Somas, Produtos, Recíprocos

Sejam $f(x)$ e $g(x)$ funções que possuem derivadas f'(x) e $g'(x)). Procuremos a derivada da função $f(x) + g(x)h \to 0$, o primeiro termo tende a $f'(x)$, o segundo a $g'(x)$, e a soma a $f'(x) + g'(x)c$ um número, e forme a função $cf(x)h \to 0$, isso tende a $cf'(x)a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0$, onde $a_0, a_1, \dots, a_n$ são números e $n$ é um inteiro positivo. Pois por b), a derivada de $a_0$é0,eporc)e(\ast \ast ),ade$a_i x^i$é$i a_i x^{i-1}$ para $1 \le i \le nx^k$de$x$,$k$ um inteiro $\ge 0f(x)g(x)h \to 0$, as quantidades envolvidas se aproximam das expressões indicadas pelas setas abaixo delas. A única questão questionável aqui pode ser $f(x+h) \to f(x)f(x)g'(x) + f'(x)g(x)f(x)x_0$ se, sempre que $x$ está próximo de $x_0$,então$f(x)$ está próximo de $f(x_0)f'(x_0)\epsilon(h) \to 0$ quando $h \to 0h \to 0f'(x_0)$ existe, então $f(x)$ é contínua em $x_0\frac{1}{f(x)}$, onde $f(x)h \to 0$, isso se aproxima de

- \frac{f'(x)}{\left(f(x)\right)^2} ,

da maneira indicada pelas setas. Portanto, derivamos

\bbox[5px,border:1px solid black;background-color:#f2f2f2]{\left(\frac{1}{f(x)}\right)' = - \frac{f'(x)}{\left(f(x)\right)^2}.}\tag{****}

Segue-se que

\begin{aligned} \left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)' &= \left( f(x) \cdot \frac{1}{g(x)} \right)' \\[6pt] &= f(x) \cdot \left( - \frac{g'(x)}{(g(x))^2} \right) + f'(x) \cdot \frac{1}{g(x)} , \end{aligned}

ou

\left( \frac{f(x)}{g(x)} \right)' = \frac{g(x)f'(x) - f(x)g'(x)}{(g(x))^2} .