Techniques d'intégration

Exemple 20.1. Trouver ${\displaystyle \int w\cdot \sin wdw}$.

Solution. Écrire $u=w$, et pour $\sin w\cdot dw$ écrire $dv$. Nous aurons alors $du=dw$, tandis que ${\displaystyle \int \sin w\cdot dw=-\cos w=v}$.

Mettre cela dans la formule, on obtient \begin{align} \int \overbrace{w}^u \cdot \overbrace{\sin w\, dw}^{dv}&= \overbrace{w(-\cos w)}^{uv} - \int \overbrace{-\cos w}^v\, \overbrace{dw}^{du} \\ &=-w \cos w + \sin w + C. \end{align}

Exemple 20.2. Trouver ${\displaystyle \int x{e}^{x}dx}$.

Solution. Écrire \begin{align} u &= x, & e^x\, dx&=dv; \\ \end{align} alors \begin{align} du &= dx, & v &=e^x, \end{align} et \begin{align} \int xe^x\, dx &= xe^x - \int e^x\, dx &&\text{(par la formule)} \\ &= x e^x - e^x+C \\ &= e^x(x-1) + C. \end{align}

Exemple 20.3. Essayer ${\displaystyle \int {\cos }^2\theta d\theta }$.

Solution. \begin{align} u &= \cos \theta, &\cos \theta\, d\theta &= dv. \end{align} D'où \begin{align} du&= -\sin \theta\, d\theta, & v &=\sin \theta, \end{align} \begin{align} \int \cos^2 \theta\, d\theta &= \cos \theta \sin \theta+ \int \sin^2 \theta\, d\theta \\ &= \frac{2 \cos\theta \sin\theta}{2} +\int(1-\cos^2 \theta)\, d\theta \\ &= \frac{\sin 2\theta}{2} + \int d\theta - \int \cos^2 \theta\, d\theta. \end{align} D'où \begin{align} 2 \int \cos^2 \theta\, d\theta &= \frac{\sin 2\theta}{2} + \theta+C \end{align} et \begin{align} \int \cos^2 \theta\, d\theta &= \frac{\sin 2\theta}{4} + \frac{\theta}{2} + C^\prime. \end{align} où C^\prime=C/2.

Exemple 20.4. Trouver ${\displaystyle \int x^2\sin xdx}$.

Solution. Écrire \begin{align} x^2 &= u, & \sin x\, dx &= dv; \end{align} alors \begin{align} du &= 2x\, dx, & v &= -\cos x, \end{align} $$\int x^2\sin xdx=-x^2\cos x+2\int x\cos xdx.$$

Maintenant trouver ${\displaystyle \int x\cos xdx}$, par intégration par parties (comme dans l'Exemple 20.1 ci-dessus) : $$\int x\cos xdx=x\sin x+\cos x+C.$$

D'où \begin{align} \int x^2 \sin x\, dx &= -x^2 \cos x + 2x \sin x + 2 \cos x + C' \\ &= 2 \left[ x \sin x + \cos x \left(1 - \frac{x^2}{2}\right) \right] +C'. \end{align}

Exemple 20.5. Trouver ${\displaystyle \int \sqrt{1-x^2}dx}$.

Solution. Écrire \begin{align} u &= \sqrt{1-x^2},\qquad dx=dv; \end{align} alors \begin{align} du &= -\frac{x\, dx}{\sqrt{1-x^2}}\qquad \text{(Utiliser la Règle de la chaîne)} \end{align} et $x=v$ ; de sorte que $$\int \sqrt{1-x^2}dx=x\sqrt{1-x^2}+\int \frac{x^{2}dx}{\sqrt{1-x^2}}.$$

Ici, on peut utiliser un petit subterfuge, car on peut écrire $$\int \sqrt{1-x^2}dx=\int \frac{(1-x^2)dx}{\sqrt{1-x^2}}=\int \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}-\int \frac{x^{2}dx}{\sqrt{1-x^2}}.$$

En additionnant ces deux dernières équations, on se débarrasse de ${\displaystyle \int \frac{x^{2}dx}{\sqrt{1-x^2}}}$, et on obtient $$2\int \sqrt{1-x^2}dx=x\sqrt{1-x^2}+\int \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}.$$

Vous souvenez-vous avoir rencontré ${\displaystyle \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}}$ ? Elle est obtenue en dérivant $y=\arcsin x$, également notée $y={\sin }^{-1}x$ (voir ici) ; par conséquent son intégrale est $\arcsin x$, et donc $$\int \sqrt{1-x^2}dx=\frac{x\sqrt{1-x^2}}{2}+\frac{1}{2}\arcsin x+C.$$