Coordonnées

 

10.1 INTRODUCTION

10.1.1 Fondements algébriques des systèmes de coordonnées

L’algèbre est un outil puissant en géométrie. Dans ce cours, nous revenons au concept de coordonnées et examinons également d’autres systèmes de coordonnées. Nous avons introduit l’espace sous forme de vecteurs colonnes comme [ 1 , 2 , 3 ] T . Nous pouvons le considérer comme une flèche allant de l’origine au point ( 1 , 2 , 3 ) . On parle des nombres apparaissant dans ( 1 , 2 , 3 ) comme des coordonnées, tandis que les entrées dans [ 1 , 2 , 3 ] T sont les composantes du vecteur. La plupart du temps, nous ne distinguons pas entre le point ( 1 , 2 , 3 ) et le vecteur [ 1 , 2 , 3 ] T car les deux objets peuvent clairement être identifiés naturellement. Nous examinons dans ce cours également d’autres coordonnées comme les coordonnées polaires et sphériques. Cela sera important lors de l’intégration.

Figure 1. Le théorème de Napoléon dit que si l’on dessine des triangles équilatéraux sur les côtés d’un triangle, leurs centres de masse se trouvent sur un triangle équilatéral. Une preuve géométrique n’est pas facile à trouver, mais en utilisant les coordonnées, c’est un calcul direct : pour trois nombres complexes a , b , c , alors u = ( a + b ) / 2 + i ( b − a ) / 3 , v = ( b + c ) / 2 + i ( c − b ) / 3 , w = ( c + a ) / 2 + i ( a − c ) / 3 satisfont | u − v | = | u − v | = | v − w | . Le résultat est célèbre car aucun autre théorème n’a été redécouvert autant de fois. Bien que Napoléon n’ait peut-être jamais découvert ou prouvé lui-même ce théorème, il a eu des conversations avec des mathématiciens comme Lagrange ou Fourier.
Figure 2. Dans le plan bidimensionnel, un point ( x , y ) = ( 3 , 4 ) peut également être identifié avec le nombre complexe z = x + i y = 3 + 4 i ou le vecteur [ 3 , 4 ] T . La norme du vecteur est x 2 + y 2 et est définie comme la longueur du nombre complexe z . La multiplication fait une rotation et une mise à l’échelle. Une multiplication par i fait une rotation de 90 degrés.

10.2 COURS

10.2.1 Du cartésien au polaire : une transformation de coordonnées

C’est René Descartes qui, en 1637, a introduit les coordonnées et a rapproché l’algèbre de la géométrie.1 Les coordonnées cartésiennes ( x , y ) dans ℝ 2 peuvent être remplacées par d’autres systèmes de coordonnées comme les coordonnées polaires ( r , θ ) , où r = x 2 + y 2 ≥ 0 est la distance radiale à l’origine ( 0 , 0 ) et θ ∈ [ 0 , 2 π ) est l’angle polaire formé avec l’axe positif des x . Puisque θ se trouve dans l’intervalle [ 0 , 2 π ) , il est mieux décrit par la notation complexe θ = arg ⁡ ( x + i y ) . Le rayon r = | z | = x 2 + y 2 est la longueur du nombre complexe. La conversion des coordonnées ( r , θ ) vers les coordonnées ( x , y ) est \begin{aligned} x&=r \cos (\theta),\\ y&=r \sin (\theta). \end{aligned} Le rayon est r = x 2 + y 2 , où, s’il est non nul, on prend toujours la racine positive. La formule de l’angle arctan ⁡ ( y / x ) n’est valable que si x et y sont tous deux positifs. L’angle θ n’est pas défini de manière unique à l’origine ( 0 , 0 ) , la plupart des logiciels supposent simplement arg ⁡ ( 0 ) = 0 .

10.2.2 Nombres complexes : un cadre multiplicatif

Nous pouvons également écrire un vecteur dans ℝ 2 sous la forme d’un nombre complexe z = x + i y ∈ ℂ avec le symbole i . Ce n’est pas seulement une commodité notationnelle. Les nombres complexes peuvent être additionnés et multipliés comme les autres nombres et bien que ℝ 2 = ℂ , ce dernier possède une structure multiplicative. Pour fixer cette structure, il suffit de spécifier que i 2 = − 1 . Cela donne ( a + i b ) ( c + i d ) = a c − b d + i ( a d + b c ) . Nous avons aussi | a + i b | = ( a + i b ) ( a − i b ) = a 2 + b 2 . Une formule d’Euler importante relie les fonctions exponentielle et trigonométriques :

Théorème 1. e i θ = cos ⁡ ( θ ) + i sin ⁡ ( θ ) .

Preuve. La preuve consiste à écrire la définition en série des deux côtés. Rappelons d’abord les définitions de e x = 1 + x + x 2 / 2 ! + x 3 / 3 ! + ⋯ . Si nous remplaçons x par i θ , nous obtenons e i θ = 1 + i θ − θ 2 / 2 ! − i θ 3 / 3 ! + θ 4 / 4 ! − ⋯ Mais ceci est ( 1 − θ 2 / 2 + θ 4 / 4 ! − ⋯ ) + i ( θ − θ 3 / 3 ! + θ 5 / 5 ! − ⋯ ) ce qui est cos ⁡ ( θ ) + i sin ⁡ ( θ ) . ◻

10.2.3 Séries de Taylor

Si vous préférez ne pas voir les fonctions exp , sin , cos être définies comme des séries, vous pouvez les voir comme des séries de Taylor f(x)=f(0)+f^{\prime}(0) x+f^{\prime \prime}(0) / 2 ! x^{2}+\cdots=\sum_{k=0}^{\infty}\left(f^{(k)}(0) / k !\right) x^{k}. En dérivant les fonctions en 0 , on voit alors la connexion.

10.2.4 La beauté de la formule d’Euler

La formule d’Euler implique pour θ = π la formule magique

Théorème 2. e i π + 1 = 0 .

Cette formule est souvent élue comme la « plus belle formule des mathématiques ».2 Elle combine l’« analyse » sous la forme e , la « géométrie » sous la forme de π , l’« algèbre » sous la forme de i , l’élément neutre additif 0 et l’élément neutre multiplicatif 1 .

10.2.5 Logarithmes complexes et les perspectives d’Euler

La formule d’Euler permet d’écrire tout nombre complexe sous la forme z = r e i θ . Étant donné un autre nombre complexe w = s e i ϕ , on a z w = r s e i θ + ϕ , ce qui montre que les angles polaires s’additionnent et que les rayons se multiplient. La formule d’Euler permet également de définir le logarithme de tout nombre complexe comme log ⁡ ( z ) = log ⁡ ( | z | ) + i arg ⁡ ( z ) = log ⁡ ( r ) + i θ . On voit maintenant que passer de ( x , y ) à ( log ⁡ ( r ) , θ ) est une transformation très naturelle de ℂ \ 0 vers ℂ . La fonction exponentielle exp : z → e z est une application de ℂ → ℂ \ 0 . Elle transforme la structure additive de ℂ en la structure multiplicative car exp ⁡ ( z + w ) = exp ⁡ ( z ) exp ⁡ ( w ) .

10.2.6 Coordonnées cylindriques

En trois dimensions, on peut considérer les coordonnées cylindriques ( r , θ , z ) qui sont simplement les coordonnées polaires dans les deux premières coordonnées. Un cylindre de rayon 2 par exemple est donné par r = 2 . Le tore ( 3 + x 2 + y 2 + z 2 ) 2 − 16 ( x 2 + y 2 ) = 0 peut s’écrire 3 + r 2 + z 2 = 4 r ou plus intuitivement ( r − 2 ) 2 + z 2 = 1 , un cercle dans le plan r z .

Figure 3. Images clés pour dériver les coordonnées cylindriques et sphériques.

10.2.7 Coordonnées sphériques

Les coordonnées sphériques ( ρ , θ , ϕ ) , où ρ = x 2 + y 2 + z 2 . L’angle θ est l’angle polaire comme dans les coordonnées cylindriques et ϕ est l’angle entre le point ( x , y , z ) et l’axe des z . On a \begin{aligned} \cos (\phi)&=[x, y, z] \cdot[0,0,1] /\big|[x, y, z]\big|=z / \rho,\\ \sin (\phi)&=\big|[x, y, z] \times[0,0,1]\big| /\big|[x, y, z]\big|=r / \rho \end{aligned} de sorte que z = ρ cos ⁡ ( ϕ ) et r = ρ sin ⁡ ( ϕ ) et donc \begin{aligned} & x=\rho \sin (\phi) \cos (\theta) \\ & y=\rho \sin (\phi) \sin (\theta) \\ & z=\rho \cos (\phi) \end{aligned} où 0 ≤ θ < 2 π , 0 ≤ ϕ ≤ π , et ρ ≥ 0 .

10.2.8 Changements de coordonnées et dérivées partielles

Un changement de coordonnées x → f ( x ) dans le plan est une application f : ℝ 2 → ℝ 2 . Un point ( x 1 , x 2 ) est envoyé sur ( f 1 , f 2 ) . On note ∂ x k la dérivée partielle par rapport à la variable x k . Par exemple ∂ x 1 ( x 1 2 x 2 + 3 x 1 x 2 3 ) = 2 x 1 x 2 + 3 x 2 3 .

f [ x 1 x 2 ] = [ f 1 ( x 1 , x 2 ) f 2 ( x 1 , x 2 ) ] , d f [ x 1 x 2 ] = [ ∂ x 1 f 1 ( x ) ∂ x 2 f 1 ( x ) ∂ x 1 f 2 ( x ) ∂ x 2 f 2 ( x ) ] , où d f est une matrice appelée la matrice jacobienne. Le déterminant est appelé le facteur de distorsion en x = ( x 1 , x 2 ) .

10.2.9 La matrice jacobienne pour les coordonnées polaires

Pour les coordonnées polaires, on obtient

f [ r θ ] = [ r cos ⁡ ( θ ) r sin ⁡ ( θ ) ] , d f [ r θ ] = [ cos ⁡ ( θ ) − r sin ⁡ ( θ ) sin ⁡ ( θ ) r cos ⁡ ( θ ) ] . Son facteur de distorsion de l’application polaire est r . Nous l’utiliserons lors de l’intégration en coordonnées polaires.

10.2.10 L’algèbre des transformations complexes

Si f ( z ) = z 2 + c avec c = a + i b , z = x + i y s’écrit f ( x , y ) = ( x 2 − y 2 + a , 2 x y + b ) , alors d f est une matrice de rotation-dilatation 2 × 2 qui correspond au nombre complexe f^{\prime}(z)=2 z. L’algèbre ℂ est la même que l’algèbre des matrices de rotation-dilatation.

10.2.11 Transformations spatiales et le jacobien

Un changement de coordonnées x → f ( x ) dans l’espace est une application f : ℝ 3 → ℝ 3 . On calcule f [ x 1 x 2 x 3 ] = [ f 1 ( x ) f 2 ( x ) f 3 ( x ) ] , d f [ x 1 x 2 x 3 ] = [ ∂ x 1 f 1 ( x ) ∂ x 2 f 1 ( x ) ∂ x 3 f 1 ( x ) ∂ x 1 f 2 ( x ) ∂ x 2 f 2 ( x ) ∂ x 3 f 2 ( x ) ∂ x 1 f 3 ( x ) ∂ x 2 f 3 ( x ) ∂ x 3 f 3 ( x ) ] .

Nous avons noté x = ( x 1 , x 2 , x 3 ) . Son déterminant det ⁡ ( d T ) ( x ) est un facteur de distorsion du volume.

10.2.12 Distorsion du volume en coordonnées sphériques

Pour les coordonnées sphériques, on a \begin{aligned} f\left[\begin{array}{l}\rho \\ \phi \\ \theta\end{array}\right]&=\left[\begin{array}{c}\rho \sin (\phi) \cos (\theta) \\ \rho \sin (\phi) \sin (\theta) \\ \rho \cos (\phi)\end{array}\right],\\ d f\left[\begin{array}{l}\rho \\ \phi \\ \theta\end{array}\right]&=\left[\begin{array}{rrr}\sin (\phi) \cos (\theta) & \rho \cos (\phi) \cos (\theta) & -\rho \cos (\phi) \sin (\theta) \\ \sin (\phi) \sin (\theta) & \rho \cos (\phi) \sin (\theta) & \rho \cos (\phi) \cos (\theta) \\ \cos (\phi) & -\rho \sin (\phi) & 0\end{array}\right]. \end{aligned} Le facteur de distorsion est det ⁡ ( d f ( ρ , ϕ , θ ) ) = ρ 2 sin ⁡ ( ϕ ) .

10.3 EXEMPLES

10.4 ILLUSTRATIONS

10.4.1 La complexité de Mandelbrot

10.4.2 De Mandelbrot à Mandelbulb

EXERCICES

Exemple 1. Le point ( x , y ) = ( − 1 , 1 ) correspond au nombre complexe z = − 1 + i . Il a les coordonnées polaires ( r , θ ) = ( 2 , 3 π / 4 ) . Comme nous avons z = r e i θ , nous vérifions z 2 = ( − 1 + i ) ( − 1 + i ) = − 2 i ce qui est en accord avec ( r e i θ ) 2 = r 2 e 2 i θ = 2 e 6 π i / 4 .

Exemple 2.

  1. ( x , y , z ) = ( 1 , 1 , − 2 ) correspond aux coordonnées sphériques ( ρ , ϕ , θ ) = ( 2 , 3 π / 4 , π / 4 ) .
  2. Le point donné en coordonnées sphériques par ( ρ , ϕ , θ ) = ( 3 , 0 , π / 2 ) est le point ( 0 , 3 , 0 ) .

Exemple 3.

  1. L'ensemble des points avec r = 1 dans ℝ 2 forme un cercle.
  2. L'ensemble des points avec ρ = 1 dans ℝ 3 forme une sphère.
  3. L'ensemble des points avec les coordonnées sphériques ϕ = 0 sont les points sur l'axe z positif.
  4. L'ensemble des points avec les coordonnées sphériques θ = 0 forme un demi-plan dans le plan y z .
  5. L'ensemble des points avec ρ = cos ⁡ ( ϕ ) forme une sphère. En effet, en multipliant les deux côtés par ρ , on obtient ρ 2 = ρ cos ⁡ ( ϕ ) ce qui signifie x 2 + y 2 + z 2 = z , ce qui est, après complétion du carré, égal à x 2 + y 2 + ( z − 1 / 2 ) 2 = 1 / 4 .

Exemple 4. Pour A ∈ M ( n , n ) , f ( x ) = A x + b a d f = A et le facteur de distorsion det ⁡ ( A ) .

Exemple 5. Trouver la matrice jacobienne et le facteur de distorsion de l'application f ( x 1 , x 2 ) = ( x 1 3 + x 2 , x 2 2 − sin ⁡ ( x 1 ) ) . Réponse : Écrire à la fois la transformation et la jacobienne : f [ x 1 x 2 ] = [ x 1 3 + x 2 x 2 2 − sin ⁡ ( x 1 ) ] , d f [ x 1 x 2 ] = [ 3 x 1 2 1 − cos ⁡ ( x 1 ) 2 x 2 ] . La matrice jacobienne est det ⁡ ( d f ( x ) ) = 6 x 1 2 x 2 + cos ⁡ ( x 1 ) .

10.4 ILLUSTRATIONS

10.4.1 La complexité de Mandelbrot

Soit T : ℂ → ℂ définie par z → z 2 + c , où z = x + i y . L'ensemble de tous les c = a + i b pour lesquels les itérés T n ( 0 ) restent bornés est l'ensemble de Mandelbrot M . Pour c = − 1 on obtient T ( 0 ) = − 1 , T 2 ( 0 ) = T ( − 1 ) = 0 de sorte que T n ( z ) est soit 0 soit − 1 . Le point c = − 1 est dans M . Le point c = 1 donne T ( 0 ) = 1 , T 2 ( 0 ) = 1 2 = 1 = 2 , T 3 ( 0 ) = 2 2 + 1 = 5 . Une récurrence montre que T n ( 0 ) ne converge pas. Le point c = 1 n'est pas dans M .

10.4.2 De Mandelbrot à Mandelbulb

Si T est la transformation dans ℝ 3 qui est en coordonnées sphériques donnée par T ( x ) = x 2 + c , où x 2 a les coordonnées sphériques ( ρ 2 , 2 ϕ , 2 θ ) si x a ( ρ , ϕ , θ ) . Il s'avère que T ( x ) = x 8 + c donne un bel analogue de l'ensemble de Mandelbrot, le Mandelbulb.

Figure 4. L'ensemble de Mandelbrot M = { c ∈ ℂ ∣ T ( z ) = z 2 + c  a des itérés  T n ( 0 )  bornés } . Il existe une construction similaire dans l'espace ℝ 3 qui utilise les coordonnées sphériques. Cela conduit à l'ensemble de Mandelbulb B = { c ∈ ℝ 3 ∣ T ( x ) = x 8 + c  a des itérés  T n ( 0 )  bornés } , où x 8 a les coordonnées sphériques ( ρ 8 , 8 ϕ , 8 θ ) si x a les coordonnées sphériques ( ρ , ϕ , θ ) .

EXERCICES

Exercice 1.

  1. Trouver les coordonnées polaires de ( x , y ) = ( − 1 , 3 ) .
  2. Quel point a les coordonnées polaires ( r , θ ) = ( 2 , π / 4 ) ?
  3. Trouver les coordonnées sphériques du point ( x , y , z ) = ( 1 , 1 , 2 ) .
  4. Quel point a les coordonnées sphériques ( ρ , θ , ϕ ) = ( 3 , π / 2 , π / 3 ) ?

Exercice 2.

  1. Calculer T c n ( 0 ) pour c = ( 1 + i ) pour n = 1 , 2 , 3 . Est-ce que 1 + i est dans l'ensemble de Mandelbrot ?
  2. Quel est le nombre « œil pour œil » i i ? (Vous pouvez utiliser z w = e w log ⁡ ( z ) ).

Exercice 3.

  1. Quelle surface est décrite par r = z ?
  2. Décrire l'hyperbole x 2 − y 2 = 5 en coordonnées polaires.
  3. Quelle surface est décrite par ρ sin ⁡ ( ϕ ) = ρ 2 ?
  4. Décrire l'hyperboloïde x 2 + y 2 − z 2 = 1 en coordonnées sphériques.

Exercice 4.

  1. Calculer la matrice jacobienne et le facteur de distorsion du changement de coordonnées T ( x , y ) = ( 2 x + sin ⁡ ( x ) − y , x ) (application de Chirikov).
  2. Calculer la matrice jacobienne et le facteur de distorsion du changement de coordonnées T ( x , y ) = ( 1 − 1.4 x 2 − y , 0.3 x ) (application de Hénon classique).

P.S. Lorsque vous effectuez le changement de coordonnées de l'application de Chirikov encore et encore, on peut observer le chaos. Dans le cas de l'application de Hénon, on voit un attracteur étrange, un objet fractal qui, de manière similaire à la courbe de Koch rencontrée la semaine dernière, a une dimension supérieure à 1 .

Exercice 5.

  1. Vérifier que l'ensemble de Mandelbrot M est contenu dans l'ensemble | c | ≤ 2 . Pour rappel, cela signifie que vous devez montrer qu'alors 0 → c → c 2 + c → ( c 2 + c ) 2 + c → ⋯ s'échappe à l'infini.
  2. Optionnel : Utiliser le même argument pour voir que l'ensemble de Mandelbulb B est contenu dans l'ensemble | c | ≤ 2 .
  1. Descartes : La Géometrie, 1637 (1 an après la fondation de l'université Harvard)↩︎
  2. D. Wells, Which is the most beautiful?, Mathematical Intelligencer, 1988.↩︎

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