Intégration comme l'Inverse de la Différenciation

Différencier est le processus par lequel, lorsque \(y\) nous est donné (comme une fonction de \(x\)), nous pouvons trouver \(\dfrac{dy}{dx}\).

Comme pour toute autre opération mathématique, le processus de différenciation peut être inversé ; ainsi, si différencier \(y = x^4\) nous donne \(\dfrac{dy}{dx} = 4x^3\) ; si l'on commence avec \(\dfrac{dy}{dx} = 4x^3\), on dirait qu'inverser le processus donnerait \(y = x^4\). Mais ici intervient un point curieux. Nous devrions obtenir \(\dfrac{dy}{dx} = 4x^3\) si nous avions commencé avec n'importe lequel des suivants : \(x^4\), ou \(x^4 + a\), ou \(x^4 + c\), ou \(x^4\) avec n'importe quelle constante ajoutée. Il est donc clair qu'en travaillant à rebours de \(\dfrac{dy}{dx}\) à \(y\), il faut prévoir la possibilité d'une constante ajoutée, dont la valeur sera indéterminée jusqu'à ce qu'elle soit déterminée d'une autre manière. Ainsi, si différencier \(x^n\) donne \(nx^{n-1}\), aller à rebours de \(\dfrac{dy}{dx} = nx^{n-1}\) nous donnera \(y = x^n + C\); où \(C\) représente la constante possible encore indéterminée.

Clairement, en traitant les puissances de \(x\), la règle pour travailler à rebours sera : Augmenter la puissance de \(1\), puis diviser par cette puissance augmentée, et ajouter la constante indéterminée.

Ainsi, dans le cas où \[\frac{dy}{dx} = x^n,\] en travaillant à rebours, nous obtenons \[y = \frac{1}{n + 1} x^{n+1} + C.\]

Si différencier l'équation \(y = ax^n\) nous donne \[\frac{dy}{dx} = anx^{n-1},\] c'est une question de bon sens que commencer avec \[\frac{dy}{dx} = anx^{n-1},\] et inverser le processus, nous donnera \[y = ax^n.\] Donc, lorsque nous traitons une constante multiplicatrice, nous devons simplement mettre la constante comme facteur multiplicateur du résultat de l'intégration.

Ainsi, si \(\dfrac{dy}{dx} = 4x^2\), le processus inverse nous donne \(y = \frac{4}{3}x^3\).

Mais cela est incomplet. Car nous devons nous rappeler que si nous avions commencé avec \[y = ax^n + C,\] où \(C\) est n'importe quelle quantité constante, nous trouverions également \[\frac{dy}{dx} = anx^{n-1}.\]

Donc, par conséquent, lorsque nous inverserons le processus, nous devons toujours nous rappeler d'ajouter cette constante indéterminée, même si nous ne savons pas encore quelle sera sa valeur.

Ce processus, l'inverse de la différenciation, est appelé intégration; car il consiste à trouver la valeur de la quantité totale \(y\) lorsque vous avez seulement une expression pour \(dy\) ou pour \(\dfrac{dy}{dx}\). Jusqu'à présent, nous avons autant que possible gardé \(dy\) et \(dx\) ensemble comme une dérivée : dorénavant nous devrons plus souvent les séparer.

Si nous commençons par un cas simple, \[\frac{dy}{dx} = x^2,\] nous pouvons l'écrire, si nous le souhaitons, comme \[dy = x^2\, dx.\]

C'est maintenant une "équation différentielle" qui nous informe qu'un élément de \(y\) est égal à l'élément correspondant de \(x\) multiplié par \(x^2\). Maintenant, ce que nous voulons, c'est l'intégrale; par conséquent, notez symboliquement les instructions pour intégrer les deux côtés, ainsi : \[\int dy = \int x^2\, dx.\]

[Remarque concernant la lecture des intégrales : ce qui précède serait lu ainsi :

“Intégrale dee-wy égale intégrale eks-carré dee-eks.”]

Nous n'avons pas encore intégré : nous avons seulement écrit les instructions pour intégrer - si nous le pouvons. Essayons. Plein d'autres idiots peuvent le faire - pourquoi pas aussi nous? Le côté gauche est d'une simplicité elle-même. La somme de tous les morceaux de \(y\) est la même chose que \(y\) lui-même. Donc nous pouvons directement mettre : \[y = \int x^2\, dx.\]

Mais lorsque nous abordons le côté droit de l'équation, nous devons nous rappeler que ce que nous devons additionner ensemble ne sont pas tous les \(dx\), mais tous les termes tels que \(x^2\, dx\); et cela ne sera pas le même que \(\displaystyle x^2 \int dx\), car \(x^2\) n'est pas une constante. Car certains des \(dx\) seront multipliés par de grandes valeurs de \(x^2\), et d'autres seront multipliés par de petites valeurs de \(x^2\), selon ce que \(x\) se trouve être. Nous devons donc réfléchir à ce que nous savons de ce processus d'intégration étant l'inverse de la différenciation. Maintenant, notre règle pour ce processus inversé lors du traitement de \(x^n\) est “augmenter la puissance de un, et diviser par le même nombre que cette puissance augmentée." C'est-à-dire, \(x^2\, dx\) sera changé¹ en \(\frac{1}{3} x^3\). Mettez cela dans l'équation ; mais n'oubliez pas d'ajouter la "constante d'intégration" \(C\) à la fin. Nous obtenons donc: \[y = \frac{1}{3} x^3 + C.\]

Vous avez réellement effectué l'intégration. Que c'est facile !

Essayons un autre cas simple.

Soit \[\dfrac{dy}{dx} = ax^{12},\] où \(a\) est un multiplicateur constant quelconque. Eh bien, nous avons trouvé en différenciant qu'un facteur constant dans la valeur de \(y\) réapparaissait inchangé dans la valeur de \(\dfrac{dy}{dx}\). Dans le processus inversé d'intégration, il réapparaîtra donc également dans la valeur de \(y\). Nous pouvons donc travailler comme avant, ainsi \[\begin{align} dy &= ax^{12} \cdot dx,\\ \int dy &= \int ax^{12} \cdot dx,\\ \int dy &= a \int x^{12}\, dx,\\ y &= a \times \frac{1}{13} x^{13} + C. \end{align}\]

Cela est donc fait. Que c'est facile !

Nous commençons à nous rendre compte maintenant que l'intégration est un processus de retrouver notre chemin, par rapport à la différenciation. Si jamais, pendant la différenciation, nous avons trouvé une expression particulière - dans cet exemple \(ax^{12}\) - nous pouvons retrouver notre chemin vers le \(y\) dont elle a été dérivée. Le contraste entre les deux processus peut être illustré par la remarque suivante d'un professeur bien connu. Si un étranger était laissé sur Trafalgar Square, et qu'on lui disait de trouver son chemin vers la gare d'Euston, il pourrait trouver la tâche sans espoir. Mais s'il avait été conduit auparavant personnellement de la gare d'Euston à Trafalgar Square, il lui serait relativement facile de retrouver son chemin vers la gare d'Euston.

Intégration de la somme ou de la différence de deux fonctions

Soit \[\begin{align} \frac{dy}{dx} &= x^2 + x^3, \end{align}\] alors \[\begin{align} dy &= x^2\, dx + x^3\, dx. \end{align}\]

Il n'y a aucune raison pour laquelle nous ne pourrions pas intégrer chaque terme séparément: car, comme on peut le voir avant, nous avons trouvé qu'en différenciant la somme de deux fonctions séparées, la dérivée était simplement la somme des deux différenciations séparées. Donc, lorsque nous travaillons à rebours, en intégrant, l'intégration sera simplement la somme des deux intégrations séparées.

Nos instructions seront donc: \[\begin{align} \int dy &= \int (x^2 + x^3)\, dx \\ &= \int x^2\, dx + \int x^3\, dx \\ y &= \frac{1}{3} x^3 + \frac{1}{4} x^4 + C. \end{align}\]

Si l'un des termes avait été une quantité négative, le terme correspondant dans l'intégrale aurait également été négatif. Les différences se traitent aussi facilement que les sommes.

Comment traiter les termes constants

Supposons qu'il y ait dans l'expression à intégrer un terme constant - comme ceci : \[\frac{dy}{dx} = x^n + b.\]

C'est d'une facilité risible. Car il ne vous suffit que de vous souvenir que lorsque vous avez différencié l'expression \(y = ax\), le résultat était \(\dfrac{dy}{dx} = a\). Par conséquent, lorsque vous travaillez dans l'autre sens et intégrez, la constante réapparaît multipliée par \(x\). Nous obtenons donc \[\begin{align} dy &= x^n\, dx + b \cdot dx, \\ \int dy &= \int x^n\, dx + \int b\, dx, \\ y &= \frac{1}{n+1} x^{n+1} + bx + C. \end{align}\]

Voici de nombreux exemples sur lesquels essayer vos nouveaux pouvoirs acquis.

Exemples

Tous ceux-ci sont assez faciles. Essayons un autre cas.

Soit \[\begin{align} \dfrac{dy}{dx} &= ax^{-1}. \end{align}\]

En procédant comme précédemment, nous écrirons \[\begin{align} dy &= a x^{-1} \cdot dx,\\ \int dy &= a \int x^{-1}\, dx. \end{align}\]

Eh bien, mais quelle est l'intégrale de \(x^{-1}\, dx\)?

Si vous regardez parmi les résultats de la différenciation de \(x^2\) et \(x^3\) et \(x^n\), etc., vous verrez que nous n'avons jamais obtenu \(x^{-1}\) à partir d'aucun d'eux comme valeur de \(\dfrac{dy}{dx}\). Nous avons obtenu \(3x^2\) à partir de \(x^3\); nous avons obtenu \(2x\) à partir de \(x^2\); nous avons obtenu \(1\) à partir de \(x^1\) (c'est-à-dire, de \(x\) lui-même) ; mais nous n'avons pas obtenu \(x^{-1}\) à partir de \(x^0\), pour deux très bonnes raisons. Premièrement, \(x^0\) est simplement \(= 1\), et c'est une constante, et la dérivée d'une constante est zéro (pas \(x^{-1}\)). Deuxièmement, même si nous le différencions par la Règle de Puissance, sa dérivée serait \(0 \times x^{-1}\), et cette multiplication par zéro lui donne une valeur nulle!² Par conséquent, quand nous essayons maintenant d'intégrer \(x^{-1}\, dx\), nous voyons qu'il n'apparaît nulle part parmi les puissances de \(x\) qui sont données par la règle: \[\int x^n\, dx = \dfrac{1}{n+1} x^{n+1}+C.\] C'est un cas exceptionnel.

Eh bien; mais essayons encore. Parcourez tous les divers dérivés obtenus à partir de diverses fonctions de \(x\), et essayez de trouver parmi eux \(x^{-1}\). Une recherche suffisante montrera que nous avons effectivement obtenu \(\dfrac{dy}{dx} = x^{-1}\) à la suite de la différenciation de la fonction \(y = \ln x\) (voir ici).

Puis, bien sûr, puisque nous savons que différencier \(\ln x\) nous donne \(x^{-1}\), nous savons qu'en inversant le processus, intégrer \(dy = x^{-1}\, dx\) nous donnera \(y = \ln x\). Mais nous ne devons pas oublier le facteur constant \(a\) qui était donné, ni omettre d'ajouter la constante indéterminée d'intégration. Cela nous donne alors comme solution au problème actuel \[y = a \ln x + C.\] La formule ci-dessus n'est pas acceptable lorsque \(x\) est négatif car les logarithmes de nombres négatifs sont imaginaires. Maintenant, la question est : Quelle fonction, lorsqu'elle est différenciée, donne \(x^{-1}\) lorsque \(x<0\)? Lorsque \(x<0\), nous pouvons prendre le logarithme de \(-x\) car \(-x>0\). Voyons ce que donne la dérivée de \(\ln(-x)\). Pour différencier \(\ln(-x)\), posons \(u=-x\) puis appliquons la Règle de la chaîne: \[\begin{align} \frac{d(\ln(-x))}{dx}&=\frac{d(\ln u)}{du}\cdot\frac{du}{dx}\\ &=\frac{1}{u}\times (-1)\\ &=\frac{1}{-x}\times(-1)\\ &=\frac{1}{x} \end{align}\] Ainsi \[\dfrac{d(\ln(-x))}{dx}=\frac{1}{x} \qquad\text{quand }x<0.\] Puisque différencier \(\ln(-x)\) nous donne \(x^{-1}\) pour \(x<0\), intégrer \(dy=x^{-1}dx\) pour \(x<0\) nous donnera \(y=\ln(-x)\). En sachant cela, nous pouvons écrire \[\int \frac{1}{x}dx=\left\{\begin{align} &\ln x+C_1 &&\text{si }x>0\\ &\ln(-x)+C_2 &&\text{si }x<0 \end{align}\right.\] où \(C_1\) et \(C_2\) sont deux constantes arbitraires qui ne doivent pas être égales. Pour tout intervalle ne contenant pas \(x=0\), nous pouvons combiner ces deux cas et écrire \[\int\frac{a}{x}dx=a\ln|x|+C.\]

En résumé \[\bbox[5px,border:1px solid black;background-color:#f2f2f2]{\displaystyle \int{x^n dx}=\left\{\begin{align} &\frac{1}{n+1}x^{n+1}+C &&(n\neq -1)\\[9pt] &\ln|x|+C && (n=-1) \end{align}\right.}\]

Remarque—Remarquez ici ce fait très remarquable, que nous n'aurions pas pu intégrer dans le cas ci-dessus si nous n'avions pas su la différenciation correspondante. Si personne n'avait découvert que différencier \(\ln x\) donnait \(x^{-1}\), nous serions restés complètement bloqués par le problème de savoir comment intégrer \(x^{-1}\, dx\). En effet, il faut admettre franchement que c'est l'une des particularités curieuses du calcul intégral:—que vous ne pouvez pas intégrer quoi que ce soit avant que le processus inverse de différenciation de quelque chose d'autre n'ait donné cette expression que vous souhaitez intégrer. Personne, même aujourd'hui, n'est capable de trouver l'intégrale générale de l'expression, \[\frac{dy}{dx} = a^{-x^2},\] parce que \(a^{-x^2}\) n'a jamais été trouvé comme résultat de la différenciation de quoi que ce soit d'autre.

Un autre cas simple:

D'autres Intégrales

Maintenant que nous savons que l'intégration est l'inverse de la différenciation, nous pouvons dès lors consulter les dérivées que nous connaissons déjà, et voir à partir de quelles fonctions elles ont été dérivées. Cela nous donne les intégrales suivantes déjà faites : \begin{align} &\boldsymbol{y} && &&   \int \boldsymbol{y\, dx}      && \\   \hline\\ &x^{-1}; &&\qquad &&  \int x^{-1}\, dx      &&= \ln |x| + C. \\ % %\label{intex2} &\frac{1}{x+a}; && &&  \int \frac{1}{x+a}\, dx &&= \ln |x+a| + C. \\ % &e^x; && &&  \int e^x\, dx    &&= e ^x + C. \\ % &e^{-x}; &&&&  \int e^{-x}\, dx &&= -e^{-x} + C % \end{align} (car si \(y = - \dfrac{1}{e^x}\),\(\dfrac{dy}{dx} = -\dfrac{e^x \times 0 - 1 \times e^x}{e^{2x}} = e^{-x}\)). \begin{align} &\sin x; &&  &&  \int \sin x\, dx        &&= -\cos x + C. \\ % &\cos x; &&  &&  \int \cos x\, dx        &&= \sin x + C. \\ \end{align} De plus, nous pouvons déduire ce qui suit : \[\begin{align} &\ln x; &&&& \int\ln x\, dx &&= x(\ln x - 1) + C \end{align}\] (car si \(y = x \ln x - x\),\(\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{x}{x} + \ln x - 1 = \ln x\)). \[\begin{align} &\log_{10} x; &&&& \int\log_{10} x\, dx &&= \frac{1}{\ln 10} x (\ln x - 1) + C. \end{align}\] (car \(\displaystyle \log_{10}x=\frac{\ln x}{\ln 10}\) et \(\displaystyle \int \ln x\, dx=x(\ln x-1)+\text{quelque constante}\)) \\begin{align} &a^x; &&  &&  \int a^x\, dx        &&= \dfrac{a^x}{\ln a} + C. \\ % % \label{cosax} &\cos ax; &&&& \int\cos ax\, dx     &&= \frac{1}{a} \sin ax + C \end{align} (car si \(y = \sin ax\), \(\dfrac{dy}{dx} = a \cos ax\); donc pour obtenir \(\cos ax\) il faut différencier \(y = \dfrac{1}{a} \sin ax\)). \[\begin{align} &\sin ax; &&&& \int\sin ax\, dx &&= -\frac{1}{a} \cos ax + C. \end{align}\]

Essayez aussi \(\cos^2\theta\); une petite astuce simplifiera les choses : \[\begin{gathered} \cos 2\theta = \cos^2\theta - \sin^2\theta = {2\cos^2 \theta - 1}; \end{gathered}\] donc \[\begin{gathered} \cos^2\theta = \frac{1}{2}({\cos 2\theta + 1}), \end{gathered}\]

et \[\begin{align} \int\cos^2 \theta\, d\theta &= \frac{1}{2} \int (\cos 2\theta + 1)\, d\theta \\ &= \frac{1}{2} \int \cos 2 \theta\, d\theta + \frac{1}{2} \int d\theta. \\ &= \frac{\sin 2\theta}{4} + \frac{\theta}{2} + C. \end{align}\] (voir aussi ici).

Voir également la Tableau des Formes Standard. Vous devriez créer un tel tableau pour vous-même, en y mettant uniquement les fonctions générales que vous avez réussi à différencier et à intégrer. Assurez-vous qu'il grandit régulièrement!

Exercices