Techniques d'intégration

Subterfuges. Une grande partie du travail d'intégration consiste à les modeler sous une forme qui puisse être intégrée. Les livres — et par là on entend les livres sérieux — sur le calcul intégral regorgent de plans, de méthodes, de subterfuges et d'artifices pour ce genre de travail. Voici quelques-uns d'entre eux.

Intégration par parties

Ce nom est donné à un subterfuge, dont la formule est \[\bbox[5px,border:1px solid black;background-color:#f2f2f2]{\int u\, dv = uv - \int v\, du + C.}\] Elle est utile dans certains cas que vous ne pouvez pas aborder directement, car elle montre que si dans un cas quelconque \(\displaystyle \int v\, du\) peut être trouvée, alors \(\displaystyle \int u\, dv\) peut également être trouvée. La formule peut être déduite comme suit. On a, \[d(uv) = u\, dv + v\, du,\] ce qui peut s'écrire \[u\,dv = d(uv) - v\, du,\] ce qui, par intégration directe, donne l'expression ci-dessus.

Exemples

Exemple 20.1. Trouver \(\displaystyle \int w \cdot \sin w\, dw\).

Solution. Écrire \(u = w\), et pour \(\sin w \cdot dw\) écrire \(dv\). Nous aurons alors \(du = dw\), tandis que \(\displaystyle \int \sin w \cdot dw = -\cos w = v\).

Mettre cela dans la formule, on obtient \[\begin{align} \int \overbrace{w}^u \cdot \overbrace{\sin w\, dw}^{dv}&= \overbrace{w(-\cos w)}^{uv} - \int \overbrace{-\cos w}^v\, \overbrace{dw}^{du} \\ &=-w \cos w + \sin w + C. \end{align}\]

Exemple 20.2. Trouver \(\displaystyle \int x e^x\, dx\).

Solution. Écrire \[\begin{align} u &= x, & e^x\, dx&=dv; \\ \end{align}\] alors \[\begin{align} du &= dx, & v &=e^x, \end{align}\] et \[\begin{align} \int xe^x\, dx &= xe^x - \int e^x\, dx &&\text{(par la formule)} \\ &= x e^x - e^x+C \\ &= e^x(x-1) + C. \end{align}\]

Exemple 20.3. Essayer \(\displaystyle \int \cos^2 \theta\, d\theta\).

Solution. \[\begin{align} u &= \cos \theta, &\cos \theta\, d\theta &= dv. \end{align}\] D'où \[\begin{align} du&= -\sin \theta\, d\theta, & v &=\sin \theta, \end{align}\] \[\begin{align} \int \cos^2 \theta\, d\theta &= \cos \theta \sin \theta+ \int \sin^2 \theta\, d\theta \\ &= \frac{2 \cos\theta \sin\theta}{2} +\int(1-\cos^2 \theta)\, d\theta \\ &= \frac{\sin 2\theta}{2} + \int d\theta - \int \cos^2 \theta\, d\theta. \end{align}\] D'où \[\begin{align} 2 \int \cos^2 \theta\, d\theta &= \frac{\sin 2\theta}{2} + \theta+C \end{align}\] et \[\begin{align} \int \cos^2 \theta\, d\theta &= \frac{\sin 2\theta}{4} + \frac{\theta}{2} + C^\prime. \end{align}\] où \(C^\prime=C/2\).

Exemple 20.4. Trouver \(\displaystyle \int x^2 \sin x\, dx\).

Solution. Écrire \[\begin{align} x^2 &= u, & \sin x\, dx &= dv; \end{align}\] alors \[\begin{align} du &= 2x\, dx, & v &= -\cos x, \end{align}\] \[\int x^2 \sin x\, dx = -x^2 \cos x + 2 \int x \cos x\, dx.\]

Maintenant trouver \(\displaystyle \int x \cos x\, dx\), par intégration par parties (comme dans l'Exemple 20.1 ci-dessus) : \[\int x \cos x\, dx = x \sin x + \cos x+C.\]

D'où \[\begin{align} \int x^2 \sin x\, dx &= -x^2 \cos x + 2x \sin x + 2 \cos x + C' \\ &= 2 \left[ x \sin x + \cos x \left(1 - \frac{x^2}{2}\right) \right] +C'. \end{align}\]

Exemple 20.5. Trouver \(\displaystyle \int \sqrt{1-x^2}\, dx\).

Solution. Écrire \[\begin{align} u &= \sqrt{1-x^2},\qquad dx=dv; \end{align}\] alors \[\begin{align} du &= -\frac{x\, dx}{\sqrt{1-x^2}}\qquad \text{(Utiliser la Règle de la chaîne)} \end{align}\] et \(x=v\) ; de sorte que \[\int \sqrt{1-x^2}\, dx=x \sqrt{1-x^2} + \int \frac{x^2\, dx}{\sqrt{1-x^2}}.\]

Ici, on peut utiliser un petit subterfuge, car on peut écrire \[\int \sqrt{1-x^2}\, dx = \int \frac{(1-x^2)\, dx}{\sqrt{1-x^2}} = \int \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}} - \int \frac{x^2\, dx}{\sqrt{1-x^2}}.\]

En additionnant ces deux dernières équations, on se débarrasse de \(\displaystyle \int \dfrac{x^2\, dx}{\sqrt{1-x^2}}\), et on obtient \[2 \int \sqrt{1-x^2}\, dx = x\sqrt{1-x^2} + \int \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}.\]

Vous souvenez-vous avoir rencontré \(\dfrac {dx}{\sqrt{1-x^2}}\) ? Elle est obtenue en dérivant \(y=\arcsin x\), également notée \(y=\sin^{-1}x\) (voir ici) ; par conséquent son intégrale est \(\arcsin x\), et donc \[\int \sqrt{1-x^2}\, dx = \frac{x \sqrt{1-x^2}}{2} + \frac{1}{2} \arcsin x +C.\]

Vous pouvez maintenant