链式法则

设 $f(x)$ 和 $g(x)$ 具有导数，考虑复合函数 $f(g(x))$。我们将建立一个用于求该函数导数的法则，这个法则将极大地扩展我们能够求导的函数的范围。例如，函数 $y=\sqrt{x^2+1}$ 可以写成 $f(g(x))$ 的形式，其中 $f(u)=\sqrt{u},g(x)=x^2+1$，而我们可以对这两个函数分别求导。

我们必须考虑的差商是

如果我们将 $g(x)$ 的值域，即 $g(x)$ 的值的集合，看作一组数，并将其中的 general 值记为 $u$，那么我们首先考虑差

当 $k$ 很小时，这个表达式接近于 0。我们将其通分并写成

那么 $ϵ(k)$ 是一个依赖于 $k$ 的数，当 $k$ 很小时它也很小。当然，$k=0$ 是不允许的。让我们把这个等式改写为

如果我们任取一个数并称之为 $ϵ(0)$，那么上面最后的等式将对所有 $k$ 成立，包括 $k=0$。但为了使 $ϵ(k)$ 随 $k$ 一起变小，我们决定选取数 0 作为我们称之为 $ϵ(0)$ 的那个数。于是我们定义 $ϵ(0)=0$。

在原来的差商中，让我们写作 $u=g(x)$，$u+k=g(x+h)$。那么 $k=g(x+h)-g(x)$。由 $g(x)$ 的连续性，当 $h\to 0$ 时 $k\to 0$，因此当 $h\to 0$ 时 $ϵ(k)\to 0$。现在我们有

当 $h\to 0$ 时，其中各个量趋于所指明的极限。因此整个表达式趋于 ，于是我们得到链式法则：

习题