $v = 0.4 \times -2.5 + 3 = 2$ ft/s.

(b) Quando $x = 100$ ft, \[100 = 0.2t^2 + 3t + 10.4;\quad \text{ou }\quad t^2 + 15t - 448 = 0;\] portanto $t = 14.95$ s, $v = 0.4 \times 14.95 + 3 = 8.98$ ft/s.

(c) Para encontrar a distância percorrida durante os $10$ primeiros segundos do movimento, deve-se saber a que distância o corpo estava do ponto $O$ quando começou.

Quando $t = -7.5$, \[x = 0.2 \times (-7.5)^2 - 3 \times 7.5 + 10.4 = -0.85~\text{ft},\] isto é $0.85$ ft à esquerda do ponto $O$.

Agora, quando $t = 2.5$, \[x = 0.2 \times 2.5^2 + 3 \times 2.5 + 10.4 = 19.15.\]

Portanto, em $10$ segundos, a distância percorrida foi $19.15 + 0.85 = 20$ ft, e \[\text{a velocidade média } = \dfrac{20}{10} = 2 \text{ ft/s}.\]

Example 3.

Exemplo 8.3. Considere um problema similar ao anterior, mas agora suponha que a distância é dada por $x = 0.2t^2 - 3t + 10.4$.

(a) Encontre a velocidade e aceleração $5$ segundos depois que o corpo começou a se mover. (b) Encontre os valores correspondentes quando a distância coberta é $100$ pés. (c) Encontre também a velocidade média durante os primeiros $10$ segundos de seu movimento.

Solução. Se \[x = 0.2t^2 - 3t + 10.4\] então \[v = 0.4t - 3,\qquad a = 0.4 = \text{constant}.\]

Os gráficos de $x$ e $v$ versus $t$ são mostrados abaixo.

(a) Quando $t = 0$, $x = 10.4$ como antes, e $v = -3$; de modo que o corpo estava se movendo na direção oposta ao seu movimento nos casos anteriores (veja a figura a seguir). Como a aceleração é positiva, porém, vemos que esta velocidade diminuirá numericamente³ conforme o tempo passa, até que se torne zero, quando $v = 0$ ou $0.4t - 3 = 0$; ou $t = 7.5$ segundos. Depois disso, a velocidade torna-se positiva; e $5$ segundos depois que o corpo começou, $t = 12.5$, e \[v = 0.4 \times 12.5 - 3 = 2 \text{ ft/s}.\]

(b) Quando $x = 100$, \[\begin{align} 100 = 0.2t^2 - 3t + 10.4,\quad \text{ou } t^2 - 15t - 448 = 0, \end{align}\] e \[\begin{align} t = 29.95;\ v = 0.4 \times 29.95 - 3 = 8.98~\text{ft/s} \end{align}\]

(c) Quando $v$ é zero, $x = 0.2 \times 7.5^2 - 3 \times 7.5 + 10.4 = -0.85$, informando-nos que o corpo se move para trás para $0.85$ ft além do ponto $O$ antes de parar. Dez segundos depois \[t = 17.5 \text{ e } x = 0.2 \times 17.5^2 - 3 \times 17.5 + 10.4 = 19.15.\] $\text{A distância percorrida} = 0.85 + 19.15 = 20.0$, e a velocidade média é novamente $2$ ft/sec.

Example 4.

Exemplo 8.4. Considere mais um problema do mesmo tipo com $x = 0.2t^3 - 3t^2 + 10.4$; $v = 0.6t^2 - 6t$; $a = 1.2t - 6$. A aceleração não é mais constante.

Os gráficos de $x$, $v$, e $a$ versus $t$ são mostrados abaixo.

Quando $t = 0$, $x = 10.4$, $v = 0$, $a = -6$. O corpo está em repouso, mas pronto para se mover com uma aceleração negativa, isto é, para ganhar uma velocidade em direção ao ponto $O$ (veja a figura a seguir).

Example 5.

Exemplo 8.5. Se temos $x = 0.2t^3 - 3t + 10.4$, então $v = 0.6t^2 - 3$, e $a = 1.2t$.

Quando $t = 0$, $x = 10.4$; $v = -3$; $a = 0$.

O corpo está se movendo em direção ao ponto $O$ com uma velocidade de $3$ ft/s,⁴ e justamente naquele instante a velocidade é uniforme (isto é, sua taxa de mudança é zero).

Os gráficos de $x$, $v$, e $a$ versus $t$ são mostrados abaixo.

Vemos que as condições do movimento sempre podem ser imediatamente ascertained a partir da equação de distância-tempo e de suas primeira e segunda funções derivadas. Nos últimos dois casos a velocidade média durante os primeiros $10$ segundos e a velocidade $5$ segundos após o início já não serão as mesmas, porque a velocidade não está aumentando uniformemente, a aceleração não sendo mais constante.

Example 6.

Exemplo 8.6. O ângulo $\theta$ (em radianos) girado por uma roda é dado por $\theta = 3 + 2t - 0.1t^3$, onde $t$ é o tempo em segundos a partir de um certo instante; encontre a velocidade angular $\omega$ e a aceleração angular⁵ $\alpha$, (a) depois de $1$ segundo; (b) depois de ter realizado uma revolução. (c) Em que momento está em repouso, e quantas revoluções realizou até aquele instante?

Solução. Escrevendo para a aceleração \[\omega = \dot{\theta} = \dfrac{d\theta}{dt} = 2 - 0.3t^2,\quad \alpha = \ddot{\theta} = \dfrac{d^2\theta}{dt^2} = -0.6t.\]

Quando $t = 0$, $\theta = 3$; $\omega = 2$ rad/s; $\alpha = 0$.

(a) Quando $t = 1$, \[\omega = 2 - 0.3 = 1.7~\text{rad/s};\quad \alpha = -0.6~\text{rad/s}^2.\]

Isto é uma desaceleração; a roda está desacelerando.

(b) Depois de $1$ revolução \[\theta = 2\pi \approx 6.28;\quad 6.28 = 3 + 2t - 0.1t^3.\]

Ao plotar o gráfico, $\theta = 3 + 2t - 0.1t^3$ (veja a figura a seguir), podemos obter o valor ou valores de $t$ para o qual $\theta = 6.28$; estes são $2.11$ e $3.03$ (existe um terceiro valor negativo).

Quando $t = 2.11$, \[\begin{gathered} \theta = 6.28;\quad\omega = 2 - 1.34 = 0.66 \text{ rad/s}; \\ \alpha = -1.27 \text{ rad/s}^2. \end{gathered}\] Quando $t = 3.03$, \[\begin{gathered} \theta = 6.28;\quad \omega = 2 - 2.754 = -0.754 \text{ rad/s}; \\ \alpha = -1.82 \text{ rad/s}^2. \end{gathered}\]

(c) A velocidade é invertida. A roda está evidentemente em repouso entre esses dois instantes; está em repouso quando $\omega = 0$, isto é, quando $0 = 2 - 0.3t^3$, ou quando $t = 2.58~\text{s}$, realizou \[\dfrac{\theta}{2\pi} = \dfrac{3 + 2 \times 2.58 - 0.1 \times 2.58^3}{6.28} = 1.025 \text{ revoluções}.\]

Ao plotar o gráfico de $\theta = 3 + 2t - 0.1t^3$, observamos que em $t=2.58$ segundos, onde a velocidade angular $\omega=\frac{d\theta}{dt}$ é zero, a curva tem um pico e o valor de $\theta$ naquele momento é localmente um máximo (veja a figura a seguir).

Exercícios

Exercise 1.

Exercício 8.1. Se $y = a + bt^2 + ct^4$; encontre $\dfrac{dy}{dt}$ e $\dfrac{d^2y}{dt^2}$.

Resposta

$\dfrac{dy}{dt} = 2bt + 4ct^3$;$\dfrac{d^2y}{dt^2} = 2b + 12ct^2$.

Solução

\[\begin{align} & y=a+b t^{2}+c t^{4} \\ & \frac{d y}{d t}=2 b t+4 c t^{3} \\ & \frac{d^{2} y}{d t^{2}}=2 b+6 c t^{2} \end{align}\]

Exercise 2.

Exercício 8.2. Um corpo caindo livremente no espaço descreve em $t$ segundos um espaço $s$, em pés, expresso pela equação $s = 16t^2$. Desenhe uma curva mostrando a relação entre $s$ e $t$. Também determine a velocidade do corpo nos seguintes momentos a partir de quando foi solto: $t = 2$ segundos; $t = 4.6$ segundos; $t = 0.01$ segundos.

Resposta

64; 147.2; e 0.32 pés por segundo.

Solução

\[s=16 t^{2} \Rightarrow v=32 t\]

Quando $t=2, v=64~\mathrm{ft} / \mathrm{s}$

quando $t=4.6, v=147.2\ \mathrm{ft} / \mathrm{s}$

quando $t=0.01, v=0.32\ \mathrm{ft} / \mathrm{s}$

Exercise 3.

Exercício 8.3. Se $x = at - \frac{1}{2}gt^2$; encontre $\dot{x}$ e $\ddot{x}$.

Resposta

$\dot{x} = a - gt$; $\ddot{x} = -g$.

Solução

\[\begin{align} & x=a t-\frac{1}{2} g t^{2} \\ & \dot{x}=\frac{d x}{d t}=a-g t \\ & \ddot{x}=\frac{d^{2} x}{d t^{2}}=-g \end{align}\]

Exercise 4.

Exercício 8.4. Se um corpo se mova de acordo com a lei \[s = 12 - 4.5t + 6.2t^2,\] encontre sua velocidade quando $t = 4$ segundos; $s$ sendo em pés.

Resposta

$45.1$ pés por segundo.

Solução

\[\begin{align} & s=12-4.5 t+6.2 t^{2} \\ & v=\frac{d s}{d t}=-4.5+12.4 t \end{align}\] Quando $t=4, v=45.1~\mathrm{ft} / \mathrm{s}$

Exercise 5.

Exercício 8.5. Encontre a aceleração do corpo mencionado no exemplo anterior. A aceleração é a mesma para todos os valores de $t$?

Resposta

$12.4$ pés por segundo por segundo. Sim.

Solução

\[v=-4.5+12.4 t\]

\[a=\frac{d v}{d t}=12.4~\mathrm{ft} / \mathrm{s}^{2}\] Sim, a aceleração é a mesma para todos os valores de $t$.

Exercise 6.

Exercício 8.6. O ângulo $\theta$ (em radianos) girado por uma roda em movimento é conectado com o tempo $t$ (em segundos) que decorrido desde o início; pela lei \[\theta = 2.1 - 3.2t + 4.8t^2.\] Encontre a velocidade angular (em radianos por segundo) daquela roda quando $1\frac{1}{2}$ segundos decorreram. Encontre também sua aceleração angular.

Resposta

Velocidade angular ${} = 11.2$ radianos por segundo; aceleração angular ${}= 9.6$ radianos por segundo por segundo.

Solução

\[\theta=2.1-3.2 t+4.8 t^{2}\]

\[\begin{align} & \omega=\frac{d \theta}{d t}=-3.2+9.6 t ~ \frac{\mathrm{rad}}{\mathrm{s}} \\ & \alpha=\frac{d \omega}{d t}=\frac{d^{2} \theta}{d t^{2}}=9.6 ~ \frac{\mathrm{rad}}{\mathrm{s}^{2}} \end{align}\]

Quando $t=1 \frac{1}{2}=1.5$ segundos, $\omega=11.2~\mathrm{rad} / \mathrm{s}$

Para todos os valores de $t$, $\alpha=9.6~\mathrm{rad} / \mathrm{s}^{2}$

Exercise 7.

Exercício 8.7. Um slider se move de tal forma que, durante a primeira parte de seu movimento, sua distância $s$ em polegadas desde seu ponto de partida é dada pela expressão \[s = 6.8t^3 - 10.8t;\quad\text{$t$~em segundos}.\] Encontre a expressão para a velocidade e a aceleração em qualquer momento; e portanto encontre a velocidade e a aceleração depois de $3$ segundos.

Resposta

$v = 20.4t^2 - 10.8$.$a = 40.8t$.$172.8$ in/s, $122.4~\text{in/s}^2$.

Solução

\[\begin{align} & s=6.8 t^{3}-10.8 t \\ & v=\frac{d s}{d t}=20.4 t^{2}-10.8 \\ & a=\frac{d v}{d t}=40.8 t \end{align}\]

Quando $t=3$ segundos, $v=172.8~\mathrm{in} / \mathrm{s}$.

Quando $t=3$ segundos, $a=122.4~\mathrm{in} / \mathrm{s}^{2}$.

Exercise 8.

Exercício 8.8. O movimento de um balão subindo é tal que sua altura $h$, em milhas, é dada em qualquer instante pela expressão $h = 0.5 + \frac{1}{10}\sqrt[3]{t-125}$; $t$ em segundos.

Encontre uma expressão para a velocidade e a aceleração em qualquer momento. Desenhe curvas para mostrar a variação de altura, velocidade e aceleração durante os primeiros dez minutos da subida.

Resposta

$v = \dfrac{1}{30 \sqrt[3]{(t - 125)^2}}$,$a = - \dfrac{1}{45 \sqrt[3]{(t - 125)^5}}$.

Solução

\[h=0.5+\frac{1}{10}(t-125)^{\frac{1}{3}}\]

Se temos uma mudança no tempo (definindo uma nova origem para o tempo), $\tau=t-125$, então $h=0.5+\frac{1}{10} \tau^{\frac{1}{3}}$. Porém, como é uma simples mudança, esperamos que a taxa de mudança de $h$ com respeito a ambos $t$ e $\tau$ seja a mesma. \[\frac{dh}{dt}=\frac{dh}{d\tau}.\]

\[\begin{gathered} v=\frac{d h}{d \tau}=\frac{1}{30} \tau^{-\frac{2}{3}}=\frac{1}{30}(t-125)^{-\frac{2}{3}} \\ a=\frac{d^{2} h}{d t^{2}}=\frac{d^{2} h}{d \tau^{2}}=-\frac{1}{45}\tau^{-\frac{5}{2}}=-\frac{1}{45}(t-125)^{-\frac{5}{2}} \end{gathered}\]

Os gráficos de velocidade ($v$) e aceleração ($a$) como funções do tempo são apresentados abaixo. As fórmulas para velocidade e aceleração, junto com os gráficos acompanhantes, demonstram que em $t=125$ segundos, tanto a velocidade quanto a aceleração tornam-se infinitas ou "explodem". Isto indica que não é possível para uma fórmula existir para a altura ($h$) neste cenário.

Exercise 9.

Exercício 8.9. Uma pedra é lançada para baixo na água e sua profundidade $p$ em metros em qualquer instante $t$ segundos após alcançar a superfície da água é dada pela expressão \[p = \frac{4}{4+t^2} + 0.8t - 1.\]

Encontre uma expressão para a velocidade e a aceleração em qualquer momento. Encontre a velocidade e a aceleração depois de $10$ segundos.

Resposta

$v = 0.8 - \dfrac{8t}{(4 + t^2)^2}$,$a = \dfrac{24t^2 - 32}{(4 + t^2)^3}$,$0.7926$ e $0.00211$.

Solução

\[p=\frac{4}{4+t^{2}}+0.8 t-1\] \[\begin{align} v&=\frac{d p}{d t}=\frac{-2 t \times 4}{\left(4+t^{2}\right)^{2}}+0.8 \\ & =-\frac{8 t}{\left(4+t^{2}\right)^{2}}+0.8 \end{align}\] \[\begin{align} a & =\frac{d^{2} p}{d t^{2}}\\ & =-\frac{8\left(4+t^{2}\right)^{2}-8 t \frac{d\left(16+8 t^{2}+t^{4}\right)}{d t}}{\left(4+t^{2}\right)^{4}} \\ & =-\frac{8\left(16+8 t^{2}+t^{4}\right)-8 t\left(16 t+4 t^{3}\right)}{\left(4+t^{2}\right)^{4}} \\ & =\frac{24 t^{4}+64 t^{2}-128}{\left(4+t^{2}\right)^{4}} \\ & =8 \frac{\left(3 t^{4}+8 t^{2}-16\right)}{\left(4+t^{2}\right)^{4}} \end{align}\]

Quando $t=10$ segundos, \[v=-\frac{8 \times 10}{(4+100)^{2}}+0.8 \approx 0.7926~\frac{\text{m}}{\text{s}}\]

Quando $t=10$, \[a=\frac{8\left(3 \times 10^{4}+8 \times 100-16\right)}{(4+100)^{4}} \approx 0.00211~\frac{\text{m}}{\text{s}^2}.\]

Exercise 10.

Exercício 8.10. Um corpo se move de tal forma que os espaços descritos no tempo $t$ desde o início é dado por $s = t^n$, onde $n$ é uma constante. Encontre o valor de $n$ quando a velocidade é dobrada do $5$º para o $10$º segundo; encontre também quando a velocidade é numericamente igual à aceleração no final do $10$º segundo.

Resposta

$n = 2$, $n = 11$.

Solução

\[s=t^{n} \Rightarrow v=\frac{d s}{d t}=n t^{n-1} \Rightarrow a=\frac{d v}{d t}=n(n-1) t^{n-2}\]

Em $t=5, \qquad v=n .5^{n-1}$,

Em $t=10,\qquad v=n \times 10^{n-1}$

A velocidade é dobrada do $5$º para o $10$º segundo. Assim, temos \[\begin{align} & 2 \times n \times 5^{n-1}=n \times 10^{n-1}=n \times 5^{n-1} \times 2^{n-1} \\ & 2=2^{n-1} \Rightarrow n=2 \end{align}\]

A velocidade é numericamente igual à aceleração no final do $10$º segundo. Assim \[n \times 10^{n-1}=n(n-1) 10^{n-2}\] \[\Rightarrow n-1=10\] ou \[n=11.\]

Existem 1.760 jardas em uma milha.↩︎

20 xelins $=$ 1 libra. Atualmente 1 libra é aproximadamente 1,21 dólares dos Estados Unidos.↩︎

Em outras palavras, durante os primeiros 7,5 segundos, o valor absoluto da velocidade (que é chamado de rapidez) diminui, mas a velocidade em si está aumentando algebricamente com o tempo porque vai de $-3$ para $0$. Em geral, sempre que a aceleração de um corpo é positiva, sua velocidade aumenta algebricamente, e sempre que a aceleração é negativa, sua velocidade diminui algebricamente.↩︎

O valor absoluto da velocidade é chamado de rapidez; isto é, rapidez $=\left|\dfrac{dx}{dt}\right|$. Portanto, é mais preciso dizer que o corpo está se movendo em direção ao ponto $O$ com uma rapidez de $3$ ft/s.↩︎

A velocidade angular é $\omega=\dfrac{d\theta}{dt}$ e a aceleração angular é $\alpha=\dfrac{d^2\theta}{dt^2}$.⁵

Taxas de Variação. Velocidade e Aceleração

Exemplos

Exercícios

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distância	\(x\),
velocidade	\(v = \dot{x}\),
aceleração	\(a = \dot{v} = \ddot{x}\),
força	\(f = m\dot{v} = m\ddot{x}\),
trabalho	\(w = x \times m \ddot{x}\).