后记：定积分的严格处理

在这些讲义所依据的那一年的下一年，课程结束时还有足够的时间来对定积分进行严格的讨论。我们指出，之前定义中所使用的面积概念只是直观的，并讨论了定义一条较为光滑曲线下方面积概念的问题。这自然引出了用矩形从上方和下方进行逼近的方法，即上和与下和。正如Begle的《Introductory Calculus》（Holt，纽约，1954年）中所述，上积分和下积分分别被定义为上和与下和的最大下界和最小上界，而当上积分与下积分相等时，积分就被定义为它们的公共值。关于积分的各定理以及连续函数的积分存在性定理，则按照上面引用的Begle著作第7章第3节和第4节中的方法加以证明。