مجموع‌ها، ضرب‌ها، معکوس‌ها

فرض کنید $f (x)$ و $g (x)$ توابعی باشند که مشتق‌های و را دارند. بیایید به دنبال مشتق تابع $f (x) + g (x)$ بگردیم. خارج قسمت تفاضل مناسب عبارت است از

وقتی $h \to 0$ ، جمله اول به ، جمله دوم به و مجموع به میل می‌کند. این قاعده زیر را به دست می‌دهد

حال فرض کنید $c$ یک عدد باشد و تابع $c f (x)$ را تشکیل دهیم. خارج قسمت تفاضل آن عبارت است از

\frac{c f (x + h) - c f (x)}{h} = c \cdot \frac{f (x + h) - f (x)}{h} .

وقتی $h \to 0$ ، این به میل می‌کند و قاعده زیر را به دست می‌دهد

بر اساس قواعد (*) و (**) و مثال‌های (b) و (c)، آماده‌ایم مشتق هر چندجمله‌ای، یعنی هر تابعی به شکل $a_{n} x^{n} + a_{n - 1} x^{n - 1} + \dots + a_{1} x + a_{0}$ را محاسبه کنیم، که در آن $a_{0}, a_{1}, \dots, a_{n}$ اعدادی هستند و $n$ یک عدد صحیح مثبت است. زیرا طبق b)، مشتق $a_{0}$ برابر 0 است، و طبق c) و (**)، مشتق $a_{i} x^{i}$ برابر $i a_{i} x^{i - 1}$ برای $1 \leq i \leq n$ است. بنابراین می‌توانیم مشتق هر جمله در مجموع را پیدا کنیم. از (*) می‌بینیم که مشتق مجموع دو جمله برابر مجموع مشتق‌های آن‌ها است. نتیجه می‌شود برای سه جمله، زیرا

توجه کنید که ما به سادگی (*) را دو بار به کار برده‌ایم. یک تکرار نشان می‌دهد که این قاعده برای چهار جمله برقرار است و به همین ترتیب برای هر تعداد دلخواه. این موردی برای استفاده از اصل استقرا است که درباره آن در بخش بعدی بیشتر خواهیم گفت. بنابراین نشان داده‌ایم که اگر

f (x) = a_{n} x^{n} + a_{n - 1} x^{n - 1} + \dots + a_{1} x + a_{o},

آنگاه

بدین ترتیب می‌توانیم هر چندجمله‌ای را مشتق بگیریم.

توجه. روشی که قاعده چندجمله‌ای‌ها از روی آن استخراج شد، شایسته کمی تحلیل است. با دانستن تنها مشتق‌های توان‌های $x^{k}$ از $x$ ، که در آن $k$ یک عدد صحیح $\geq 0$ است، توانستیم مشتق هر ترکیبی از این‌ها با ضرایب ثابت را تعیین کنیم. این در واقع نتیجه قواعد (*) و (**) بود. خاصیتی که با این قواعد بیان می‌شود، خطی بودن مشتق‌گیری نامیده می‌شود. به طور کلی، عملیاتی که روی توابع انجام می‌شود خطی نامیده می‌شود اگر نتیجه اعمال آن روی مجموع دو تابع، همان مجموع نتایج اعمال آن روی دو تابع به طور جداگانه باشد، و اگر نتیجه اعمال آن روی مضرب ثابتی از یک تابع، همان ضرب آن ثابت در نتیجه اعمال آن روی تابع باشد. این خاصیت در ریاضیات بسیار مهم است و در ادامه موارد بیشتری از آن خواهیم دید.

حال تابع $f (x) g (x)$ را در نظر بگیرید. خارج قسمت تفاضل آن عبارت است از

\frac{f (x + h) g (x + h) - f (x) g (x)}{h}

و راه مستقیم و واضحی برای حمله به این عبارت وجود ندارد. بنابراین باید تا حدی به روش‌های غیرمستقیم متوسل شویم و ترفندی را معرفی کنیم که اغلب مفید است. اگر خارج قسمت تفاضل چنین بود

\frac{f (x + h) g (x + h) - f (x + h) g (x)}{h} = f (x + h) \cdot \frac{g (x + h) - g (x)}{h},

این دست‌کم عبارتی را در بر می‌داشت که حد آن را می‌شناسیم. اما اگر به جای خارج قسمت تفاضل اصلی از این استفاده کرده بودیم، باید آن را با افزودن تفاضل آن‌ها تصحیح می‌کردیم، یعنی

اما وقتی $h \to 0$ ، کمیت‌های درگیر به عبارت‌هایی میل می‌کنند که با فلش‌های زیرشان مشخص شده است. تنها مورد قابل تردید در اینجا ممکن است $f (x + h) \to f (x)$ باشد؛ این خاصیتی را بیان می‌کند که پیوستگی نامیده می‌شود و همه توابعی که مشتق دارند و نیز بسیاری از توابع دیگر از آن برخوردارند. این موضوع در پاراگراف بعدی کامل‌تر بحث خواهد شد. بنابراین کل عبارت به میل می‌کند و قاعده زیر را داریم

تابع $f (x)$ را در $x_{0}$ پیوسته می‌نامند اگر هرگاه $x$ نزدیک به $x_{0}$ باشد، آنگاه $f (x)$ نزدیک به $f (x_{0})$ باشد، یا به عبارت دیگر، اگر

lim_{h \to 0} f (x_{0} + h) = f (x_{0}) .

حال فرض کنید وجود دارد. آنگاه

که در آن $ϵ (h) \to 0$ وقتی $h \to 0$ ، و

وقتی $h \to 0$ ، فلش‌ها حدود سمت راست را نشان می‌دهند. بنابراین

lim_{h \to 0} (f (x_{0} + h) - f (x_{0})) = 0,

یا

lim_{h \to 0} f (x_{0} + h) = f (x_{0}) .

بنابراین:

اگر وجود داشته باشد، آنگاه $f (x)$ در $x_{0}$ پیوسته است.

سپس تابع $\frac{1}{f (x)}$ را در نظر بگیرید، که در آن $f (x)$ هرگز صفر نیست. خارج قسمت تفاضل عبارت است از

وقتی $h \to 0$ ، این به عبارت زیر میل می‌کند

به نحوی که با فلش‌ها نشان داده شده است. بنابراین نتیجه زیر را استخراج کرده‌ایم

نتیجه می‌شود که

یا