A Regra da Cadeia

Sejam $f(x)$ e $g(x)$ deriváveis, e considere a função composta $f(g(x))$. Desenvolveremos uma regra para usar na diferenciação dessa função, e essa regra ampliará enormemente a coleção de funções que podemos diferenciar. Por exemplo, a função $y=\sqrt{x^2+1}$ pode ser escrita como $f(g(x))$, onde $f(u)=\sqrt{u},g(x)=x^2+1$, e podemos diferenciar cada uma dessas funções.

A razão diferencial que devemos considerar é

$$\frac{f(g(x+h))-f(g(x))}{h}.$$

Se considerarmos a imagem de $g(x)$, isto é, o conjunto de valores de $g(x)$, como um conjunto de números dos quais denotamos o geral por $u$, primeiro consideramos a diferença

\frac{f(u+k) - f(u)}{k} - f'(u) .

Para $k$ pequeno, essa expressão está próxima de 0. Colocamos sobre um denominador comum e escrevemos

\epsilon(k) = \frac{f(u+k) - f(u) - kf'(u)}{k} .

Então $ϵ(k)$ é um número que depende de $k$, e é pequeno quando $k$ é pequeno. Claro, $k=0$ é proibido. Reescrevamos esta equação como

f(u+k) - f(u) = k \epsilon(k) + k f'(u) .

Se escolhêssemos qualquer número e o chamássemos de $ϵ(0)$, esta última equação seria verdadeira para todo $k$, incluindo $k=0$. Mas, para fazer $ϵ(k)$ pequeno junto com $k$, decidimos escolher o número 0 como aquele que chamaremos de $ϵ(0)$. Assim, nós definimos $ϵ(0)=0$.

Na razão diferencial original, escrevamos $u=g(x)$, $u+k=g(x+h)$. Então $k=g(x+h)-g(x)$. Pela continuidade de $g(x)$, $k\to 0$ quando $h\to 0$, e assim $ϵ(k)\to 0$ quando $h\to 0$. Agora temos

\frac{f(g(x+h)) - f(g(x))}{h} = \frac{f(u+k) - f(u)}{h} = \frac{k \epsilon(k) + k f'(u)}{h}= \frac{g(x+h) - g(x)}{h} \cdot \epsilon(k) + \frac{g(x+h) - g(x)}{h} \cdot f'(u) .

As quantidades envolvidas se aproximam dos limites indicados quando $h\to 0$. Portanto, a expressão inteira se aproxima de f'(u)g'(x), e temos a regra da cadeia:

\bbox[5px,border:1px solid black;background-color:#f2f2f2]{(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x).}

Exercício