مشتق

فرض کنید می‌خواهیم مماس یک منحنی معین را در نقطه‌ای معین از آن منحنی بیابیم. پیش از آنکه بتوانیم چنین کاری را انجام دهیم، باید بدانیم مماس بودن یک خط بر یک منحنی چه معنایی دارد. قطعاً معنای آن بیش از این است که خط تنها در یک نقطه منحنی را قطع کند، زیرا این شرط در شکل زیر توسط خط سیاه توپر برآورده می‌شود:

شاید کسی پیشنهاد کند که شیب خط در میان است. (اگر $A$ برداری موازی با خط باشد، $A = (a_{1}, a_{2})$ ، نسبت $\frac{a_{2}}{a_{1}}$ شیب خط است اگر $a_{1} \neq 0$ ؛ شیب وقتی $a_{1} = 0$ باشد تعریف‌نشده است. بنابراین

شیب = \frac{افزایش عمودی}{پیشروی افقی},

در صورت تعریف‌پذیری.) آنگاه می‌توانیم بگوییم مماس بر منحنی $y = x^{2}$ در $x = 1$ خطی است که از نقطه $(1, 1)$ می‌گذرد و همان شیب منحنی را در آن نقطه دارد. اما اکنون مفهوم تعریف‌نشده "شیب یک منحنی" را جایگزین ایده "مماس بر یک منحنی" کرده‌ایم.

همان‌طور که یک برداشت شهودی داریم که به ما امکان می‌دهد در شکل بالا خطی سرخ‌رنگ رسم کنیم که مماس بر منحنی را در یک نقطه تقریب می‌زند، مفهومی از شیب منحنی در یک نقطه نیز داریم. در واقع، برداشت شهودی ما از شیب احتمالاً چیزی جز "شیب خط مماس" نیست. از این مثال می‌بینیم که شیب در نقاط مختلف، به این معنا، می‌تواند متفاوت باشد؛ این شیب به نقطه بستگی دارد، که در مورد هر منحنی خاص، به مختص x آن نقطه وابسته است. پس شیب یک تابع از $x$ است، یعنی یک قاعده وجود دارد (شاید بسیار پیچیده) که به کمک آن می‌توانیم به هر عدد $x$ از یک مجموعه معین (نه لزوماً همه $x$ ها) یک تنها عدد $s (x)$ نسبت دهیم، که در این حالت همان شیب منحنی در مقدار معین $x$ است.

اما پرسش "شیب چیست؟" بی‌پاسخ می‌ماند، و دلیل آن بسیار ساده است. زیرا در زبان جبر و هندسه ما هیچ ترکیبی از مفاهیم وجود ندارد که بتواند آنچه را شهودی حس می‌کنیم که "شیب" معنا می‌دهد بیان کند. بنابراین باید شیب را با اصطلاحاتی تعریف کنیم که شامل مفاهیم جدیدی هستند.

اکنون فرض کنید بخواهم شیب یک دامنه کوه را در نقطه‌ای بیابم. چه می‌کردم؟ می‌توانستم با ایستادن در نقطه مورد نظر و فرستادن دستیاری اندکی به بالای کوه، تخمینی از شیب به دست آورم. سپس می‌توانستیم اختلاف ارتفاع را با فاصله افقی میان خودمان مقایسه کنیم و نسبتی به دست آید که به عنوان شیب تقریبی عمل می‌کرد.

این همان شیب خط شکسته در شکل است. از شکل آشکار است که اگر دستیارم را بسیار دور بفرستم، شاید از قله کوه هم عبور کند، مقادیر تقریبی که برای شیب به دست می‌آوردم احتمالاً بی‌معنا می‌بودند. از سوی دیگر، اگر او به من نزدیک‌تر شود، تخمین‌هایی که به دست می‌آوریم به آنچه دوست داریم شیب بنامیم نزدیک‌تر خواهد بود. تخمین‌های بیشتری نیز می‌توان با فرستادن او به پایین کوه به دست آورد، و این‌ها نیز به همین ترتیب بهتر خواهند بود اگر او را چندان دور نفرستیم.

اکنون این روش را روی نمودار تابع $y = x^{2}$ در نقطه‌ای که $x = 1$ است، یعنی در $(1, 1)$ ، امتحان کنیم. من در $(1, 1)$ می‌ایستم و دستیارم را به جایی می‌فرستم که مختص x او $1 + h$ باشد. آنگاه او در نقطه $(1 + h, (1 + h)^{2})$ است، زیرا روی منحنی قرار دارد. مقدار تقریبی که برای شیب به دست می‌آوریم برابر است با

\frac{(1 + h)^{2} - 1}{(1 + h) - 1} = \frac{2 h + h^{2}}{h} = 2 + h .

هرچه فاصله $h$ که او به جلو می‌رود کوتاه‌تر شود، یا هرچه $h$ به صفر نزدیک شود، تقریب ما از شیب نزدیک‌تر و نزدیک‌تر به 2 می‌شود. همین وضعیت وقتی نیز برقرار است که او را به پایین منحنی بفرستیم، زیرا این صرفاً به معنای استفاده از $h$ منفی در فرایند بالا است. برای مثال، وقتی $h = .0001$ ، شیب تقریبی 2.0001 به دست می‌آوریم؛ و وقتی $h = - .000001$ ، شیب تقریبی 1.999999. آنگاه شیب $𝒚 = 𝒙^{2}$ در $𝒙 = 1$ را برابر 2 تعریف می‌کنیم، که عددی است که تقریب‌های شیب وقتی h به صفر نزدیک می‌شود به آن نزدیک می‌شوند.

بدین‌ترتیب اصطلاح هندسی تعریف‌نشده "شیب" را به خاصیتی از اعداد فروکاسته‌ایم که به ما می‌گوید مقادیر $2 + h$ اگر h بسیار کوچک باشد بسیار نزدیک به 2 هستند. آنچه مهم است این است که عدد معین 2 وجود دارد که این خاصیت را دارد.

اکنون اگر برای تابع $y = x^{2}$ هر مقداری از $x$ را در نظر بگیریم، همین اتفاق خواهد افتاد. به جای ایستادن در $(1, 1)$ در $(x, x^{2})$ می‌ایستیم. دستیار ما به $(x + h, (x + h)^{2})$ می‌رود. مقدار تقریبی شیب برابر است با

\frac{(x + h)^{2} - x^{2}}{h} = \frac{2 x h + h^{2}}{h} = 2 x + h .

اکنون وقتی h به صفر نزدیک می‌شود، این مقادیر $2 x + h$ به عدد $2 x$ نزدیک می‌شوند. پس شیب تابع $y = x^{2}$ در هر نقطه $x$ برابر $2 x$ است.

بدین‌ترتیب اصطلاح هندسی تعریف‌نشده "شیب" را به اصطلاح عددی تعریف‌نشده "نزدیک شدن" فروکاسته‌ایم. در این مرحله در فرایند تعریف توقف می‌کنیم. تعریف دقیق معنای "نزدیک شدن" بعداً در دوره ارائه خواهد شد، وقتی که تجربه شما را برای آن آماده کرده باشد، اما در مثال‌ها خواهیم دید که تعیین شیب بسیاری از منحنی‌های متداول بدون ورود عمیق به مفاهیم "حد" و "نزدیک شدن" کاملاً آسان است. هر جا از خواص ویژه این مفاهیم استفاده می‌شود، باید به آن‌ها اشاره شود، و اثبات‌های دقیق در زمانی دیگر ارائه خواهند شد.

اکنون فرض کنید $y = f (x)$ تابعی از $x$ باشد و $x_{0}$ مقدار ثابت معینی برای $x$ باشد. فرض کنیم شیب‌های تقریبی، یا به تعبیر ما، خارج‌قسمت‌های تفاضلی،

\frac{f (x_{0} + h) - f (x_{0})}{h}

وقتی $h$ به صفر نزدیک می‌شود، به یک عدد واحد $b$ نزدیک شوند. آنگاه شیب نمودار $𝒚 = 𝒇 (𝒙)$ در $𝒙_{0}$ ، یا مشتق $𝒇 (𝒙)$ در $𝒙_{0}$ را عدد b تعریف می‌کنیم. اگر هیچ عدد واحدی $b$ وجود نداشته باشد که خارج‌قسمت‌های تفاضلی به آن نزدیک شوند (برای مثال اگر برای h‌های مثبت نزدیک‌شونده به صفر به 1 و برای h‌های منفی نزدیک‌شونده به صفر به $- 1$ نزدیک شوند)، می‌گوییم شیب (یا مشتق) $y = f (x)$ در $x = x_{0}$ تعریف‌نشده است. اگر تعریف شده باشد، آن را با