Équations aux dérivées partielles

Table des matières

13.1 INTRODUCTION
- 13.1.1 Mathématiques du mouvement
13.2 COURS
13.3 ILLUSTRATION
EXERCICES

13.1 INTRODUCTION

13.1.1 Mathématiques du mouvement

Si nous pouvons relier les variations d'une grandeur aux variations d'une autre grandeur, les équations aux dérivées partielles entrent en jeu. L'une des règles les plus simples est que le taux de variation d'une fonction $f (t, x)$ dans le temps est lié au taux de variation dans l'espace. Une telle règle pourrait s'exprimer par exemple par $f_{t} (t, x) = f_{x} (t, x)$ , où $f_{t}$ est la dérivée partielle par rapport à $t$ et $f_{x}$ est la dérivée partielle par rapport à $x$ . Vous pouvez vérifier que $f (t, x) = \sin (t + x)$ est un exemple de fonction qui satisfait cette équation différentielle. Vous pouvez même voir que pour toute fonction $g$ , la fonction $f (t, x) = g (t + x)$ satisfait $f_{t} = f_{x}$ . Une situation typique est de se donner $f (0, x)$ , la situation "maintenant". Nous pouvons alors voir ce qu'est $f (t, x)$ pour un instant ultérieur $t$ . Cela décrit la situation dans le futur. Comme vous le voyez, l'équation différentielle $f_{t} = f_{x}$ décrit le "transport". La situation initiale est translatée vers la gauche. Vérifiez cela et tracez par exemple $f (0, x) = x^{2}$ . Nous voyons que $f (t, x) = (x + t)^{2}$ et en particulier $f (1, x) = (x + 1)^{2}$ . Le graphe s'est déplacé vers la gauche.

**Figure 1.** Une fonction $f (t, x)$ satisfaisant une équation différentielle $f_{t t} - f_{x x} = \sin (u)$ . Cette EDP est appelée l'équation *sin-Gordon*, une équation d'onde non linéaire présentant des **solitons**. L'espace est ici unidimensionnel, le temps va de gauche à droite. Nous voyons une onde qui se déplace vers la gauche et la droite, se réfléchissant à la frontière et s'amplifiant jusqu'à un pic plus élevé. Une "vague scélérate".

13.2 COURS

13.2.1 Comment les EDP façonnent notre monde

Une équation aux dérivées partielles est une règle qui combine les taux de variation de différentes variables. Nos vies sont affectées par les équations aux dérivées partielles : les équations de Maxwell décrivent les champs électrique et magnétique $E$ et $B$ . Leur mouvement conduit à la propagation de la lumière. Les équations du champ d'Einstein relient le tenseur métrique $g$ au tenseur de masse $T$ . L'équation de Schrödinger indique comment les particules quantiques se déplacent. Des lois comme les équations de Navier-Stokes régissent le mouvement des fluides et des gaz, et en particulier les courants dans l'océan ou les vents dans l'atmosphère. Les équations aux dérivées partielles apparaissent aussi dans des endroits inattendus, comme en finance, où par exemple l'équation de Black-Scholes relie les prix des options en fonction du temps et des prix des actions.

13.2.2 Quelques exemples d'EDP et d'EDO

Si $f (x, y)$ est une fonction de deux variables, nous pouvons dériver $f$ par rapport à $x$ ou $y$ . Nous écrivons simplement $f_{x} (x, y)$ pour $\partial_{x} f (x, y)$ . Par exemple, pour $f (x, y) = x^{3} y + y^{2}$ , nous avons $f_{x} (x, y) = 3 x^{2} y$ et $f_{y} (x, y) = x^{3} + 2 y$ . Si nous dérivons d'abord par rapport à $x$ puis par rapport à $y$ , nous écrivons $f_{x y} (x, y)$ . Si nous dérivons deux fois par rapport à $y$ , nous écrivons $f_{y y} (x, y)$ . Une équation pour une fonction inconnue $f$ dans laquelle apparaissent des dérivées partielles par rapport à au moins deux variables différentes est appelée une équation aux dérivées partielles (EDP). Si seule la dérivée par rapport à une seule variable apparaît, on parle d'une équation différentielle ordinaire (EDO). Un exemple d'EDP est $f_{x}^{2} + f_{y}^{2} = f_{x x} + f_{y y}$ , un exemple d'EDO est f^{\prime \prime}=f^{2}-f^{\prime}. Il est important de réaliser que nous cherchons une fonction, pas un nombre. L'équation différentielle ordinaire f^{\prime}=3 f par exemple est résolue par les fonctions $f (t) = C e^{3 t}$ . Si nous prescrivons une valeur initiale comme $f (0) = 7$ , alors il existe une solution unique $f (t) = 7 e^{3 t}$ . L'équation aux dérivées partielles KdV $f_{t} + 6 f f_{x} + f_{x x x} = 0$ est résolue par (vous l'avez deviné) $2 {sech}^{2} (x - 4 t)$ . C'est une parmi de nombreuses solutions. Dans ce cas, on les appelle des solitons, des ondes non linéaires. Korteweg-de Vries (KdV) est une icône dans un domaine mathématique appelé systèmes intégrables, qui conduit à des idées dans la recherche actuelle, comme sur les vagues scélérates dans l'océan.

13.2.3 Un aperçu du théorème de Clairaut pour les dérivées mixtes

Nous disons $f \in C^{1} (ℝ^{2})$ si $f_{x}$ et $f_{y}$ sont toutes deux des fonctions continues de deux variables, et $f \in C^{2} (ℝ^{2})$ si toutes les fonctions $f_{x x}$ , $f_{y y}$ , $f_{x y}$ et $f_{y x}$ sont continues. Le théorème suivant s'appelle le théorème de Clairaut. Il traite de l'équation aux dérivées partielles $f_{x y} = f_{y x}$ . La preuve illustre la preuve par l'absurde. Nous examinerons cette technique un peu plus en détail dans le séminaire de preuves.

Théorème 1. Toute fonction $f \in C^{2}$ vérifie l'équation de Clairaut $f_{x y} = f_{y x}$ .

Preuve. Nous utilisons le théorème de Fubini qui apparaîtra plus tard dans le cours sur les intégrales doubles : intégrez $\int_{x_{0}}^{x_{0} + h} (\int_{y_{0}}^{y_{0} + h} f_{x y} (x, y) d y) d x$ en appliquant le théorème fondamental de l'analyse deux fois \begin{aligned} &\int_{x_{0}}^{x_{0}+h} \big(f_{x}(x, y_{0}+h)-f_{x}(x, y_{0})\big) d x\\ =&f(x_{0}+h, y_{0}+h)-f(x_{0}, y_{0}+h)-f(x_{0}+h, y_{0})+f(x_{0}, y_{0}). \end{aligned} Un calcul analogue donne \begin{aligned} &\int_{y_{0}}^{y_{0}+h}\left(\int_{x_{0}}^{x_{0}+h} f_{y x}(x, y) \,d x\right) d y\\ =&f(x_{0}+h, y_{0}+h)-f(x_{0}, y_{0}+h)-f(x_{0}+h, y_{0})+f(x_{0}, y_{0}). \end{aligned} Fubini appliqué à $g (x, y) = f_{x y} (x, y)$ assure que $\int_{y_{0}}^{y_{0} + h} (\int_{x_{0}}^{x_{0} + h} f_{y x} (x, y) d x) d y = \int_{x_{0}}^{x_{0} + h} (\int_{y_{0}}^{y_{0} + h} f_{y x} (x, y) d y) d x$ de sorte que $\iint_{A} (f_{x y} - f_{y x}) d y d x = 0$ . $Supposons$ qu'il existe un point $(x_{0}, y_{0})$ où $F (x_{0}, y_{0}) = f_{x y} (x_{0}, y_{0}) - f_{y x} (x_{0}, y_{0}) = c > 0,$ alors pour $h$ petit, la fonction $F$ est supérieure à $c / 2$ partout sur $A = [x_{0}, x_{0} + h] \times [y_{0}, y_{0} + h]$ de sorte que $\iint_{A} F (x, y) d x d y \geq aire (A) c / 2 = h^{2} c / 2 > 0$ ce qui $contredit$ le fait que l'intégrale soit nulle. ◻

13.2.4 Pourquoi la différentiabilité continue ne suffit pas pour le théorème de Clairaut

L'énoncé est faux pour les fonctions qui sont seulement $C^{1}$ . Le contre-exemple standard est $f (x, y) = 4 x y (y^{2} - x^{2}) / (x^{2} + y^{2})$ qui a pour $y \neq 0$ la propriété que $f_{x} (0, y) = 4 y$ et pour $x \neq 0$ la propriété que $f_{y} (x, 0) = - 4 x$ . Vous pouvez voir la comparaison de $f (x, y) = 2 x y = r^{2} \sin (2 θ)$ et $f (x, y) = 4 x y (y^{2} - x^{2}) / (x^{2} + y^{2}) = r^{2} \sin (4 θ) .$ La deuxième fonction n'est pas dans $C^{2}$ . Les valeurs $f_{x y}$ et $f_{y x}$ , les changements de pentes des tangentes, tournent différemment.

**Figure 2.** Clairaut est vrai pour $f (x, y) = 2 x y$ qui est en coordonnées polaires $r^{2} \sin (2 θ)$ . Il ne l'est pas pour la fonction $f (x, y) = 4 x y (y^{2} - x^{2}) / (x^{2} + y^{2})$ qui est en coordonnées polaires $2 r^{2} \sin (2 θ) \cos (2 θ) = r^{2} \sin (4 θ)$ .

13.3 ILLUSTRATION

13.3.1 Une approche pour résoudre les équations de transport

Dans de nombreux cas, l'une des variables est le temps pour lequel nous utilisons la lettre $t$ et nous gardons $x$ comme variable d'espace. L'équation différentielle $f_{t} (t, x) = f_{x} (t, x)$ est appelée l'équation de transport. Quelles sont les solutions si $f (0, x) = g (x)$ ? Voici une dérivation élégante : si D f=f^{\prime} est la dérivée,¹ nous pouvons construire des opérateurs comme (D+D^{2}+4 D^{4}) f=f^{\prime}+f^{\prime \prime}+4 f^{\prime \prime \prime \prime}. L'équation de transport est maintenant $f_{t} = D f$ . Or, comme vous le savez du calcul, la seule solution de f^{\prime}=a f, $f (0) = b$ est $b e^{a t}$ . Si nous remplaçons hardiment le nombre $a$ par l'opérateur $D$ , nous obtenons f^{\prime}=D f et sa solution \begin{aligned} e^{D t} g(x) &=\big(1+D t+D^{2} t^{2} / 2 !+\cdots\big) g(x)\\ &=g(x)+g^{\prime}(x) t+g^{\prime \prime}(x) t^{2} / 2 !+\cdots. \end{aligned} D'après la formule de Taylor, ceci est égal à $g (x + t)$ . Vous devriez en fait retenir Taylor comme $g (x + t) = e^{D t} g (x)$ . Nous avons dérivé pour $g (x) = f (0, x)$ dans $C^{1} (ℝ^{2})$ :

Théorème 2. $f_{t} = f_{x}$ est résolu par $f (t, x) = g (x + t)$ .

Preuve. Nous pouvons ignorer la dérivation et vérifier très rapidement : la fonction satisfait $f (0, x) = g (x)$ et $f_{t} (t, x) = f_{x} (t, x)$ . ◻

13.3.2 Résolution de l'équation des ondes avec la formule de D'Alembert

Un autre exemple d'équation aux dérivées partielles est l'équation des ondes $f_{t t} =$ $f_{x x}$ . Nous pouvons l'écrire $(\partial_{t} + D) (\partial_{t} - D) f = 0$ . Une façon de résoudre ceci est de considérer $(\partial_{t} - D) f = 0$ . Cela signifie transport $f_{t} = f_{x}$ et $f (t, x) = f (x + t)$ . Nous pouvons aussi avoir $(\partial_{t} + D) f = 0$ ce qui signifie $f_{t} = - f_{x}$ menant à $f (x - t)$ . Nous voyons que toute combinaison $a f (x + t) + b f (x - t)$ avec des constantes $a, b$ est une solution. Ajuster les constantes $a, b$ pour que $f (x, 0) = g (x)$ et $f_{t} (x, 0) = h (x)$ donne la solution de d'Alembert suivante. Elle nécessite $g, h \in C^{2} (ℝ)$ .

Théorème 3. $f_{t t} = f_{x x}$ est résolu par $f (t, x) = \frac{g (x + t) + g (x - t)}{2} + \frac{h (x + t) - h (x - t)}{2}$ .

Preuve. Vérifiez simplement directement que c'est bien une solution et que $f (0, x) = g (x)$ et $f_{t} (0, x) = h (x)$ . Intuitivement, si nous jetons une pierre dans un étroit canal d'eau, alors les ondes se déplacent des deux côtés. ◻

13.3.3 Du flux de chaleur à la distribution normale

L'équation aux dérivées partielles $f_{t} = f_{x x}$ est appelée l'équation de la chaleur. Sa solution fait intervenir la distribution normale $N (m, s) (x) = e^{- (x - m)^{2} / (2 s^{2})} / \sqrt{2 π s^{2}}$ en théorie des probabilités. Le nombre $m$ est la moyenne et $s$ est l'écart-type.

13.3.4 Résolution de l'équation de la chaleur

Si la chaleur initiale $g (x) = f (0, x)$ au temps $t = 0$ est continue et nulle en dehors d'un intervalle borné $[a, b]$ , alors

Théorème 4. $f_{t} = f_{x x}$ est résolu par $f (t, x) = \int_{a}^{b} g (m) N (m, \sqrt{2 t}) (x) d m$ .

Preuve. Pour chaque $m$ fixé, la fonction $N (m, \sqrt{2 t}) (x)$ résout l'équation de la chaleur.

$\texttt{\footnotesize{{f}={PDF}[ NormalDistribution [{m}, \textbf{Sqrt}[2 {t}]], {x}]; {\textbf{Simplify}}[{\textbf{D}}[{f}, {t}]=={\textbf{D}}[{f},{{x}, 2}]] }}$

Toute approximation par somme de Riemann $g (x) = (1 / n) \sum_{k = 1}^{n} g (m_{k})$ de $g$ définit une fonction $f_{n} (t, x) = (1 / n) \sum_{k = 1}^{n} g (m_{k}) N (m_{k}, \sqrt{2 t}) (x)$ qui résout l'équation de la chaleur. Il en va de même pour $f (t, x) = lim_{n \to \infty} f_{n} (t, x) .$ Pour vérifier $f (0, x) = g (x)$ ce qui nécessite $\int_{- \infty}^{\infty} N (m, s) (x) d x = 1$ et $\int_{- \infty}^{\infty} h (x) N (m, s) (x) d x \to h (m)$ pour toute fonction $h$ continue et $s \to 0$ , prouvé plus tard. ◻

13.3.5 Le rôle de l’équation de Laplace

Pour les fonctions de trois variables $f (x, y, z)$ on peut considérer l’équation aux dérivées partielles $Δ f (x, y, z) = f_{x x} + f_{y y} + f_{z z} = 0$ . Elle est appelée l’équation de Laplace et $Δ$ est appelé l’opérateur de Laplace. L’opérateur apparaît aussi dans l’une des équations aux dérivées partielles les plus importantes, l’équation de Schrödinger $i ℏ f_{t} = H f = - \frac{ℏ^{2}}{2 m} Δ f + V (x) f,$ où $ℏ = h / (2 π)$ est une constante de Planck réduite et $V (x)$ est le potentiel dépendant de la position $x$ et $m$ est la masse. Pour $i ℏ f_{t} = P f$ avec $P = - i ℏ D$ , alors la solution $f (x - t)$ est une translation vers l’avant. L’opérateur $P$ est l’opérateur de quantité de mouvement en mécanique quantique. La formule de Taylor indique que $P$ engendre la translation.

EXERCICES

Exercice 1. Vérifier que pour toute constante $b$ , la fonction $f (x, t) = e^{- b t} \sin (x + t)$ satisfait l’équation de transport forcée $f_{t} (x, t) = f_{x} (x, t) - b f (x, t) .$ Cette EDP est parfois appelée l’équation d’advection avec amortissement $b$ .

Exercice 2. Nous avons vu en cours que $f (t, x) = e^{- x^{2} / (4 t)} / \sqrt{4 π t}$ résout l’équation de la chaleur $f_{t} = f_{x x}$ . Vérifier plus généralement que $e^{- x^{2} / (4 a t)} / \sqrt{4 a π t}$ résout l’équation de la chaleur $f_{t} = a f_{x x} .$

Exercice 3. L’équation eikonale $f_{x}^{2} + f_{y}^{2} = 1$ est utilisée en optique. Soit $f (x, y)$ la distance au cercle $x^{2} + y^{2} = 1$ . Montrer qu’elle satisfait l’équation eikonale.

Remarque : l’équation peut être réécrite comme $‖ d f ‖^{2} = 1$ , où $d f = \nabla f = [f_{x}, f_{y}]$ est le gradient de $f$ qui est la matrice jacobienne de l’application $f : ℝ^{2} \to ℝ$ .

Exercice 4. L’équation différentielle $f_{t} = f - x f_{x} - x^{2} f_{x x}$ est une version de l’équation de Black-Scholes. Ici $f (x, t)$ est le prix d’une option d’achat et $x$ est le prix de l’action et $t$ est le temps. Trouver une fonction $f (x, t)$ la résolvant qui dépend à la fois de $x$ et de $t$ .

Indication : chercher d’abord des solutions $f (x, t) = g (t)$ ou $f (x, t) = h (x)$ puis des fonctions de la forme $f (x, t) = g (t) + h (x)$ .

Exercice 5. L’équation aux dérivées partielles $f_{t} + f f_{x} = f_{x x}$ est appelée équation de Burgers et décrit les vagues à la plage. En dimensions supérieures, elle conduit à l’équation de Navier-Stokes qui est utilisée pour décrire le temps. Vérifier que la fonction $f (t, x) = \frac{(\frac{1}{t})^{3 / 2} x e^{- \frac{x^{2}}{4 t}}}{\sqrt{\frac{1}{t}} e^{- \frac{x^{2}}{4 t}} + 1}$ est une solution de l’équation de Burgers. Il vaut mieux utiliser la technologie.

On écrit habituellement $d f$ pour la dérivée mais $D$ indique que c’est un opérateur. D signifie aussi Dirac.↩︎