Différentiation partielle
Nous rencontrons parfois des quantités qui sont des fonctions de plus d'une variable indépendante. Ainsi, nous pouvons trouver un cas où \(y\) dépend de deux autres quantités variables, dont l'une que nous appellerons \(u\) et l'autre \(v\). En symboles \[y = f(u, v).\] Prenez le cas concret le plus simple.
Soit \[y = u\times v.\] Que devons-nous faire ? Si nous considérions \(v\) comme une constante, et différencions par rapport à \(u\), nous devrions obtenir \[dy_v = v du;\] ou si nous considérons \(u\) comme une constante, et différencions par rapport à \(v\), nous devrions avoir : \[dy_u = u\, dv.\]
Les petites lettres ici mises en indices sont pour montrer quelle quantité a été prise comme constante dans l'opération.
Une autre façon d'indiquer que la différentiation a été réalisée uniquement partiellement, c'est-à-dire, a été réalisée seulement par rapport à une des variables indépendantes, est d'écrire les dérivées avec un "dee incurvé" \(\partial\), au lieu de la lettre régulière \(d\). De cette façon \[\begin{align} \strut \frac{\partial y}{\partial u} &= v, \\ \frac{\partial y}{\partial v} &= u. \end{align}\]
Si nous insérons ces valeurs pour \(v\) et \(u\) respectivement, nous aurons \[\left. \begin{align} \strut dy_v &= \frac{\partial y}{\partial u}\, du, \\ dy_u &= \frac{\partial y}{\partial v}\, dv, \end{align} \right\} \quad\text{qui sont }\textbf{différentiels partiels}.\]
Mais, si vous y réfléchissez, vous observerez que la variation totale de \(y\) dépend de ces deux choses en même temps. C'est-à-dire, si les deux varient, le vrai \(dy\) devrait être écrit \[dy = \frac{\partial y}{\partial u}\, du + \dfrac{\partial y}{\partial v}\, dv;\] et ceci est appelé un différentiel total.
Exemple 16.1. Trouver les dérivées partielles de l'expression \(w = 2ax^2 + 3bxy + 4cy^3\).
Solution. Les réponses sont : \[\left. \begin{align} \frac{\partial w}{\partial x} &= 4ax + 3by. \\ \frac{\partial w}{\partial y} &= 3bx + 12cy^2. \end{align} \right\}\]
La première est obtenue en supposant \(y\) constant, la seconde est obtenue en supposant \(x\) constant; alors \[dw = (4ax+3by)\, dx + (3bx+12cy^2)\, dy.\]
Exemple 16.2. Soit \(z = x^y\). Ensuite, en traitant d'abord \(y\) puis \(x\) comme constant, nous obtenons de la manière habituelle \[\left. \begin{align} \dfrac{\partial z}{\partial x} &= yx^{y-1}, \\ \dfrac{\partial z}{\partial y} &= x^y \times \ln x, \end{align}\right\}\] de sorte que \(dz = yx^{y-1}\, dx + x^y \ln x \, dy\).
Exemple 16.3. Un cône de hauteur \(h\) et de rayon de base \(r\) a un volume \(V=\frac{1}{3} \pi r^2 h\). Si sa hauteur reste constante, tandis que \(r\) change, le rapport de variation du volume, par rapport au rayon, est différent du rapport de variation du volume par rapport à la hauteur qui se produirait si la hauteur était modifiée et le rayon maintenu constant, car \[\left. \begin{align} \frac{\partial V}{\partial r} &= \dfrac{2\pi}{3} rh, \\ \frac{\partial V}{\partial h} &= \dfrac{\pi}{3} r^2. \end{align}\right\}\]
La variation lorsque le rayon et la hauteur changent est donnée par \(dV = \dfrac{2\pi}{3} rh\, dV + \dfrac{\pi}{3} r^2\, dh\).
Exemple 16.4. Dans l'exemple suivant \(F\) et \(f\) désignent deux fonctions arbitraires de toute forme que ce soit. Par exemple, elles peuvent être des fonctions sinus, ou exponentielles, ou de simples fonctions algébriques des deux variables indépendantes, \(t\) et \(x\). Cela étant compris, prenons l'expression \[y = F(x+at) + f(x-at),\] ou \[y = F(w) + f(v);\] où \(w = x+at\), et \(v = x-at\).
Alors \[\begin{align} \frac{\partial y}{\partial x} &= \frac{d F(w)}{d w}\cdot\frac{\partial w}{\partial x} + \frac{d f(v)}{d v}\cdot\frac{\partial v}{\partial x} \\ &= F^\prime(w)\cdot1 + f^\prime(v)\cdot1 \end{align}\] (où la figure \(1\) est simplement le coefficient de \(x\) dans \(w\) et \(v\));
et \[\begin{align} \frac{\partial^2 y}{\partial x^2}= F^{\prime\prime}(w) + f^{\prime\prime}(v). \end{align}\] Également \[\begin{align} \frac{\partial y}{\partial t} &= \frac{d F(w)}{d w}\cdot\frac{\partial w}{\partial t} + \frac{d f(v)}{d v}\cdot\frac{\partial v}{\partial t} \\ &= F^\prime(w)\cdot a - f^\prime(v) a; \end{align}\] et \[\begin{align} \frac{\partial^2 y}{\partial t^2} &= F''(w)a^2 + f''(v)a^2; \end{align}\] d'où \[\begin{align} \frac{\partial^2 y}{\partial t^2} &= a^2\, \frac{\partial^2 y}{\partial x^2}. \end{align}\]
Cette équation différentielle est d'une immense importance en physique mathématique.
Maxima et Minima de Fonctions de Deux Variables Indépendantes
Reprenons l'exercice suivant exercice du chapitre sur les Maxima et Minima:
Exemple 16.5. Un morceau de ficelle \(30\) pouces de long a ses deux extrémités réunies et est tendu par \(3\) pions pour former un triangle. Quelle est la plus grande surface triangulaire qui peut être enfermée par la ficelle ?
Solution. Soit \(x\) et \(y\) la longueur de deux des portions de la ficelle. La troisième est \(30-(x+y)\), et l'aire du triangle est \(A = \sqrt{s(s-x)(s-y)(s-30+x+y)}\), où \(s\) est le demi-périmètre, \(15\), de sorte que \(A = \sqrt{15P}\), où \begin{align} P &= (15-x)(15-y)(x+y-15) \\ &= xy^2 + x^2y - 15x^2 - 15y^2 - 45xy + 450x + 450y - 3375. \end{align}
Évidemment \(A\) est maximum lorsque \(P\) est maximum. \[dP = \dfrac{\partial P}{\partial x}\, dx + \dfrac{\partial P}{\partial y}\, dy.\] Pour un maximum (évidemment, ce ne sera pas un minimum dans ce cas), on doit avoir simultanément
\[\dfrac{\partial P}{\partial x} = 0 \quad\text{et}\quad \dfrac{\partial P}{\partial y} = 0;\]
c'est-à-dire, \[\begin{align} 2xy - 30x + y^2 - 45y + 450 &= 0, \\ 2xy - 30y + x^2 - 45x + 450 &= 0. \end{align}\]
Une solution immédiate est \(x=y\).
Si nous introduisons maintenant cette condition dans la valeur de \(P\), nous trouvons \[P = (15-x)^2 (2x-15) = 2x^3 - 75x^2 + 900x - 3375.\] Maintenant \(P\) est une fonction de \(x\) seulement. Pour maximum ou minimum, \(\dfrac{dP}{dx} = 6x^2 - 150x + 900 = 0\), ce qui donne \(x=15\) ou \(x=10\).
Évidemment \(x=15\) donne une aire minimale; \(x=10\) donne le maximum, car \(\dfrac{d^2 P}{dx^2} = 12x - 150\), ce qui est \(+30\) pour \(x=15\) et \(-30\) pour \(x=10\) (voir le Test de la Seconde Dérivée).
Exemple 16.6. Trouver les dimensions d'un camion ordinaire de charbon de chemin de fer avec des extrémités rectangulaires, de sorte que, pour un volume donné \(V\), l'aire des côtés et du plancher ensemble soit aussi petite que possible.
Solution. Le camion est une boîte rectangulaire ouverte en haut. Soit \(x\) la longueur et \(y\) la largeur; alors la profondeur est \(\dfrac{V}{xy}\). L'aire de surface est \(S=xy + \dfrac{2V}{x} + \dfrac{2V}{y}\). \[\begin{align} dS &= \frac{\partial S}{\partial x}\, dx + \frac{\partial S}{\partial y}\, dy\\ &= \left(y - \frac{2V}{x^2}\right) dx + \left(x - \frac{2V}{y^2}\right) dy. \end{align}\] Pour un minimum (évidemment ce ne sera pas un maximum ici), \[y - \frac{2V}{x^2} = 0,\quad x - \frac{2V}{y^2} = 0.\]
Voici aussi, une solution immédiate est \(x = y\), de sorte que \(S = x^2 + \dfrac{4V}{x}\),\(\dfrac{dS}{dx}= 2x - \dfrac{4V}{x^2} =0\) pour un minimum, et \[x = \sqrt[3]{2V}.\]
Exercices
Exercice 16.1. Différenciez l'expression \(\dfrac{x^3}{3} - 2x^3y - 2y^2x + \dfrac{y}{3}\) par rapport à \(x\) seul, et par rapport à \(y\) seul.
Réponse
\(x^3 - 6x^2 y - 2y^2;\quad \dfrac{1}{3} - 2x^3 - 4xy\).
Solution
\[\begin{align} & z=\frac{x^{3}}{3}-2 x^{3} y-2 y^{2} x+\frac{y}{3} \\ & \frac{\partial z}{\partial x}=x^{2}-6 x^{2} y-2 y^{2} \\ & \frac{\partial z}{\partial y}=-2 x^{3}-4 y x+\frac{1}{3} \end{align}\]
Exercice 16.2. Trouvez les dérivées partielles par rapport à \(x\), \(y\) et \(z\), de l'expression \[x^2yz + xy^2z + xyz^2 + x^2y^2z^2.\]
Réponse
\(2xyz + y^2 z + z^2 y + 2xy^2 z^2\);
\(2xyz + x^2 z + xz^2 + 2x^2 yz^2\);
\(2xyz + x^2 y + xy^2 + 2x^2 y^2 z\).
Solution
Soit \[u=x^{2} y z+x y^{2} z+x y z^{2}+x^{2} y^{2} z^{2}.\] Alors \[\begin{align} \frac{\partial u}{\partial x}= & 2 x y z+y^{2} z+y z^{2}+2 x y^{2} z^{2} \\ \frac{\partial u}{\partial y}= & x^{2} z+2 x y z+x z^{2}+2 x^{2} y z \\ \frac{\partial u}{\partial z}= & x^{2} y+x y^{2}+2 x y z+2 x^{2} y^{2} z \end{align}\]
Exercice 16.3. Soit \(r^2 = (x-a)^2 + (y-b)^2 + (z-c)^2\).
Trouvez la valeur de \(\dfrac{\partial r}{\partial x} + \dfrac{\partial r}{\partial y} + \dfrac{\partial r}{\partial z}\). Trouvez également la valeur de \(\dfrac{\partial^2r}{\partial x^2} + \dfrac{\partial^2r}{\partial y^2} + \dfrac{\partial^2r}{\partial z^2}\).
Réponse
\(\dfrac{1}{r} \{ \left(x - a\right) + \left( y - b \right) + \left( z - c \right) \} = \dfrac{ \left( x + y + z \right) - \left( a + b + c \right) }{r}\); \(\dfrac{3}{r}\).
Solution
\[\begin{align} & r^{2}=(x-a)^{2}+(y-b)^{2}+(z-c)^{2} \\ & \frac{\partial\left(r^{2}\right)}{\partial x}=2 r \frac{\partial r}{\partial x}=2(x-a) \\ \Rightarrow\qquad & \frac{\partial r}{\partial x}=\frac{x-a}{r} \end{align}\] De même
\[2 r \frac{\partial r}{\partial y}=2(y-b) \Rightarrow \frac{\partial r}{\partial y}=\frac{y-b}{r}\] \[2 r \frac{\partial r}{\partial z} =2(z-c) \Rightarrow \frac{\partial r}{\partial z}=\frac{z-c}{r}.\] Par conséquent, \[\begin{align} \frac{\partial r}{\partial x}+\frac{\partial r}{\partial y}+\frac{\partial r}{\partial z} & =\frac{x-a+y-b+z-c}{r} \\ & =\frac{x+y+z}{r}-\frac{a+b+c}{r} \end{align}\]
En utilisant la règle du quotient
\[\begin{align} \frac{\partial^{2} r}{\partial x^{2}} &= \frac{\partial\left(\dfrac{\partial r}{\partial x}\right)}{\partial x}\\ &=\frac{\partial\left(\dfrac{x-a}{r}\right)}{\partial x}\\ &=\frac{r-\dfrac{\partial r}{\partial x}(x-a)}{r^{2}} &&\text{(Règle du Quotient)}\\ & =\frac{r-\frac{(x-a)^{2}}{r}}{r^{2}} \\ & =\frac{r^{2}-(x-a)^{2}}{r^{3}} \end{align}\] De même \[\frac{\partial^{2} r}{\partial y^{2}}=\frac{r^{2}-(y-b)^{2}}{r^{3}}\] et \[\frac{\partial^{2} r}{\partial z^{2}}=\frac{r^{2}-(z-c)^{2}}{r^{3}}\]
Donc
\[\begin{align} \frac{\partial^{2} r}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} r}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2} r}{\partial z^{2}} & =\frac{r^{2}-(x-a)^{2}}{r^{3}}+\frac{r^{2}-(y-b)^{2}}{r^{3}}+\frac{r^{2}-(z-c)^{2}}{r^{3}} \\ & =\frac{3 r^{2}-\left\{(x-a)^{2}+(y-b)^{2}+(z-c)^{2}\right\}}{r^{3}} \\ & =\frac{3 r^{2}-r^{2}}{r^{3}} \\ & =\frac{2}{r} . \end{align}\]
Exercice 16.4. Trouvez le différentiel total de \(y=u^v\).
Réponse
\(dy = vu^{v-1}\, du + u^v \ln u\, dv\).
Solution
\[\begin{gathered} y=u^{v} \\ \frac{\partial y}{\partial u}=v u^{v-1} \quad \frac{\partial y}{\partial v}=u^{v} \cdot \ln u \end{gathered}\] Le différentiel total de \(y\) est \[\begin{align} & d y=\frac{\partial y}{\partial u} d u+\frac{\partial y}{\partial v} d v \\ & =v u^{v-1} d u+u^{v} \cdot \ln u d v \end{align}\]
Exercice 16.5. Trouvez le différentiel total de \(y=u^3 \sin v\); de \(y = (\sin x)^u\); et de \(y = \dfrac{\ln u}{v}\).
Réponse
\(dy = 3\sin v u^2\, du + u^3 \cos v\, dv\),
\(dy = u \left(\sin x\right)^{u-1} \cos x\, dx + (\sin x)^u \ln \sin x du\),
\(dy = \dfrac{1}{v}\, \dfrac{1}{u}\, du - \ln u \dfrac{1}{v^2}\, dv\).
Solution
(a) \[y=u^{3} \sin v\]
\[\begin{align} & \frac{\partial y}{\partial u}=3 u^{2} \sin v \quad \frac{\partial y}{\partial v}=u^{3} \cos v \\ & d y=\frac{\partial y}{\partial u} d u+\frac{\partial y}{\partial v} d v \end{align}\]
(b) \[y=(\sin x)^{u}\]
\[\begin{align} & \frac{\partial y}{\partial x}=u \cos x(\sin x)^{u-1} \\ & \frac{\partial y}{\partial u}=(\sin x)^{u} \cdot \ln (\sin x) \\ & d y=\frac{\partial y}{\partial x} d x+\frac{\partial y}{\partial u} d u \\ & d y=u \cos x(\sin x)^{u-1} d x+(\sin x)^{u} \cdot \ln (\sin x) d u \end{align}\]
(c)
\[\begin{align} y & =\frac{\ln u}{v} \\ \frac{\partial y}{\partial u} & =\frac{1}{v} \frac{1}{u} \\ \frac{\partial y}{\partial v} & =\frac{\partial\left(\ln u \cdot v^{-1}\right)}{\partial v} \\ & =-\ln u \cdot v^{-2} \\ & =-\frac{\ln u}{v^{2}} \\ d y & =\frac{\partial y}{\partial u} d u+\frac{\partial y}{\partial v} d v \\ & =\frac{1}{u v} d u-\frac{\ln u}{v^{2}} d v \end{align}\]
Exercice 16.6. Vérifiez que la somme de trois quantités \(x\), \(y\), \(z\), dont le produit est une constante \(k\), est maximale lorsque ces trois quantités sont égales.
Solution
Nous voulons maximiser
\[S=x+y+z\]
à condition que \(x y z=k\).
Nous trouvons \(z\) à partir de la contrainte \(xyz=k\) et ensuite le substituons dans \(S\): \[x y z=k \Rightarrow z=\frac{k}{x y}\] \[S=x+y+z=x+y+\frac{k}{x y}\]
Le maximum se produit lorsque \(\dfrac{\partial S}{\partial x}=\dfrac{\partial S}{\partial y}=0\) \[\left\{ \begin{aligned} \frac { \partial S } { \partial x } &= 1 - \frac { k } { x ^ { 2 } y } = 0 \\ \frac { \partial S } { \partial y } &= 1 - \frac { k } { x y ^ { 2 } } = 0 \end{aligned} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{aligned} &x^{2} y=k \\ &x y^{2}=k \end{aligned}\right.\] Si nous divisons \(x^2y=k\) par \(xy^2=k\), nous obtenons \[\frac{x^{2} y}{x y^{2}}=\frac{k}{k}\] En simplifiant le côté gauche, nous obtenons: \[\frac{x}{y}=1 \Rightarrow x=y\] \[x^{2} y=k \Rightarrow x^{3}=k \Rightarrow x=\sqrt[3]{k}\] Donc \(y=\sqrt[3]{k}\) et \[z=\frac{k}{x y}=\frac{k}{\sqrt[3]{k} \sqrt[3]{k}}=\sqrt[3]{k} .\]
Exercice 16.7. Trouvez le maximum ou le minimum de la fonction \[u = x + 2xy + y.\]
Réponse
Minimum pour \(x = y = -\frac{1}{2}\).
Solution
\[\begin{align} &\frac{\partial u}{\partial x}=1+2 y\\ &\frac{\partial u}{\partial y}=1+2 x \end{align}\]
\(u\) a un maximum ou un minimum où \(\dfrac{\partial u}{\partial x}=\dfrac{\partial u}{\partial y}=0\):
\[\begin{align} & \frac{\partial u}{\partial x}=1+2 y=0 \Rightarrow y=-\frac{1}{2} \\ & \frac{\partial u}{\partial y}=1+2 x=0 \Rightarrow x=-\frac{1}{2} \end{align}\]
En examinant des points proches (comme \(x=-0.4, y=-0.4\) ), nous pouvons dire que \(u\) est un minimum lorsque \(x=y=-\dfrac{1}{2}\).
Exercice 16.8. Les règlements des postes indiquent qu'aucun colis ne doit être d'une taille telle que sa longueur plus sa circonférence dépasse \(6\) pieds. Quel est le plus grand volume qui peut être envoyé par poste (a) dans le cas d'un paquet de section rectangulaire; (b) dans le cas d'un paquet de section circulaire?
Réponse
(a) Longueur \(2\) pieds, largeur = hauteur = \(1\) pied, vol. = \(2\) pieds cubes.
(b) Rayon = \(\dfrac{2}{\pi}\) pieds = \(7.46\) po, longueur = \(2\) pieds, vol. = \(2.546\).
Solution
(a) Soit \[\begin{align} & L=\text { longueur du colis } \\ & W=\text { Largeur } \\ & H=\text { Hauteur } \end{align}\] Alors \[\text { circonférence }=L+2 W+2 H\]
Nous voulons maximiser \[V=LWH\] à condition que \(\text{circonférence} = L+2 W+2 H=6\) ou \[L=6-2 W-2 H.\]
En utilisant cette contrainte, nous pouvons écrire \(V\) comme \[\begin{align} V & =(6-2 W-2 H) W H \\ & =6 W H-2 W^{2} H-2 \end{align}\]
Le maximum se produit où \(\dfrac{\partial V}{\partial W}=0\) et \(\dfrac{\partial V}{\partial H}=0\): \[\left\{\begin{align} & \frac{\partial V}{\partial W}=6 H-4 W H-2 H^{2}=0 \\ & \frac{\partial V}{\partial H}=6 W-W^{2}-4 W H=0 \end{align}\right.\] En soustrayant la deuxième équation de la première \[6(H-W)-2\left(H^{2}-W^{2}\right)=0\] ou \[\begin{align} & 6(H-W)-2(H-W)(H+W)=0 \\ & (H-W)[6-2 H-2 W]=0 \end{align}\]
L'expression entre crochets est \(L\) et comme \(L \neq 0\), la seule solution est \(H-W=0\) ou \(W=H\).
En substituant \(W=H\) dans \(\dfrac{\partial V}{\partial x}=0\) on obtient \[6 H-4 H^{2}-2 H^{2}= 6 H-6 H^{2}=0\] ou \[6 H(1-H)=0\] Comme \(H\neq 0\) \[\Rightarrow H=1\quad\Rightarrow \quad W=H=1\] Donc, \[\begin{align} & L=6-2 H-2 W \\ & L=2 \end{align}\] [Alternativement, nous pourrions substituer \(W=H\) dans \(\dfrac{\partial V}{\partial y}=0\).]
Dans ce cas \((H=W=1\) et \(L=2), V=2\ \mathrm{ft}^{3}\).
(b) \(r=\) rayon de la section transversale
\[\begin{gathered} \text { circonférence }=L+2 \pi r \\ L+2 \pi r=6 \Rightarrow L=6-2 \pi r \end{gathered}\]
Nous voulons maximiser \[V=\pi r^2 L.\]
Comme \(L=6-2 \pi r\): \[\begin{align} V& =\pi r^{2}(6-2 \pi r) \\ & =6 \pi r^{2}-2 \pi^{2} r^{3} \end{align}\]
Maintenant \(V\) est une fonction de \(r\) seul:
\[\begin{align} \frac{d V}{d r} & =12 \pi r-6 \pi^{2} r^{2} \\ & =6 \pi r(2-\pi r) \end{align}\] \[\frac{d V}{d r}=0 \quad \Leftrightarrow\quad r=0 \quad \text { ou } \quad r=\frac{2}{\pi}\]
Comme \(r \neq 0\), la seule solution est \(r=\dfrac{2}{\pi}\).
Quand \(r=\dfrac{2}{\pi}\) :
\[L=6-2 \pi \times \frac{2}{\pi}=2 \quad f t\]
et le volume maximum est obtenu lorsque \(r=\dfrac{2}{\pi}\) et \(L=2\)
\[V=\pi\left(\frac{2}{\pi}\right)^{2} \cdot 2=\frac{8}{\pi} \approx 2.546\ \mathrm{ft}^{3}.\]
Exercice 16.9. Diviser \(\pi\) en \(3\) parties de sorte que le produit continu de leurs sinus soit un maximum ou un minimum.
Réponse
Toutes les trois parties égales; le produit est maximum.
Solution
Nous voulons maximiser
\[u=\sin x \sin y \sin z\] en supposant que \(x+y+z=\pi, \quad(x, y, z \geq 0)\). De plus, aucune d'elles ne peut être zéro car \(u\) sera zéro si \(x=0\) ou \(y=0\) ou \(z=0\) de \(u\) se produit si \(x=y=z=\frac{\pi}{3}\). Par symétrie, nous pouvons imaginer que le maximum de \(u\) se produit si \[x=y=z=\frac{\pi}{3}\]
Mais ici nous voulons utiliser le calcul: \[x+y+z=\pi \Rightarrow \quad z=\pi-x-y\] et donc \[u=\sin x\ \sin y\ \sin(\pi-x-y)\] Rappelons que \(\sin (\pi-\theta)=\sin \theta\). Par conséquent
\[u=\sin x \sin y \sin (x+y) \text {. }\]
Pour maximiser \(u\) :
\[\left\{ \begin{align} \frac{\partial u}{\partial x}&=\cos x \sin y \sin (x+y)+\sin x \sin y \cos (x+y)=0 &&\text{(A)} \\ \frac{\partial u}{\partial y}&=\sin x\cos y\sin(x+y)+\sin x\sin y \cos(x+y)=0 &&\text{(B)} \end{align} \right.\] En soustrayant (A) de (B), nous obtenons \[[\sin x \cos y-\cos x \sin y] \sin (x+y)=0\] Comme \(\sin (A-B)=\sin A \cos B-\cos A \sin B\), nous pouvons écrire l'expression entre crochets comme \(\sin (x-y)\). Donc
\[\sin (x-y) \sin (x+y)=0\]
\[\Rightarrow \quad x-y=0,\quad\text{ou}\quad x-y=\pi,\quad\text{ou}\quad x+y=0,\quad\text{ou} x+y=\pi.\]
puisque \(0
\[x-y=0 \Rightarrow x=y .\]
En utilisant \(x=y\) dans (A), nous obtenons
\[\cos x \sin x \sin (2 x)+\sin ^{2} x \cos (2 x)=0\]
Notez \(\sin 2 x=2 \sin x \cos x\) :
\[\begin{gathered} 2 \cos ^{2} x \sin ^{2} x+\sin ^{2} x \cos 2 x=0 \\ \sin ^{2} x\left(2 \cos ^{2} x+\cos 2 x\right)=0 \\ \cos 2 x=2 \cos ^{2} x-1: \\ \sin ^{2} x\left(4 \cos ^{2} x-1\right)=0 \end{gathered}\]
Puisque \(0
\[\sin ^{2} x\left(4 \cos ^{2} x-1\right)=0\ \Leftrightarrow\ \cos ^{2} x=\frac{1}{4}\] ou \[\cos x=\frac{1}{2} \Rightarrow x=\frac{\pi}{3}\]
Cela signifie que \(u\) est maximum lorsque \(x=y=z=\dfrac{\pi}{3}\) et que la valeur maximale de \(u\) est
\[\sin ^{3}\left(\frac{\pi}{3}\right)=\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{3}=\frac{3^{\frac{3}{2}}}{8} \approx 0.65\]
Exercice 16.10. Trouve le maximum ou le minimum de \(u = \dfrac{e^{x+y}}{xy}\).
Réponse
Minimum pour \(x = y = 1\).
Solution
\[u=\frac{e^{x+y}}{x y}=\frac{e^{x}}{x} \cdot \frac{e^{y}}{y}\]
\[\begin{align} \frac{\partial u}{\partial x}&=-\frac{e^{x}}{x^{2}} \cdot \frac{e^{y}}{y}+\frac{e^{x}}{x} \cdot \frac{e^{y}}{y}\\ &=\frac{e^{x}}{x} \cdot \frac{e^{y}}{y}\left(-\frac{1}{x}+1\right)=0 \\ \frac{\partial u}{\partial y}&=\frac{e^{x}}{x}\left(-\frac{e^{y}}{y^{2}}\right)+\frac{e^{x}}{x} \cdot \frac{e^{y}}{y}\\ &=\frac{e^{x}}{x} \cdot \frac{e^{y}}{y}\left(-\frac{1}{y}+1\right)=0 \end{align}\]
Puisque \(\dfrac{e^{x+y}}{x y} \neq 0\), nous devons avoir
\[-\frac{1}{x}+1=0 \text { et }-\frac{1}{y}+1=0\] soit \[x=1\ \text { et }\ y=1\]
Quand \(x=y=1, \quad u=e^{2} \approx 7.39\).
Examinons quelques points voisins:
\[\begin{align} & x=y=1.1, \quad u=\frac{e^{2.2}}{1.1^{2}} \approx 7.46 \\ & x=y=0.9, \quad u=\frac{e^{1.8}}{0.9^{2}} \approx 7.47 \\ & x=1.1, \quad y=0.9, \quad u=\frac{e^{2}}{1.1 \times 0.9} \approx 7.46 \end{align}\]
Par conséquent, \(u\) a un minimum de \(e^{2}\).
Exercice 16.11. Trouvez le maximum et le minimum de \[u = y + 2x - 2 \ln y - \ln x.\]
Réponse
Min. : \(x = \frac{1}{2}\) et \(y = 2\).
Solution
\[u=y+2 x-2 \ln y-\ln x\] \[\begin{align} & \frac{\partial u}{\partial x}=2-\frac{1}{x}=0 \Rightarrow x=\frac{1}{2} \\ & \frac{\partial u}{\partial y}=1-\frac{2}{y}=0 \Rightarrow y=2 \end{align}\]
Quand \(x=0.5\) et \(y=2\), \(u=3-\ln 2 \approx 2.31.\)
Nous pouvons examiner quelques points près de \(x=\frac{1}{2}, y=2\)
Quand \(x=0.4, y=1.9, u \approx 2.33\)
Quand \(x=0.4, y=2.1, u \approx 2.33\)
Quand \(x=0.6, y=1.9, u \approx 2.33\)
Quand \(x=0.6, y=2.1, u \approx 2.33\)
Donc, \(u\) est un minimum lorsque \(x=\frac{1}{2}\) et \(y=2\).
Exercice 16.12. Un seau de téléphérage de capacité donnée a la forme d'un prisme triangulaire isocèle horizontal avec l'apex en dessous, et la face opposée ouverte. Trouvez ses dimensions afin que le moins de tôle possible soit utilisé dans sa construction.
Réponse
Angle à l'apex \(= 90^\circ\); côtés égaux = longueur = \(\sqrt[3]{2V}\).
Solution
\[\text{Aire du triangle }= A_{1}=\frac{1}{2} x^{2} \sin \theta\]
\[\text{Volume }=V=A_{1} L=\frac{1}{2} x^{2} \sin \theta L\]
\[\begin{align} \text{Aire du seau } =A&=2 A_{1}+2 x L\\ &=x^{2} \sin \theta+2 x L \end{align}\]
\[V=A_{1} L=\frac{1}{2} x^{2} \sin \theta L\Rightarrow L=\frac{2 V}{x^{2} \sin \theta}\]
\[A=x^{2} \sin \theta+\frac{4 V}{x \sin \theta}\]
Pour minimiser, nous réglons \(\dfrac{\partial A}{\partial x}=0\) et \(\dfrac{\partial A}{\partial \theta}=0\)
\[\left\{\begin{align} &\frac{\partial A}{\partial x}=2 x \sin \theta-\frac{4 V}{x^{2} \sin \theta}=0 \\[9pt] &\frac{\partial A}{\partial y}=x^{2} \cos \theta-\frac{4 V}{x \sin ^{2} \theta} \cos \theta=0 \end{align}\right.\]
ou
\[\left\{\begin{align} &x \sin \theta-\frac{2 v}{x^{2} \sin \theta}=0 \\[9pt] &\cos \theta\left[x^{2}-\frac{4 V}{x \sin ^{2} \theta}\right]=0 \end{align}\right.\]
Comme \(\sin \theta \neq 0\) et \(x \neq 0\), nous multiplions les deux côtés de la première équation par \(x\) et les divisons par \(\sin \theta\) :
\[\left\{\begin{align} &x^{2}-\frac{2 V}{x \sin ^{2} \theta}=0 \\ &\cos \theta\left[x^{2}-\frac{4 V}{x \sin ^{2} \theta}\right]=\cos \theta\left[\underbrace{x^{2}-\frac{2 V}{x \sin ^{2} \theta}}_{0}-\frac{2 V}{x \sin ^{2} \theta}\right]=0 \end{align}\right.\]
Donc, la deuxième équation peut être écrite comme
\[\cos \theta \frac{2 V}{x \sin ^{2} \theta}=0\]
Puisque \(V \neq 0\), nous devons avoir \(\cos \theta=0\) ou
\[\theta=\frac{\pi}{2} \quad \text { (ou } 90^{\circ})\]
Comme \(\sin \frac{\pi}{2}=1\), de la première équation nous obtenons \[x^{2}-\frac{2 V}{x}=0 \Rightarrow x=\sqrt[3]{2 V}\] et parce que \(L=\dfrac{2 V}{x^{2} \sin \theta}\)
\[L=\frac{2 V}{(2 V)^{\frac{2}{3}}}=(2 V)^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{2 V}\]