قاعده زنجیره‌ای

فرض کنید $f(x)$ و $g(x)$ مشتق داشته باشند، و تابع مرکب $f(g(x))$ را در نظر بگیرید. قاعده‌ای برای مشتق‌گیری از این تابع توسعه خواهیم داد، و این قاعده مجموعه توابعی که می‌توانیم از آن‌ها مشتق بگیریم را به‌طور چشمگیری گسترش خواهد داد. برای مثال، تابع $y=\sqrt{x^2+1}$ را می‌توان به صورت $f(g(x))$ نوشت، که در آن $f(u)=\sqrt{u},g(x)=x^2+1$، و می‌توانیم از هر یک از این توابع مشتق بگیریم.

خارج قسمت تفاضلی که باید در نظر بگیریم عبارت است از

اگر برد $g(x)$، یعنی مجموعه مقادیر $g(x)$ را به صورت مجموعه‌ای از اعداد در نظر بگیریم که عدد عمومی آن را با $u$ نشان می‌دهیم، ابتدا تفاضل زیر را در نظر می‌گیریم

برای $k$ کوچک، این عبارت به 0 نزدیک است. آن را روی مخرج مشترک می‌گذاریم و می‌نویسیم

آنگاه $ϵ(k)$ عددی است که به $k$ بستگی دارد، و وقتی $k$ کوچک است کوچک است. البته، $k=0$ ممنوع است. این معادله را به صورت زیر بازنویسی می‌کنیم

اگر بخواهیم هر عددی را انتخاب کنیم و آن را $ϵ(0)$ بنامیم، این معادله آخر برای همه $k$ها، از جمله $k=0$، درست خواهد بود. اما برای اینکه $ϵ(k)$ همراه با $k$ کوچک شود، تصمیم می‌گیریم عدد 0 را به عنوان عددی که $ϵ(0)$ می‌نامیم انتخاب کنیم. بنابراین $ϵ(0)=0$ را تعریف می‌کنیم.

در خارج قسمت تفاضلی اصلی، بنویسیم $u=g(x)$، $u+k=g(x+h)$. آنگاه $k=g(x+h)-g(x)$. بنا بر پیوستگی $g(x)$، وقتی $h\to 0$ داریم $k\to 0$، و بنابراین وقتی $h\to 0$ داریم $ϵ(k)\to 0$. اکنون داریم

کمیت‌های دخیل با $h\to 0$ به حدود مشخص‌شده میل می‌کنند. بنابراین کل عبارت به میل می‌کند، و قاعده زنجیره‌ای را داریم:

تمرین