A Derivada

Suponha que desejamos encontrar a tangente a uma dada curva em um dado ponto dessa curva. Antes de podermos tentar fazer isso, devemos saber o que significa uma reta ser tangente a uma curva. Certamente significa mais do que a reta interceptar a curva em apenas um ponto, pois essa condição é satisfeita no diagrama a seguir pela linha preta contínua:

Talvez alguém pudesse sugerir que a inclinação da reta está em jogo. (Se $A$ é um vetor paralelo à reta, $A=(a_1,a_2)$, a razão $\frac{a_2}{a_1}$ é a inclinação da reta se $a_1\ne 0$; a inclinação é indefinida se $a_1=0$. Assim,

$$\text{inclinação}=\frac{\text{elevação vertical}}{\text{deslocamento horizontal}},$$

quando definida.) Poderíamos então dizer que a tangente em $x=1$ à curva $y=x^2$ é a reta que passa pelo ponto $(1,1)$ e tem a mesma inclinação que a curva naquele ponto. Mas agora substituímos a noção indefinida de "inclinação de uma curva" pela ideia de "tangente a uma curva."

Assim como temos uma noção intuitiva que nos permite esboçar no diagrama acima uma linha vermelha que se aproxima da tangente à curva em um ponto, temos uma noção de inclinação da curva em um ponto. Na verdade, nossa noção intuitiva de inclinação é provavelmente apenas "a inclinação da reta tangente". Vemos deste exemplo que a inclinação em pontos diferentes, nesse sentido, pode ser diferente; ela depende do ponto, que no caso de cada curva individual depende da coordenada x do ponto. Assim, a inclinação é uma função de $x$, ou seja, existe uma regra (talvez bastante complicada) pela qual podemos atribuir a cada número $x$ de uma certa coleção (não necessariamente todos os $x$) um único número $s(x)$, que neste caso é a inclinação da curva no valor dado de $x$.

Mas a pergunta, "Qual é a inclinação?" permanece sem resposta, e a razão é muito simples. Pois, dentro da linguagem da nossa álgebra e geometria, não há combinação de conceitos capaz de expressar o que sentimos intuitivamente que "inclinação" significa. Portanto, devemos definir a inclinação em termos que envolvem certas noções novas.

Agora suponha que eu queira encontrar a inclinação de uma encosta de montanha em algum ponto. O que eu faria? Eu poderia obter uma estimativa da inclinação ficando no ponto de interesse e enviando um ajudante um pouco morro acima. Então poderíamos comparar a diferença de altura com a distância horizontal entre nós, obtendo uma razão que serviria como uma inclinação aproximada.

Esta seria a inclinação da linha tracejada no diagrama. É evidente pelo diagrama que, se eu enviasse meu ajudante muito longe, talvez para além do topo da montanha, os valores aproximados que eu obteria para a inclinação provavelmente não teriam sentido. Por outro lado, se ele se aproximasse mais de mim, as estimativas que obteríamos estariam mais próximas do que gostaríamos de chamar de inclinação. Mais estimativas também poderiam ser obtidas enviando-o morro abaixo, e essas seriam igualmente melhores se ele não fosse enviado tão longe.

Agora vamos tentar este procedimento no gráfico da função $y=x^2$ no ponto onde $x=1$, ou seja, em $(1,1)$. Eu fico em $(1,1)$ e envio meu ajudante até onde sua coordenada x é $1+h$. Então ele está no ponto $(1+h,(1+h{)}^2)$, porque ele está sobre a curva. O valor aproximado que obtemos para a inclinação é

$$\frac{(1+h{)}^2-1}{(1+h)-1}=\frac{2h+h^2}{h}=2+h.$$

À medida que a distância $h$ que ele percorre à frente é reduzida, ou à medida que $h$ se aproxima de zero, nossa aproximação para a inclinação fica cada vez mais próxima de 2. O mesmo acontece se o enviarmos para baixo ao longo da curva, pois isso simplesmente equivale a usar um $h$ negativo no processo acima. Por exemplo, quando $h=.0001$, obtemos uma inclinação aproximada de 2.0001; quando $h=-.000001$, uma inclinação aproximada de 1.999999. Então definimos a inclinação de $𝒚\mathbf{=}{𝒙}^{\mathbf{2}}$ em $𝒙\mathbf{=}\mathbf{1}$ como sendo 2, que é o número ao qual as aproximações da inclinação tendem quando h se aproxima de zero.

Assim, reduzimos o termo geométrico indefinido "inclinação" à propriedade dos números que nos diz que os valores de $2+h$ estão muito próximos de 2 se h for muito pequeno. O que é importante é que existe um número definido 2 que tem essa propriedade.

Agora a mesma coisa acontecerá se tomarmos qualquer valor de $x$ para a função $y=x^2$. Em vez de ficar em $(1,1)$, ficamos em $(x,x^2)$. Nosso ajudante vai para $(x+h,(x+h{)}^2)$. O valor aproximado para a inclinação é

$$\frac{(x+h{)}^2-x^2}{h}=\frac{2xh+h^2}{h}=2x+h.$$

Agora, à medida que h se aproxima de zero, esses valores $2x+h$ se aproximam do número $2x$. Logo, a inclinação da função $y=x^2$ em qualquer ponto $x$ é $2x$.

Assim, reduzimos o termo geométrico indefinido "inclinação" ao termo numérico indefinido "se aproxima." Nesta etapa, faremos uma pausa no processo de definição. Uma definição precisa do que se entende por "se aproxima" será dada mais adiante no curso, quando a experiência tê-lo-á preparado para isso, mas veremos nos exemplos que é bastante fácil determinar as inclinações de muitas curvas comuns sem entrar profundamente nos conceitos de "limite" e "aproximação." Quando propriedades especiais desses conceitos forem usadas, elas devem ser observadas, e demonstrações cuidadosas serão fornecidas em um momento posterior.

Agora, seja $y=f(x)$ uma função de $x$, e seja $x_0$ um certo valor fixo de $x$. Suponha que as inclinações aproximadas, ou, como dizemos, os quocientes das diferenças,

$$\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$$

se aproximem de um único número $b$ quando $h$ se aproxima de zero. Então definimos a inclinação do gráfico de $𝒚\mathbf{=}𝒇\mathbf{(}𝒙\mathbf{)}$ em ${𝒙}_{\mathbf{0}}$, ou a derivada de $𝒇\mathbf{(}𝒙\mathbf{)}$ em ${𝒙}_{\mathbf{0}}$, como sendo o número b. Se não há nenhum número único $b$ ao qual os quocientes das diferenças se aproximem (por exemplo, se eles se aproximam de 1 para h's positivos se aproximando de zero e de $-1$ para h's negativos se aproximando de zero), dizemos que a inclinação (ou derivada) de $y=f(x)$ em $x=x_0$ é indefinida. Se estiver definida, a denotamos por