和、积与倒数

设 $f (x)$ 和 $g (x)$ 是具有导数和的函数。我们来求函数 $f (x) + g (x)$ 的导数。相应的差商为

当 $h \to 0$ 时，第一项趋于，第二项趋于，其和趋于。由此得到法则

现在设 $c$ 是一个数，构造函数 $c f (x)$ 。它的差商是

\frac{c f (x + h) - c f (x)}{h} = c \cdot \frac{f (x + h) - f (x)}{h} .

当 $h \to 0$ 时，它趋于，由此得到法则

基于法则 (*) 和 (**) 以及例和，我们已经可以计算任意 多项式 的导数，即形如 $a_{n} x^{n} + a_{n - 1} x^{n - 1} + \dots + a_{1} x + a_{0}$ 的任意函数，其中 $a_{0}, a_{1}, \dots, a_{n}$ 是数， $n$ 是正整数。因为根据 b)， $a_{0}$ 的导数是 0，而根据 c) 和 (**)， $a_{i} x^{i}$ 的导数在 $1 \leq i \leq n$ 时为 $i a_{i} x^{i - 1}$ 。因此我们可以求出和式中每一项的导数。由 (*) 可知，两项之和的导数等于它们的导数之和。对于三项也成立，因为

注意我们只是把 (*) 用了两次。重复这一过程可知该法则对四项成立，依此类推对任意想要的项数都成立。这正是使用 归纳原理 的场合，我们将在下一节中更多地讨论它。因此我们已经证明：如果

f (x) = a_{n} x^{n} + a_{n - 1} x^{n - 1} + \dots + a_{1} x + a_{o},

则

这样我们就能对任意多项式求导了。

注。导出多项式求导法则的过程值得做一些分析。仅凭 $x$ 的各次幂 $x^{k}$ （ $k$ 为 $\geq 0$ 的整数）的导数，我们就能确定这些幂与常数系数的任意组合的导数。这实际上是法则 (*) 和 (**) 的结果。这些法则所表达的性质称为微分的线性。一般而言，对函数施加的一种运算称为 线性的，如果它作用于两个函数之和所得的结果等于分别作用于这两个函数所得结果之和，并且它作用于一个函数的常数倍所得的结果等于该常数乘以作用于该函数的结果。这一性质在数学中非常重要，随着我们的深入，我们会看到它更多的出现。

现在考虑函数 $f (x) g (x)$ 。它的差商是

\frac{f (x + h) g (x + h) - f (x) g (x)}{h}

而且没有明显的直接方法来处理它。因此我们必须借助 somewhat 间接的手段，引入一个经常有用的技巧。如果差商是

\frac{f (x + h) g (x + h) - f (x + h) g (x)}{h} = f (x + h) \cdot \frac{g (x + h) - g (x)}{h},

那么它至少包含一个我们认识其极限的表达式。但如果我们用它来代替原来的差商，就必须通过加上它们的差来修正，即

当 $h \to 0$ 时，所涉及的量趋于它们下方箭头所指的表达式。这里唯一可能有疑问的地方是 $f (x + h) \to f (x)$ ；这表达了一种称为 连续性 的性质，所有具有导数的函数都具有这种性质，许多其他函数也是如此。这将在下一段中更充分地讨论。于是整个表达式趋于，我们便得到法则

如果只要 $x$ 接近 $x_{0}$ 时 $f (x)$ 就接近 $f (x_{0})$ ，换句话说，如果

lim_{h \to 0} f (x_{0} + h) = f (x_{0}) .

则称函数 $f (x)$ 在 $x_{0}$ 处连续。现在假设存在。那么

其中当 $h \to 0$ 时 $ϵ (h) \to 0$ ，且

当 $h \to 0$ 时，箭头指出了右边的极限。因此

lim_{h \to 0} (f (x_{0} + h) - f (x_{0})) = 0,

即

lim_{h \to 0} f (x_{0} + h) = f (x_{0}) .

所以：

如果存在，则 $f (x)$ 在 $x_{0}$ 处连续。

接下来考虑函数 $\frac{1}{f (x)}$ ，其中 $f (x)$ 恒不为零。差商是

当 $h \to 0$ 时，它按箭头所指的方式趋于

因此我们推导出

由此可得

即