Preuves visuelles

Table des matières

6.1 INTRODUCTION
- 6.1.1 Le pouvoir des preuves visuelles
6.2 SÉMINAIRE
EXERCICES

6.1 INTRODUCTION

**Figure 1.** Voici une célèbre preuve visuelle que $65 / 2 = 63 / 2$ . Un triangle d'aire $65 / 2$ est découpé en morceaux plus petits. Après avoir réarrangé les morceaux en les translatant seulement, nous obtenons le même triangle avec un carré en moins.

6.1.1 Le pouvoir des preuves visuelles

Les images visuelles sont d'une grande aide pour « voir » pourquoi quelque chose est vrai. Certaines des plus belles preuves en mathématiques peuvent être perçues comme vraies de cette manière. Les arguments visuels peuvent aussi être erronés et cela ne se limite pas aux images géométriques. En particulier, lorsqu'on démontre des résultats en dimensions supérieures, où l'intuition issue des dimensions plus petites intervient, on peut rencontrer des problèmes.

**Figure 2.** L'intersection de la bissectrice de l'angle en $C$ avec la médiatrice de $A B$ .

**Figure 3.** Les triangles $M Q C$ , $M R C$ sont congrus. Les triangles $M P B$ , $M P A$ aussi.

**Figure 4.** Il en va de même pour $M B A$ et $A M R$ . Parce que $A R = B Q$ et $C Q = R C$ nous avons $A C = B C$ .

Une preuve que tous les triangles sont isocèles. Il n'y a aucune erreur dans l'argument. Toutes les étapes données sont correctes. Pourtant, il y a quelque chose qui cloche.

6.2 SÉMINAIRE

6.2.1 Carrés et aires

L'intuition géométrique et les images permettent de prouver visuellement des résultats. Un exemple :

**Figure 5.** Voici une preuve sans mots.

Problème A : Quelle formule la figure ci-dessus prouve-t-elle ?

6.2.2 Commutativité en géométrie

En dessinant un rectangle de côtés $a$ et $b$ , on peut voir que l'aire $a * b$ est la même que l'aire $b * a$ . Pour le produit vectoriel ou les matrices, c'est faux.

**Figure 6.** Une preuve Cuisenaire que $4 * 5 = 5 * 4$ . Quatre bâtonnets jaunes de longueur $5$ ont la même aire que $5$ bâtonnets violets de longueur $4$ .

6.2.3 Preuve visuelle du théorème de Pythagore

Les images aident à acquérir une intuition sur un résultat mathématique. Le théorème de Pythagore fut d'abord prouvé géométriquement. La preuve visuelle que nous examinons ici pourrait bien être la première qui fut découverte.

**Figure 7.** Une preuve visuelle du théorème de Pythagore. C'est probablement l'une des premières preuves.

Problème B : Utilisez la Figure (6.5) pour une preuve du théorème de Pythagore. Vous pouvez soit décrire avec des mots, soit étiqueter certaines parties de l'image. Rappelez-vous que nous voulons montrer $c^{2} = a^{2} + b^{2}$ .

6.2.4 Inégalité par la géométrie

L'inégalité arithmético-géométrique assure que la moyenne géométrique est inférieure ou égale à la moyenne arithmétique. Afin d'apprécier cette preuve, nous devons d'abord vérifier une identité reliant les longueurs $a, b$ découpées par la hauteur et la hauteur $h$ .

**Figure 8.** Une preuve visuelle de $\sqrt{a b} \leq (a + b) / 2$ .

Problème C : Vérifiez d'abord pourquoi le triangle de la Figure (6.6) est un triangle rectangle. Utilisez ensuite trois fois Pythagore pour prouver $a b = h^{2}$ . Enfin, vérifiez l'inégalité arithmético-géométrique.

6.2.5 Le rayon du cercle inscrit d'un triangle rectangle

Théorème 1. Le rayon du cercle inscrit dans un triangle $3 : 4 : 5$ est $1$ .

Problème D : Utilisez la Figure (6.7) des « 9 Chapitres » pour prouver le théorème.

**Figure 9.** Le triangle $3$ - $4$ - $5$ . Pouvez-vous utiliser l'image pour prouver que $a = 1$ ?

6.2.6 Volume d'un tétraèdre

Trouver la formule du volume d'un tétraèdre donné par $4$ points $A, B, C, D$ .³

Problème E : Utilisez la Figure (6.8) pour prouver que le volume est un sixième du volume du parallélépipède correspondant.

**Figure 10.** Le volume du tétraèdre est $1 / 6$ du volume du parallélépipède. Non seulement les Égyptiens le savaient, mais cette figure se trouve aussi dans les « neuf chapitres ». Nous construisons une statue qui peut être imprimée en 3D.

EXERCICES

Exercice 1. Le théorème de Pythagore en 3D stipule que le carré de l'aire de $A B C$ est la somme des carrés des aires des triangles $O A B$ , $O B C$ et $O C A$ (qui sont chacun la moitié d'un rectangle). Utilisez la Figure (6.9) avec $A = (a, 0, 0)$ , $B = (0, b, 0)$ , $C = (0, 0, c)$ pour vérifier ce théorème. Utilisez le produit vectoriel pour obtenir les aires.

**Figure 11.** Le théorème de Pythagore en 3D.

Exercice 2.

Dessinez une image avec une figure plane expliquant $(a + b)^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$ .
Dessinez une image avec une figure en 3D expliquant $(a + b)^{3} = a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3}$ .

Exercice 3. Trouvez des formules de distance qui n'utilisent aucune fonction trigonométrique :

Pour la distance d'un point $P$ à une droite passant par deux points $A, B$ .
Pour la distance d'un point $P$ à un plan passant par trois points $A, B, C$ .
Pour la distance entre la droite passant par $A, B$ et la droite passant par $C, D$ .

Exercice 4. Concevez une preuve visuelle pour la formule de Faulhaber $1^{3} + 2^{3} + 3^{3} + \dots + n^{3} = (1 + 2 + 3 + \dots + n)^{2}$ qui est aussi appelée le théorème de Nicomaque.

Exercice 5. Cherchez les règles de la multiplication des quaternions $(u_{0}, u_{1}, u_{2}, u_{3}) ⋆ (v_{0}, v_{1}, v_{2}, v_{3})$ et vérifiez que $(0, v_{1}, v_{2}, v_{3}) * (0, w_{1}, w_{2}, w_{3}) =$ $(- v \cdot w, v \times w)$ . Historiquement, c'est une identité importante car le produit scalaire et le produit vectoriel ont été introduits ensemble sous la forme des quaternions.

Couverture du livre « Proofs without words »↩︎
C. Gallant, Mathematics Magazine, 50(2), 1977, page 98↩︎
« Illustrating Mathematics using 3D printers », par O. Knill et E. Slavkovsky.↩︎