可视化证明

6.1 引言

**图1.** 这是一个著名的视觉证明，证明 $65 / 2 = 63 / 2$ 。一个面积为 $65 / 2$ 的三角形被切割成更小的碎片。重新排列这些碎片并仅平移它们后，我们得到了相同的三角形，但少了一个正方形。

6.1.1 视觉证明的力量

视觉图片对于“看出”某些结论为何成立有很大帮助。数学中一些最优美的证明可以如此直观地看出其正确性。视觉论证也可能出错，这并不仅限于几何图形。特别是在证明高维结果时，来自低维的直觉可能会让我们陷入困境。

**图3.** 三角形 $M Q C$ 、 $M R C$ 全等。三角形 $M P B$ 、 $M P A$ 也全等。

**图4.** 同样， $M B A$ 和 $A M R$ 也全等。因为 $A R = B Q$ 且 $C Q = R C$ ，所以 $A C = B C$ 。

一个证明所有三角形都是等腰三角形的证明。论证中没有错误。所有给出的步骤都是正确的。然而，还是有问题。

6.2 研讨

6.2.1 正方形与面积

几何直觉和图片可以直观地证明结果。例如：

问题A：上图证明了什么公式？

6.2.2 几何中的交换性

通过绘制一个边长为 $a$ 和 $b$ 的矩形，我们可以看到面积 $a * b$ 与面积 $b * a$ 相同。但对于叉积或矩阵，这是错误的。

**图6.** 一个证明 $4 * 5 = 5 * 4$ 的奎茨奈棒证明。四根长度为 $5$ 的黄色棒与五根长度为 $4$ 的紫色棒面积相同。

6.2.3 毕达哥拉斯定理的视觉证明

图片有助于获得对数学结果的直觉。毕达哥拉斯定理最初是通过几何方法证明的。我们在这里看到的视觉证明很可能就是最早被发现的证明。

问题B：使用图(6.5)证明毕达哥拉斯定理。你可以用文字描述，或者标注图片的某些部分。记住我们要证明 $c^{2} = a^{2} + b^{2}$ 。

6.2.4 通过几何证明不等式

几何-代数不等式保证了几何平均值小于或等于代数平均值。为了理解这个证明，我们首先需要验证一个关于高线分割的长度 $a, b$ 和高度 $h$ 的恒等式。

**图8.** $\sqrt{a b} \leq (a + b) / 2$ 的一个视觉证明。

问题C：首先检查为什么图(6.6)中的三角形是直角三角形。然后三次使用毕达哥拉斯定理证明 $a b = h^{2}$ 。最后验证几何-代数不等式。

6.2.5 直角三角形的内切圆半径

定理1. 一个 $3 : 4 : 5$ 三角形内切圆的半径为 $1$ 。

问题D：使用“九章”中的图(6.7)证明该定理。

**图9.** $3$ - $4$ - $5$ 三角形。你能用这张图证明 $a = 1$ 吗？

6.2.6 四面体体积

求由四个点 $A, B, C, D$ 给出的四面体体积公式。³

问题E：使用图(6.8)证明该体积是对应平行六面体体积的六分之一。

**图10.** 四面体体积是平行六面体体积的 $1 / 6$ 。不仅埃及人知道这一点，这个图形也可以在“九章”中找到。我们制作了一个可以3D打印的模型。

练习

练习1. 三维毕达哥拉斯定理指出，三角形 $A B C$ 面积的平方等于三角形 $O A B$ 、 $O B C$ 和 $O C A$ （每个都是矩形的一半）面积的平方和。使用图(6.9)，其中 $A = (a, 0, 0)$ 、 $B = (0, b, 0)$ 、 $C = (0, 0, c)$ 来验证这个定理。使用叉积来求面积。

练习2.

画一个平面图形解释 $(a + b)^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$ 。
画一个三维图形解释 $(a + b)^{3} = a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3}$ 。

练习3. 找出不使用任何三角函数的距离公式：

点 $P$ 到通过两点 $A, B$ 的直线的距离。
点 $P$ 到通过三点 $A, B, C$ 的平面的距离。
通过 $A, B$ 的直线与通过 $C, D$ 的直线之间的距离。

练习4. 为 Faulhaber 公式 $1^{3} + 2^{3} + 3^{3} + \dots + n^{3} = (1 + 2 + 3 + \dots + n)^{2}$ 设计一个视觉证明，该公式也称为尼科马库斯定理。

练习5. 查阅四元数乘法 $(u_{0}, u_{1}, u_{2}, u_{3}) ⋆ (v_{0}, v_{1}, v_{2}, v_{3})$ 的规则，并验证 $(0, v_{1}, v_{2}, v_{3}) * (0, w_{1}, w_{2}, w_{3}) =$ $(- v \cdot w, v \times w)$ 。历史上，这是一个重要的恒等式，因为点积和叉积是以四元数的形式一起引入的。

《无字证明》一书的封面↩︎
C. Gallant，《数学杂志》，50(2)，1977年，第98页↩︎
《使用3D打印机演示数学》，O. Knill 和 E. Slavkovsky 著。↩︎

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