Intégration

Le grand secret a déjà été révélé que ce symbole mystérieux \(\displaystyle \int\), qui est après tout seulement un long \(S\), signifie simplement "la somme de", ou "la somme de toutes ces quantités comme". Il ressemble donc à cet autre symbole \(\sum\) (le Grec Sigma), qui est aussi un signe de sommation. Cependant, il y a cette différence dans la pratique des mathématiciens quant à l'utilisation de ces signes, que tandis que \(\sum\) est généralement utilisé pour indiquer la somme d'un certain nombre de quantités finies, le signe intégral \(\displaystyle \int\) est généralement utilisé pour indiquer la sommation d'un grand nombre de petites quantités d'une magnitude indéfiniment minuscule, de simples éléments en fait, qui composent le total requis. Ainsi \(\displaystyle \int dy = y\), et \(\displaystyle \int dx = x\).

Tout le monde peut comprendre comment l'ensemble de n'importe quoi peut être conçu comme étant constitué de nombreux petits morceaux ; et plus les morceaux sont petits, plus il y en aura. Ainsi, une ligne d'un pouce de long peut être conçue comme constituée de \(10\) pièces, chacune d'\(\frac{1}{10}\) de pouce de long ; ou de \(100\) parties, chaque partie étant \(\frac{1}{100}\) de pouce de long ; ou de \(1,000,000\) parties, chacune d'elles mesurant \(\frac{1}{1,000,000}\) de pouce de long ; ou, poussant la pensée aux limites du concevable, elle peut être considérée comme constituée d'un nombre infini d'éléments dont chacun est infiniment petit.

Oui, direz-vous, mais à quoi cela sert-il de penser à quelque chose de cette manière ? Pourquoi ne pas y penser directement, dans son ensemble ? La simple raison est qu'il y a un grand nombre de cas où l'on ne peut pas calculer la grandeur de la chose dans son ensemble sans comptabiliser la somme de nombreux petits morceaux. Le processus de "l'intégration" permet de calculer des totaux que nous serions autrement incapables d'estimer directement.

Examinons d'abord un ou deux cas simples pour nous familiariser avec cette notion de cumul de nombreuses parties séparées.

Considérons la série : \[1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + \frac{1}{32} + \frac{1}{64} + \cdots\]

Ici, chaque terme de la série est formé en prenant la moitié de la valeur du précédent. Quelle est la valeur totale si nous pouvions continuer à un nombre infini de termes ? La réponse est \(2\). Pensez-y, si vous voulez, comme une ligne. Commencez avec

un pouce ; ajoutez un demi-pouce, ajoutez un quart ; ajoutez un huitième ; et ainsi de suite. Si à un moment donné de l'opération nous nous arrêtons, il restera encore une pièce manquante pour compléter l'ensemble de \(2\) pouces ; et la pièce manquante aura toujours la même taille que la dernière pièce ajoutée. Ainsi, si après avoir rassemblé \(1\), \(\frac{1}{2}\), et \(\frac{1}{4}\), nous nous arrêtons, il manquera \(\frac{1}{4}\) . Si nous continuons jusqu'à avoir ajouté \(\frac{1}{64}\), il manquera encore \(\frac{1}{64}\). Le reste nécessaire sera toujours égal au dernier terme ajouté. Ce n'est qu'après un nombre infini d'opérations que nous atteindrions les \(2\) pouces réels. Pratiquement, nous y parviendrions lorsque nous obtenons des morceaux si petits qu'ils ne peuvent pas être dessinés—cela serait après environ \(10\) termes, car le onzième terme est \(\frac{1}{1024}\). Si nous voulons aller aussi loin que même les instruments de mesure les plus avancés ne le détecteraient pas, nous aurions simplement besoin d'aller à environ \(40\) termes. Un microscope optique typique ne montrerait même pas le \(18^{\text{th}}\) terme ! Alors, le nombre infini d'opérations n'est finalement pas une chose si terrible. L'intégrale est simplement l'ensemble du lot. Mais, comme nous le verrons, il existe des cas où le calcul intégral nous permet de parvenir au total exact qui résulterait d'un nombre infini d'opérations. Dans de tels cas, le calcul intégral nous offre une méthode rapide et facile d'obtenir un résultat qui, autrement, nécessiterait un ensemble interminable de travaux élaborés. Alors nous ferions mieux de ne pas perdre de temps à apprendre comment intégrer.

Pentes des Courbes, et les Courbes Elles-Mêmes

Faisons une petite enquête préliminaire sur les pentes des courbes. Car nous avons vu que différencier une courbe signifie trouver une expression pour sa pente (ou pour ses pentes à différents points). Pouvons-nous effectuer le processus inverse de reconstruction de la courbe entière si la pente (ou les pentes) nous est prescrite ?

Revenons à l'Exemple [Case2]. Ici, nous avons la plus simple des courbes, une ligne en pente avec l'équation \[y = ax+b.\]

Nous savons qu'ici \(b\) représente la hauteur initiale de \(y\) quand \(x= 0\), et que \(a\), qui est le même que \(\dfrac{dy}{dx}\), est la pente de la ligne. La ligne a une pente constante. Tout le long, les triangles élémentaires

ont la même proportion entre hauteur et base. Supposons que nous prenions les \(dx\), et \(dy\) de magnitude finie, de sorte que \(10\) \(dx\) fasse un pouce, alors il y aurait dix petits triangles comme

Maintenant, supposons que nous étions chargés de reconstruire la "courbe", en partant simplement de l'information que \(\dfrac{dy}{dx} = a\). Que pourrions-nous faire ? Toujours en prenant les \(d\)’s de taille finie, nous pourrions en dessiner \(10\) tous avec la même pente, puis les assembler, bord à bord, comme ceci :

Et, comme la pente est la même pour tous, ils se rejoindraient pour former, comme dans la figure ci-dessus, une ligne en pente avec la pente correcte \(\dfrac{dy}{dx} = a\). Et qu'ils prennent les \(dy\) et \(dx\) de taille finie ou infiniment petite, comme ils sont tous semblables, clairement \(\dfrac{y}{x} = a\), si nous comptons \(y\) comme le total de tous les \(dy\), et \(x\) comme le total de tous les \(dx\). Mais où devons-nous placer cette ligne en pente ? Sommes-nous censés commencer à l'origine \(O\), ou plus haut ? Comme la seule information dont nous disposons concerne la pente, nous n'avons aucune instruction concernant la hauteur particulière au-dessus de \(O\) ; en fait, la hauteur initiale est indéterminée. La pente sera la même, quelle que soit la hauteur initiale. Faisons donc une tentative sur ce qui pourrait être nécessaire et commençons la ligne en pente à une hauteur \(C\) au-dessus de \(O\). C'est-à-dire, nous avons l'équation \[y = ax + C.\]

Il devient évident maintenant que dans ce cas la constante ajoutée signifie la valeur particulière que \(y\) a lorsque \(x = 0\).

Maintenant prenons un cas plus difficile, celui d'une ligne, dont la pente n'est pas constante, mais tourne de plus en plus. Supposons que la pente ascendante devienne de plus en plus grande en proportion à mesure que \(x\) grandit. En symboles cela est : \[\frac{dy}{dx} = ax.\] Ou, pour donner un cas concret, prenons \(a = \frac{1}{5}\), de sorte que \[\frac{dy}{dx} = \frac{1}{5} x.\]

Nous ferions bien de commencer par calculer quelques-unes des valeurs de la pente à différentes valeurs de \(x\), et également de dessiner de petits diagrammes de celles-ci.

Quand

\(x=0\)	\(\dfrac{dy}{dx}=0\)
\(x=1\)	\(\dfrac{dy}{dx}=0.2\)
\(x=2\)	\(\dfrac{dy}{dx}=0.4\)
\(x=3\)	\(\dfrac{dy}{dx}=0.6\)
\(x=4\)	\(\dfrac{dy}{dx}=0.8\)
\(x=5\)	\(\dfrac{dy}{dx}=1.0\)

Essayez maintenant de joindre les morceaux ensemble, en plaçant chacun de sorte que le milieu de sa base soit à la bonne distance à droite, et de sorte qu'ils s'ajustent aux angles ; ainsi (voir la figure suivante). Le résultat n'est évidemment pas une courbe lisse : mais c'est une approximation de l'une.

Si nous avions pris des morceaux deux fois plus courts et deux fois plus nombreux, comme dans la figure suivante, nous obtiendrions une meilleure approximation. Mais pour une courbe parfaite, nous devrions prendre chaque \(dx\) et son \(dy\) correspondant infiniment petits, et infiniment nombreux.

Alors, combien devrait valoir tout \(y\)? Évidemment, à tout point \(P\) de la courbe, la valeur de \(y\) sera la somme de tous les petits \(dy\) de \(0\) à ce niveau, c'est-à-dire \(\displaystyle \int dy = y\). Et comme chaque \(dy\) est égal à \(\frac{1}{5}x \cdot dx\), il s'ensuit que l'ensemble \(y\) sera égal à la somme de tous ces morceaux comme \(\frac{1}{5}x \cdot dx\), ou, comme nous l'écririons, \(\displaystyle \int \frac{1}{5}x \cdot dx\).

Maintenant, si \(x\) avait été constant, \(\displaystyle \int \frac{1}{5}x \cdot dx\) aurait été le même que \(\frac{1}{5} x \int dx\), ou \(\frac{1}{5}x^2\). Mais \(x\) commence par être \(0\), et augmente jusqu'à la valeur particulière de \(x\) au point \(P\), de sorte que sa valeur moyenne de \(0\) à ce point est \(\frac{1}{2}x\). Par conséquent \(\displaystyle \int \frac{1}{5} x\, dx = \frac{1}{10} x^2\); ou \(y=\frac{1}{10}x^2\).

Mais, comme dans le cas précédent, cela nécessite l'ajout d'une constante indéterminée \(C\), parce que nous n'avons pas été informés à quelle hauteur par rapport à l'origine la courbe commencera, lorsque \(x = 0\). Alors nous écrivons, comme l'équation de la courbe tracée ci-dessous, \[y = \frac{1}{10}x^2 + C.\]

Exercices

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