Equações Diferenciais Parciais

Sumário

13.1 INTRODUÇÃO
- 13.1.1 Matemática do Movimento
13.2 AULA
13.3 ILUSTRAÇÃO
EXERCÍCIOS

13.1 INTRODUÇÃO

13.1.1 Matemática do Movimento

Se podemos relacionar as mudanças de uma quantidade com as mudanças de outra quantidade, surgem as equações diferenciais parciais. Uma das regras mais simples é que a taxa de variação de uma função $f (t, x)$ no tempo está relacionada com a taxa de variação no espaço. Tal regra poderia ser expressa, por exemplo, como $f_{t} (t, x) = f_{x} (t, x)$ , onde $f_{t}$ é a derivada parcial em relação a $t$ e $f_{x}$ é a derivada parcial em relação a $x$ . Você pode verificar que $f (t, x) = \sin (t + x)$ é um exemplo de função que satisfaz essa equação diferencial. Você pode ver até que, para qualquer função $g$ , a função $f (t, x) = g (t + x)$ satisfaz $f_{t} = f_{x}$ . Uma situação típica é conhecer $f (0, x)$ , a situação do "agora". Podemos então ver qual é $f (t, x)$ para um tempo posterior $t$ . Isso descreve a situação no futuro. Como você vê, a equação diferencial $f_{t} = f_{x}$ descreve "transporte". A situação inicial é transladada para a esquerda. Verifique isso e desenhe, por exemplo, $f (0, x) = x^{2}$ . Vemos que $f (t, x) = (x + t)^{2}$ e, especialmente, $f (1, x) = (x + 1)^{2}$ . O gráfico se moveu para a esquerda.

**Figura 1.** Uma função $f (t, x)$ que satisfaz uma equação diferencial $f_{t t} - f_{x x} = \sin (u)$ . Essa EDP é chamada equação de *Sin-Gordon*, uma equação de onda não linear que apresenta **sólitons**. O espaço aqui é unidimensional e o tempo vai da esquerda para a direita. Vemos uma onda indo para a esquerda e para a direita, refletindo na fronteira e formando um pico maior. Uma "onda rebelde".

13.2 AULA

13.2.1 Como as EDPs Moldam Nosso Mundo

Uma equação diferencial parcial é uma regra que combina as taxas de variação de diferentes variáveis. Nossas vidas são afetadas por equações diferenciais parciais: as equações de Maxwell descrevem os campos elétrico e magnético $E$ e $B$ . Seu movimento leva à propagação da luz. As equações de campo de Einstein relacionam o tensor métrico $g$ com o tensor de massa $T$ . A equação de Schrödinger descreve como as partículas quânticas se movem. Leis como as equações de Navier-Stokes governam o movimento de fluidos e gases e, especialmente, as correntes nos oceanos ou os ventos na atmosfera. As equações diferenciais parciais também aparecem em lugares inesperados, como em finanças, onde, por exemplo, a equação de Black-Scholes relaciona os preços das opções em função do tempo e dos preços das ações.

13.2.2 Alguns Exemplos de EDPs e EDOs

Se $f (x, y)$ é uma função de duas variáveis, podemos derivar $f$ em relação a ambas $x$ ou $y$ . Escrevemos simplesmente $f_{x} (x, y)$ para $\partial_{x} f (x, y)$ . Por exemplo, para $f (x, y) = x^{3} y + y^{2}$ , temos $f_{x} (x, y) = 3 x^{2} y$ e $f_{y} (x, y) = x^{3} + 2 y$ . Se primeiro derivarmos em relação a $x$ e depois em relação a $y$ , escrevemos $f_{x y} (x, y)$ . Se derivarmos duas vezes em relação a $y$ , escrevemos $f_{y y} (x, y)$ . Uma equação para uma função desconhecida $f$ na qual aparecem derivadas parciais em relação a pelo menos duas variáveis diferentes é chamada de equação diferencial parcial EDP. Se apenas a derivada em relação a uma variável aparece, fala-se de uma equação diferencial ordinária EDO. Um exemplo de EDP é $f_{x}^{2} + f_{y}^{2} = f_{x x} + f_{y y}$ , um exemplo de EDO é f^{\prime \prime}=f^{2}-f^{\prime}. É importante perceber que estamos procurando uma função, não um número. A equação diferencial ordinária f^{\prime}=3 f, por exemplo, é resolvida pelas funções $f (t) = C e^{3 t}$ . Se prescrevermos um valor inicial como $f (0) = 7$ , então existe uma solução única $f (t) = 7 e^{3 t}$ . A equação diferencial parcial KdV $f_{t} + 6 f f_{x} + f_{x x x} = 0$ é resolvida por (você adivinhou) $2 {sech}^{2} (x - 4 t)$ . Esta é uma das muitas soluções. Nesse caso, elas são chamadas de sólitons, ondas não lineares. Korteweg-de Vries (KdV) é um ícone em um campo matemático chamado sistemas integráveis que leva a insights em pesquisas em andamento, como sobre ondas rebeldes no oceano.

13.2.3 Uma Análise do Teorema de Clairaut para Derivadas Mistas

Dizemos que $f \in C^{1} (ℝ^{2})$ se ambas as funções $f_{x}$ e $f_{y}$ são funções contínuas de duas variáveis, e $f \in C^{2} (ℝ^{2})$ se todas as funções $f_{x x}$ , $f_{y y}$ , $f_{x y}$ e $f_{y x}$ são funções contínuas. O próximo teorema é chamado de teorema de Clairaut. Ele trata da equação diferencial parcial $f_{x y} = f_{y x}$ . A demonstração utiliza a prova por contradição. Veremos essa técnica um pouco mais no seminário de demonstrações.

Teorema 1. Toda $f \in C^{2}$ resolve a equação de Clairaut $f_{x y} = f_{y x}$ .

Demonstração. Usamos o teorema de Fubini que aparecerá mais tarde na aula sobre integrais duplas: integre $\int_{x_{0}}^{x_{0} + h} (\int_{y_{0}}^{y_{0} + h} f_{x y} (x, y) d y) d x$ aplicando o teorema fundamental do cálculo duas vezes \begin{aligned} &\int_{x_{0}}^{x_{0}+h} \big(f_{x}(x, y_{0}+h)-f_{x}(x, y_{0})\big) d x\\ =&f(x_{0}+h, y_{0}+h)-f(x_{0}, y_{0}+h)-f(x_{0}+h, y_{0})+f(x_{0}, y_{0}). \end{aligned} Um cálculo análogo fornece \begin{aligned} &\int_{y_{0}}^{y_{0}+h}\left(\int_{x_{0}}^{x_{0}+h} f_{y x}(x, y) \,d x\right) d y\\ =&f(x_{0}+h, y_{0}+h)-f(x_{0}, y_{0}+h)-f(x_{0}+h, y_{0})+f(x_{0}, y_{0}). \end{aligned} Fubini aplicado a $g (x, y) = f_{x y} (x, y)$ garante $\int_{y_{0}}^{y_{0} + h} (\int_{x_{0}}^{x_{0} + h} f_{y x} (x, y) d x) d y = \int_{x_{0}}^{x_{0} + h} (\int_{y_{0}}^{y_{0} + h} f_{y x} (x, y) d y) d x$ de modo que $\iint_{A} (f_{x y} - f_{y x}) d y d x = 0$ . $Suponha$ que exista algum $(x_{0}, y_{0})$ , onde $F (x_{0}, y_{0}) = f_{x y} (x_{0}, y_{0}) - f_{y x} (x_{0}, y_{0}) = c > 0,$ então também para $h$ pequeno, a função $F$ é maior que $c / 2$ em todo $A = [x_{0}, x_{0} + h] \times [y_{0}, y_{0} + h]$ de modo que $\iint_{A} F (x, y) d x d y \geq area (A) c / 2 = h^{2} c / 2 > 0$ $contradizendo$ que a integral é zero. ◻

13.2.4 Por que a Diferenciabilidade Contínua Não é Suficiente para o Teorema de Clairaut

A afirmação é falsa para funções que são apenas $C^{1}$ . O contraexemplo padrão é $f (x, y) = 4 x y (y^{2} - x^{2}) / (x^{2} + y^{2})$ que tem, para $y \neq 0$ , a propriedade de que $f_{x} (0, y) = 4 y$ e, para $x \neq 0$ , tem a propriedade de que $f_{y} (x, 0) = - 4 x$ . Você pode ver a comparação entre $f (x, y) = 2 x y = r^{2} \sin (2 θ)$ e $f (x, y) = 4 x y (y^{2} - x^{2}) / (x^{2} + y^{2}) = r^{2} \sin (4 θ) .$ A última função não está em $C^{2}$ . Os valores $f_{x y}$ e $f_{y x}$ , mudanças das inclinações das retas tangentes, mudam de forma diferente.

**Figura 2.** Clairaut vale para $f (x, y) = 2 x y$ , que em coordenadas polares é $r^{2} \sin (2 θ)$ . Não vale para a função $f (x, y) = 4 x y (y^{2} - x^{2}) / (x^{2} + y^{2})$ , que em coordenadas polares é $2 r^{2} \sin (2 θ) \cos (2 θ) = r^{2} \sin (4 θ)$ .

13.3 ILUSTRAÇÃO

13.3.1 Uma Abordagem para Resolver Equações de Transporte

Em muitos casos, uma das variáveis é o tempo, para o qual usamos a letra $t$ , e mantemos $x$ como a variável espacial. A equação diferencial $f_{t} (t, x) = f_{x} (t, x)$ é chamada de equação de transporte. Quais são as soluções se $f (0, x) = g (x)$ ? Aqui está uma derivação interessante: se D f=f^{\prime} é a derivada,¹ podemos construir operadores como (D+D^{2}+4 D^{4}) f=f^{\prime}+f^{\prime \prime}+4 f^{\prime \prime \prime \prime}. A equação de transporte agora é $f_{t} = D f$ . Agora, como você sabe do cálculo, a única solução de f^{\prime}=a f, $f (0) = b$ é $b e^{a t}$ . Se substituirmos corajosamente o número $a$ pelo operador $D$ , obtemos f^{\prime}=D f e sua solução \begin{aligned} e^{D t} g(x) &=\big(1+D t+D^{2} t^{2} / 2 !+\cdots\big) g(x)\\ &=g(x)+g^{\prime}(x) t+g^{\prime \prime}(x) t^{2} / 2 !+\cdots. \end{aligned} Pela fórmula de Taylor, isso é igual a $g (x + t)$ . Você deveria na verdade lembrar de Taylor como $g (x + t) = e^{D t} g (x)$ . Derivamos para $g (x) = f (0, x)$ em $C^{1} (ℝ^{2})$ :

Teorema 2. $f_{t} = f_{x}$ é resolvida por $f (t, x) = g (x + t)$ .

Demonstração. Podemos ignorar a derivação e verificar isso rapidamente: a função satisfaz $f (0, x) = g (x)$ e $f_{t} (t, x) = f_{x} (t, x)$ . ◻

13.3.2 Resolvendo a Equação da Onda com a Fórmula de D’Alembert

Outro exemplo de equação diferencial parcial é a equação da onda $f_{t t} =$ $f_{x x}$ . Podemos escrever isso como $(\partial_{t} + D) (\partial_{t} - D) f = 0$ . Uma maneira de resolver isso é considerando $(\partial_{t} - D) f = 0$ . Isso significa transporte $f_{t} = f_{x}$ e $f (t, x) = f (x + t)$ . Também podemos ter $(\partial_{t} + D) f = 0$ , que significa $f_{t} = - f_{x}$ levando a $f (x - t)$ . Vemos que qualquer combinação $a f (x + t) + b f (x - t)$ com constantes $a, b$ é uma solução. Fixando as constantes $a, b$ de modo que $f (x, 0) = g (x)$ e $f_{t} (x, 0) = h (x)$ obtemos a seguinte solução de d’Alembert. Requer $g, h \in C^{2} (ℝ)$ .

Teorema 3. $f_{t t} = f_{x x}$ é resolvida por $f (t, x) = \frac{g (x + t) + g (x - t)}{2} + \frac{h (x + t) - h (x - t)}{2}$ .

Demonstração. Basta verificar diretamente que isso é de fato uma solução e que $f (0, x) = g (x)$ e $f_{t} (0, x) = h (x)$ . Intuitivamente, se jogarmos uma pedra em um canal estreito de água, as ondas se moverão para ambos os lados. ◻

13.3.3 Do Fluxo de Calor à Distribuição Normal

A equação diferencial parcial $f_{t} = f_{x x}$ é chamada de equação do calor. Sua solução envolve a distribuição normal $N (m, s) (x) = e^{- (x - m)^{2} / (2 s^{2})} / \sqrt{2 π s^{2}}$ em teoria das probabilidades. O número $m$ é a média e $s$ é o desvio padrão.

13.3.4 Resolvendo a Equação do Calor

Se o calor inicial $g (x) = f (0, x)$ no tempo $t = 0$ é contínuo e zero fora de um intervalo limitado $[a, b]$ , então

Teorema 4. $f_{t} = f_{x x}$ é resolvida por $f (t, x) = \int_{a}^{b} g (m) N (m, \sqrt{2 t}) (x) d m$ .

Demonstração. Para cada $m$ fixo, a função $N (m, \sqrt{2 t}) (x)$ resolve a equação do calor.

$\texttt{\footnotesize{{f}={PDF}[ NormalDistribution [{m}, \textbf{Sqrt}[2 {t}]], {x}]; {\textbf{Simplify}}[{\textbf{D}}[{f}, {t}]=={\textbf{D}}[{f},{{x}, 2}]] }}$

Toda aproximação por soma de Riemann $g (x) = (1 / n) \sum_{k = 1}^{n} g (m_{k})$ de $g$ define uma função $f_{n} (t, x) = (1 / n) \sum_{k = 1}^{n} g (m_{k}) N (m_{k}, \sqrt{2 t}) (x)$ que resolve a equação do calor. O mesmo ocorre com $f (t, x) = lim_{n \to \infty} f_{n} (t, x) .$ Para verificar $f (0, x) = g (x)$ , o que requer $\int_{- \infty}^{\infty} N (m, s) (x) d x = 1$ e $\int_{- \infty}^{\infty} h (x) N (m, s) (x) d x \to h (m)$ para qualquer função contínua $h$ e $s \to 0$ , provado posteriormente. ◻

13.3.5 O Papel da Equação de Laplace

Para funções de três variáveis $f (x, y, z)$ pode-se considerar a equação diferencial parcial $Δ f (x, y, z) = f_{x x} + f_{y y} + f_{z z} = 0$ . Ela é chamada de equação de Laplace e $Δ$ é chamado de operador de Laplace. O operador aparece também em uma das mais importantes equações diferenciais parciais, a equação de Schrödinger $i ℏ f_{t} = H f = - \frac{ℏ^{2}}{2 m} Δ f + V (x) f,$ onde $ℏ = h / (2 π)$ é uma constante de Planck escalada e $V (x)$ é o potencial dependendo da posição $x$ e $m$ é a massa. Para $i ℏ f_{t} = P f$ com $P = - i ℏ D$ , então a solução $f (x - t)$ é translação para frente. O operador $P$ é o operador momento na mecânica quântica. A fórmula de Taylor diz que $P$ gera translação.

EXERCÍCIOS

Exercício 1. Verifique que para qualquer constante $b$ , a função $f (x, t) = e^{- b t} \sin (x + t)$ satisfaz a equação de transporte forçada $f_{t} (x, t) = f_{x} (x, t) - b f (x, t) .$ Esta EDP é às vezes chamada de equação de advecção com amortecimento $b$ .

Exercício 2. Vimos em aula que $f (t, x) = e^{- x^{2} / (4 t)} / \sqrt{4 π t}$ resolve a equação do calor $f_{t} = f_{x x}$ . Verifique mais geralmente que $e^{- x^{2} / (4 a t)} / \sqrt{4 a π t}$ resolve a equação do calor $f_{t} = a f_{x x} .$

Exercício 3. A equação eiconal $f_{x}^{2} + f_{y}^{2} = 1$ é usada em óptica. Seja $f (x, y)$ a distância ao círculo $x^{2} + y^{2} = 1$ . Mostre que ela satisfaz a equação eiconal.

Observação: a equação pode ser reescrita como $‖ d f ‖^{2} = 1$ , onde $d f = \nabla f = [f_{x}, f_{y}]$ é o gradiente de $f$ que é a matriz jacobiana para a aplicação $f : ℝ^{2} \to ℝ$ .

Exercício 4. A equação diferencial $f_{t} = f - x f_{x} - x^{2} f_{x x}$ é uma versão da equação de Black-Scholes. Aqui $f (x, t)$ é o preço de uma opção de compra e $x$ é o preço da ação e $t$ é o tempo. Encontre uma função $f (x, t)$ que a resolva e que dependa tanto de $x$ quanto de $t$ .

Dica: procure primeiro por soluções $f (x, t) = g (t)$ ou $f (x, t) = h (x)$ e depois por funções da forma $f (x, t) = g (t) + h (x)$ .

Exercício 5. A equação diferencial parcial $f_{t} + f f_{x} = f_{x x}$ é chamada de equação de Burgers e descreve ondas na praia. Em dimensões mais altas, ela leva à equação de Navier-Stokes que é usada para descrever o clima. Verifique que a função $f (t, x) = \frac{(\frac{1}{t})^{3 / 2} x e^{- \frac{x^{2}}{4 t}}}{\sqrt{\frac{1}{t}} e^{- \frac{x^{2}}{4 t}} + 1}$ é uma solução da equação de Burgers. É melhor usar tecnologia.

Geralmente escrevemos $d f$ para derivada, mas $D$ indica que é um operador. D também significa Dirac.↩︎