Posfácio: Um Tratamento Rigoroso da Integral Definida

No ano seguinte àquele em que estas notas se baseiam, houve tempo suficiente ao final do curso para permitir uma discussão rigorosa da integral definida. Foi apontado que o conceito de área usado em nossa definição anterior era apenas intuitivo, e o problema de definir o conceito de área sob uma curva mais ou menos suave foi discutido. Isso levou naturalmente a aproximações superior e inferior por retângulos, ou a somas superiores e inferiores. Como em Begle, Introductory Calculus, (Holt, Nova York, 1954), as integrais superior e inferior foram definidas como o ínfimo e o supremo, respectivamente, das somas superiores e inferiores, e a integral foi definida como o valor comum das integrais superior e inferior quando elas são iguais. Os teoremas sobre integrais usados anteriormente e o teorema de existência da integral de uma função contínua foram então demonstrados como nos §§3 e 4 do Capítulo 7 do livro de Begle citado acima.