La derivada

Supongamos que deseamos encontrar la tangente a una curva dada en un punto dado de esa curva. Antes de poder intentarlo, debemos saber qué significa que una recta sea tangente a una curva. Ciertamente significa más que el hecho de que la recta interseque la curva en un solo punto, pues esta condición se cumple en el siguiente diagrama por la recta negra sólida:

Quizás alguien podría sugerir que la pendiente de la recta está involucrada. (Si $A$ es un vector paralelo a la recta, $A = (a_{1}, a_{2})$ , la razón $\frac{a_{2}}{a_{1}}$ es la pendiente de la recta si $a_{1} \neq 0$ ; la pendiente está indefinida si $a_{1} = 0$ . Así

pendiente = \frac{elevación vertical}{avance horizontal},

si está definida.) Entonces podríamos decir que la tangente en $x = 1$ a la curva $y = x^{2}$ es la recta que pasa por el punto $(1, 1)$ y tiene la misma pendiente que la curva en ese punto. Pero ahora hemos sustituido la noción indefinida de "pendiente de una curva" por la idea de "tangente a una curva".

Así como tenemos una noción intuitiva que nos permite trazar en el diagrama anterior una recta roja que aproxima la tangente a la curva en un punto, tenemos una noción de pendiente de la curva en un punto. De hecho, nuestra noción intuitiva de pendiente es probablemente simplemente "la pendiente de la recta tangente". Vemos de este ejemplo que la pendiente en diferentes puntos, en este sentido, puede ser diferente; depende del punto, que en el caso de cada curva individual, depende de la coordenada x del punto. Así, la pendiente es una función de $x$ , es decir, existe una regla (quizás bastante complicada) mediante la cual podemos asignar a cada número $x$ de una cierta colección (no necesariamente todos los $x$ ) un único número $s (x)$ , que en este caso es la pendiente de la curva en el valor dado de $x$ .

Pero la pregunta, "¿Cuál es la pendiente?", permanece sin respuesta, y la razón es muy simple. Porque dentro del lenguaje de nuestro álgebra y geometría no hay combinación de conceptos capaz de expresar lo que intuitivamente sentimos que significa "pendiente". Por lo tanto, debemos definir la pendiente en términos que involucren ciertas nociones nuevas.

Ahora supongamos que quiero encontrar la pendiente de una ladera de montaña en algún punto. ¿Qué haría? Podría obtener una estimación de la pendiente parándome en el punto de interés y enviando a un ayudante montaña arriba una pequeña distancia. Entonces podríamos comparar la diferencia de altura con la distancia horizontal entre nosotros, obteniendo una razón que serviría como una pendiente aproximada.

Esta sería la pendiente de la recta quebrada en el diagrama. Es evidente por el diagrama que si enviara a mi ayudante muy lejos, quizás hasta la cima de la montaña, los valores aproximados que obtendría para la pendiente probablemente carecerían de sentido. Por otro lado, si se acercara más a mí, las estimaciones que obtendríamos estarían más cerca de lo que nos gustaría llamar la pendiente. También podrían obtenerse más estimaciones enviándolo montaña abajo, y estas serían igualmente mejores si no se le enviara tan lejos.

Ahora probemos este procedimiento con la gráfica de la función $y = x^{2}$ en el punto donde $x = 1$ , es decir, en $(1, 1)$ . Me paro en $(1, 1)$ y envío a mi ayudante hasta donde su coordenada x es $1 + h$ . Entonces él está en el punto $(1 + h, (1 + h)^{2})$ , porque está sobre la curva. El valor aproximado que obtenemos para la pendiente es

\frac{(1 + h)^{2} - 1}{(1 + h) - 1} = \frac{2 h + h^{2}}{h} = 2 + h .

A medida que la distancia $h$ que él avanza se hace más corta, o cuando $h$ tiende a cero, nuestra aproximación de la pendiente se acerca cada vez más a 2. Esto sucede también si lo enviamos hacia abajo por la curva, pues esto simplemente equivale a usar una $h$ negativa en el proceso anterior. Por ejemplo, cuando $h = .0001$ , obtenemos una pendiente aproximada de 2.0001; cuando $h = - .000001$ , una pendiente aproximada de 1.999999. Entonces definimos la pendiente de $𝒚 = 𝒙^{2}$ en $𝒙 = 1$ como 2, que es el número al cual se aproximan las aproximaciones de la pendiente cuando h tiende a cero.

Así hemos reducido el término geométrico indefinido "pendiente" a la propiedad de los números que nos dice que los valores de $2 + h$ están muy cerca de 2 si h es muy pequeño. Lo importante es que existe un número definido 2 que tiene esta propiedad.

Ahora sucederá lo mismo si tomamos cualquier valor de $x$ para la función $y = x^{2}$ . En lugar de pararnos en $(1, 1)$ , nos paramos en $(x, x^{2})$ . Nuestro ayudante va a $(x + h, (x + h)^{2})$ . El valor aproximado de la pendiente es

\frac{(x + h)^{2} - x^{2}}{h} = \frac{2 x h + h^{2}}{h} = 2 x + h .

Ahora, cuando h tiende a cero, estos valores $2 x + h$ se acercan al número $2 x$ . Por lo tanto, la pendiente de la función $y = x^{2}$ en cualquier punto $x$ es $2 x$ .

Así hemos reducido el término geométrico indefinido "pendiente" al término numérico indefinido "se aproxima". En esta etapa nos detendremos en el proceso de definición. Una definición precisa de lo que se entiende por "se aproxima" se dará más adelante en el curso, cuando la experiencia lo haya preparado, pero veremos en ejemplos que es bastante fácil determinar las pendientes de muchas curvas comunes sin profundizar en los conceptos de "límite" y "aproximación". Cuando se usen propiedades especiales de estos conceptos, deben señalarse, y se proporcionarán demostraciones cuidadosas en un momento posterior.

Ahora sea $y = f (x)$ una función de $x$ , y sea $x_{0}$ un cierto valor fijo de $x$ . Supongamos que las pendientes aproximadas, o como decimos, los cocientes de diferencias,

\frac{f (x_{0} + h) - f (x_{0})}{h}

se aproximan a un único número $b$ cuando $h$ tiende a cero. Entonces definimos la pendiente de la gráfica de $𝒚 = 𝒇 (𝒙)$ en $𝒙_{0}$ , o la derivada de $𝒇 (𝒙)$ en $𝒙_{0}$ , como el número b. Si no existe un único número $b$ al cual se aproximen los cocientes de diferencias (por ejemplo, si se aproximan a 1 para h's positivos que tienden a cero y a $- 1$ para h's negativos que tienden a cero), decimos que la pendiente (o derivada) de $y = f (x)$ en $x = x_{0}$ está indefinida. Si está definida, la denotamos por

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