la règle de puissance

Exemple 4.1. Différencier \(y=x^2\).

Solution. Commençons avec l'expression simple \(y=x^2\). Rappelez-vous que la notion fondamentale du calcul est l'idée de croissance. Les mathématiciens l'appellent variation. Or comme \(y\) et \(x^2\) sont égaux l'un à l'autre, il est clair que si \(x\) croît, \(x^2\) croîtra aussi. Et si \(x^2\) croît, alors \(y\) croîtra également. Ce que nous devons découvrir, c'est la proportion entre la croissance de \(y\) et la croissance de \(x\). En d'autres termes, notre tâche est de trouver le rapport entre \(dy\) et \(dx\), ou, en bref, de trouver la valeur de \(\dfrac{dy}{dx}\).

Laissons, alors, \(x\) croître un peu plus et devenir \(x + dx\); de même, \(y\) croîtra un peu plus et deviendra \(y + dy\). Il sera alors clair que le \(y\) agrandi sera égal au carré du \(x\) agrandi. Écrivant cela, nous avons: \[y + dy = (x + dx)^2.\] En effectuant l'élévation au carré, nous obtenons: \[y + dy = x^2 + 2x \cdot dx+(dx)^2.\]

Que signifie \((dx)^2\)? Souvenez-vous que \(dx\) signifiait un petit peu de \(x\). Alors \((dx)^2\) signifiera un petit peu d'un petit peu de \(x\); c'est-à-dire, comme expliqué ci-dessus, c'est une petite quantité d'ordre de petitesse secondaire. Elle peut donc être écartée comme assez négligeable par rapport aux autres termes. En laissant cela de côté, nous avons alors: \[y + dy = x^2 + 2x \cdot dx.\] Maintenant \(y=x^2\); soustrayons cela de l'équation et il nous reste: \[dy = 2x \cdot dx.\] En divisant par \(dx\), nous trouvons: \[\frac{dy}{dx} = 2x.\]

Maintenant, ceci¹ est ce que nous avons cherché à trouver. Le rapport de la croissance de \(y\) à la croissance de \(x\) est, dans le cas qui nous occupe, trouvé être \(2x\).

Supposons que \(x=100\) et donc \(y=10,000\). Puis laissons \(x\) croître jusqu'à ce qu'il devienne \(101\) (c'est-à-dire, que \(dx=1\)). Alors, le \(y\) agrandi sera \(101 \times 101 = 10,201\). Mais si nous admettons que nous pouvons ignorer les petites quantités d'ordre secondaire, \(1\) peut être rejeté comparé à \(10,000\); nous pouvons donc arrondir le \(y\) agrandi à \(10,200\). \(y\) a augmenté de \(10,000\) à \(10,200\); la partie ajoutée est \(dy\), qui est donc \(200\).

\(\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{200}{1} = 200\). Selon le travail algébrique du paragraphe précédent, nous trouvons \(\dfrac{dy}{dx} = 2x\). Et c'est bien le cas; car \(x=100\) et \(2x=200\).

Mais, vous direz, nous avons négligé une unité entière.

Eh bien, essayez de nouveau, en rendant \(dx\) encore plus petit.

Essayez \(dx=\frac{1}{10}\). Alors \(x+dx=100.1\), et \[(x+dx)^2 = 100.1 \times 100.1 = 10,020.01.\]

Maintenant, le dernier chiffre \(1\) est seulement une millionième partie de \(10,000\), et est totalement négligeable; donc nous pouvons prendre \(10,020\) sans le petit décimal à la fin. Et cela fait \(dy=20\); et \(\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{20}{0.1} = 200\), ce qui est toujours le même que \(2x\).

Exemple 4.2. Essayez de différencier \(y = x^3\) de la même manière.

Solution. Nous laissons \(y\) croître jusqu'à \(y+dy\), tandis que \(x\) croît jusqu'à \(x+dx\).

Alors nous avons \[y + dy = (x + dx)^3.\]

En effectuant le cubage, nous obtenons \[y + dy = x^3 + 3x^2 \cdot dx + 3x(dx)^2+(dx)^3.\]

Maintenant nous savons que nous pouvons négliger les petites quantités des ordres secondaires et tertiaires; car, quand \(dy\) et \(dx\) sont à la fois rendus indéfiniment petits, \((dx)^2\) et \((dx)^3\) deviendront indéfiniment plus petits en comparaison. Donc, les considérant comme négligeables, il nous reste: \[y + dy=x^3+3x^2 \cdot dx.\]

Mais \(y=x^3\); et, en soustrayant cela, nous avons: \[\begin{align} dy &= 3x^2 \cdot dx, \end{align}\] et \[\begin{align} \frac{dy}{dx} &= 3x^2. \end{align}\]

Exemple 4.3. Essayez de différencier \(y=x^4\).

Solution. En commençant comme avant par laisser croître un peu tant \(y\) que \(x\), nous avons: \[\begin{align} y + dy = (x+dx)^4. \end{align}\] En effectuant l'élévation à la quatrième puissance, nous obtenons \[y + dy = x^4 + 4x^3\, dx + 6x^2(dx)^2 + 4x(dx)^3+(dx)^4.\] Puis, en rayant les termes contenant tous les puissances supérieures de \(dx\), considérés comme négligeables par comparaison, nous avons \[y + dy = x^4+4x^3\, dx.\] En soustrayant l'original \(y=x^4\), il nous reste \[dy = 4x^3\, dx,\] et \[\frac{dy}{dx} = 4x^3.\]

Exemple 4.4. Essayez de différencier \(y = x^5\).

Solution. Alors \[\begin{align} y+dy &= (x+dx)^5 \\ &= x^5 + 5x^4\, dx + 10x^3(dx)^2 + 10x^2(dx)^3 \\ &= x^5 + 5x^4\, dx + 5x(dx)^4 + (dx)^5. \end{align}\] Négligeant tous les termes contenant de petites quantités des ordres supérieurs, nous avons \[y + dy = x^5 + 5x^4\, dx,\] et en soustrayant \(y= x^5\), il nous reste \[dy = 5x^4\, dx,\] ce qui donne \[\begin{align} \frac{dy}{dx}= 5x^4, \end{align}\] exactement comme nous le supposions.

Exemple 4.5. Différencier \(y=\dfrac{1}{x^2}\).

Solution. Nous pouvons écrire \(y = x^{-2}\). Puis procédons comme auparavant: \[\begin{align} y+dy &= (x+dx)^{-2} \\ &= x^{-2} \left(1 + \frac{dx}{x}\right)^{-2}. \end{align}\] En développant cela par le théorème binomial (voir l'appendice), nous obtenons \[\begin{align} &=x^{-2} \left[1 - \frac{2\, dx}{x} + \frac{2(2+1)}{1\times 2} \left(\frac{dx}{x}\right)^2 - \cdots \right] \\ &=x^{-2} - 2x^{-3} \cdot dx + 3x^{-4}(dx)^2 - 4x^{-5}(dx)^3 + \cdots . \end{align}\] Ainsi, en négligeant les petites quantités des ordres supérieurs de petitesse, nous avons: \[y + dy = x^{-2} - 2x^{-3} \cdot dx.\] En soustrayant l'original \(y = x^{-2}\), nous trouvons \[\begin{align} dy &= -2x^{-3}dx, \end{align}\] ou \[\frac{dy}{dx} = -2x^{-3}.\] Et cela est toujours conforme à la règle déduite plus haut.

Exemple 4.6. Différencier \(y=\sqrt{x}\).

Solution. Remarquez que \(\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}\).² Donc, laissons \(y= x^{\frac{1}{2}}\). Puis, comme précédemment, \[\begin{align} y+dy &= (x+dx)^{\frac{1}{2}} = x^{\frac{1}{2}} \left(1 + \frac{dx}{x} \right)^{\frac{1}{2}} \\ &= \sqrt{x} + \frac{1}{2} \frac{dx}{\sqrt{x}} - \frac{1}{8} \frac{(dx)^2}{x\sqrt{x}} +\text{termes avec des puissances supérieures de } dx. \end{align}\] En soustrayant l'original \(y = x^{\frac{1}{2}}\), et négligeant les puissances supérieures, nous avons: \[dy = \frac{1}{2} \frac{dx}{\sqrt{x}} = \frac{1}{2} x^{-\frac{1}{2}} \cdot dx,\] et \(\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{1}{2} x^{-\frac{1}{2}}\). Conforme à la règle générale.