Efforts tranchants et moments fléchissants dans les poutres

Afin de déterminer la capacité de la poutre à supporter en toute sécurité les charges appliquées, il est nécessaire de connaître la distribution des efforts internes dans la poutre. La solution complète de ce problème est donnée dans les ouvrages sur la Théorie de l'Élasticité et la Résistance des Matériaux, mais les premières étapes nécessaires à la solution ne font appel qu'aux principes de la statique.

Pour trouver les efforts internes dans une poutre à une section donnée, on peut imaginer que la poutre est coupée à cet endroit, et un diagramme de corps libre d'une portion de la poutre peut être tracé. Considérons, par exemple, la poutre sur appuis simples avec une charge concentrée unique, comme montré sur la Fig. 1a, et supposons que l'on souhaite connaître les efforts internes dans la poutre à une section située à une distance $x$ de la réaction gauche.

Sur la Fig. 1b, la poutre est montrée coupée à la section $x$ en deux diagrammes de corps libre. Les forces réelles agissant sur la section transversale coupée peuvent être représentées comme dans cet exemple, mais pour notre propos actuel, tout ce dont nous avons besoin est la résultante de toutes les forces normales à l'axe de la poutre, que nous appellerons l'effort tranchant $V$ dans la poutre, et le moment du couple formé par les forces de compression sur la partie supérieure de la poutre et les forces de traction sur la partie inférieure de la poutre, que nous appellerons le moment fléchissant $M$ dans la poutre. Notre but actuel est la détermination de cet effort tranchant et de ce moment fléchissant pour chaque section de la poutre. À partir du diagramme de corps libre complet de la poutre montré sur la Fig. 1a, les deux forces de réaction $R_{1}$ et $R_{2}$ peuvent être trouvées. Ainsi, le diagramme de corps libre de l'une ou l'autre extrémité de la poutre sur la Fig. 1b contiendra uniquement les deux inconnues $V$ et $M$ , qui peuvent donc être trouvées directement à partir des équations de la statique. Pour décider d'une convention de signe pour $V$ et $M$ , on remarque que l'effort tranchant sur la section gauche est dirigé vers le bas, tandis que l'effort tranchant sur la section droite, étant la réaction égale et opposée de l'autre force, est dirigé vers le haut. Cependant, afin d'avoir un seul signe pour l'effort tranchant en un point de la poutre, on adopte la convention selon laquelle, si le cisaillement dans une poutre est dans une direction telle que la partie droite de la poutre aurait tendance à se déplacer vers le bas par rapport à la partie gauche, l'effort tranchant en ce point est positif. Pour une raison similaire, un moment fléchissant qui tend à cintrer la poutre avec la concavité vers le haut est appelé moment fléchissant positif. Ces conventions sont illustrées sur la Fig. 2.

La manière dont l'effort tranchant et le moment fléchissant varient le long d'une poutre est généralement montrée en traçant un diagramme sous la poutre comme dans les exemples suivants. Il est à noter que les mêmes efforts tranchants et moments fléchissants seront calculés pour les deux portions de la poutre. On choisit habituellement comme diagramme de corps libre la portion de la poutre qui implique le plus petit nombre de forces.

Le diagramme des moments fléchissants peut être tracé directement par une méthode graphique à partir des charges connues de la poutre. Cette méthode découle directement de la discussion sur la détermination graphique d'un moment fléchissant au moyen d'un polygone funiculaire. Étant donné que, par définition, le moment fléchissant en un point d'une poutre est la somme de tous les moments de toutes les forces agissant sur la poutre d'un côté du point, il s'ensuit que le polygone funiculaire tel qu'il est tracé dans ce problème est le diagramme des moments fléchissants pour la poutre.

Exemple 1. Tracer les diagrammes de l'effort tranchant et du moment fléchissant pour la poutre sur appuis simples avec deux charges concentrées montrée sur la Fig. 3.

Solution. À partir d'un diagramme de corps libre (Fig. 4) de la poutre entière, les forces de réaction peuvent être trouvées :

$\sum M_{A} = 0 = - (2) (1000) - (6) (2000) + (10) (R_{2}); R_{2} = 1400 lb$

$\sum F_{y} = 0 = R_{1} + 1400 - 1000 - 2000; R_{1} = 1600 lb$

Pour trouver l'effort tranchant en un point quelconque entre $R_{1}$ et la charge de 1000 lb, un diagramme de corps libre (Fig. 5) de la portion de la poutre à gauche de la section $C$ est tracé :

Pour la section suivante de la poutre, entre la charge de 1000 lb et la charge de 2000 lb, on trace un diagramme de corps libre (Fig. 6) de la portion de la poutre à gauche de la section $D$ .

Pour le reste de la poutre, on trace un diagramme de corps libre (Fig. 7) de cette portion de la poutre à droite de la section $E$ :

Notez que dans tous les diagrammes de corps libre, l'effort tranchant inconnu et les moments fléchissants ont été représentés dans la direction positive. En écrivant les équations de la statique, les conventions de signe habituelles ont été utilisées.

Les diagrammes de l'effort tranchant et du moment fléchissant peuvent maintenant être tracés pour la poutre entière comme suit (Fig. 8) :

Exemple 2. Tracer les diagrammes de l'effort tranchant et du moment fléchissant pour la poutre en porte-à-faux avec la charge uniformément répartie montrée sur la Fig. 9.

Solution. À partir du diagramme de corps libre de la poutre entière, la force de réaction et le moment de réaction peuvent être déterminés (Fig. 10) :

Pour trouver l'effort tranchant et le moment fléchissant en tout point de la poutre, on trace un diagramme de corps libre de la portion de la poutre à gauche de la section $A$ , située à une distance $x$ de l'extrémité gauche de la poutre (Fig. 11) :

Le tracé de ces expressions donne (Fig. 12) :

Pour ce problème, il aurait été préférable de mesurer $x$ à partir de l'extrémité droite de la poutre, et de tracer un diagramme de corps libre de cette portion de la section (Fig. 13). Cela aurait éliminé la nécessité de déterminer les réactions de la poutre :

On verra que ces expressions donnent les mêmes diagrammes d'effort tranchant et de moment fléchissant que ceux trouvés ci-dessus.

6.11.1 PROBLÈMES

Pour les poutres suivantes, tracer les diagrammes de l'effort tranchant et du moment fléchissant, en donnant les valeurs numériques aux divers points significatifs :

Réponse

$M_{max} = 20, 700 ft \cdot lb$

Réponse

$M_{max} = - 12, 000 ft \cdot lb$

Réponse

$M_{max} = 22, 800 ft \cdot lb$

Réponse

$M_{max} = - 27, 000 ft \cdot lb$

Réponse

$M_{max} = - 16, 670 ft \cdot lb$

Réponse

$M_{max} = 6, 480 ft \cdot lb$