Fractions Partielles. Dérivée d'une Fonction Inverse

Fractions partielles

Nous avons vu que lorsque nous dérivons une fraction, nous devons effectuer une opération assez compliquée ; et, si la fraction n'est pas elle-même simple, le résultat sera forcément une expression compliquée. Si nous pouvions décomposer la fraction en deux ou plusieurs fractions plus simples telles que leur somme soit équivalente à la fraction originale, nous pourrions alors procéder en dérivant chacune de ces expressions plus simples. Et le résultat de la différenciation serait la somme de deux (ou plus) dérivées, chacune étant relativement simple ; tandis que l'expression finale, bien sûr identique à celle qui pourrait être obtenue sans recourir à cette astuce, est ainsi obtenue avec beaucoup moins d'effort et apparaît sous une forme simplifiée.

Voyons comment atteindre ce résultat. Essayez d'abord d'additionner deux fractions ensemble pour former une fraction résultante. Prenons, par exemple, les deux fractions $\frac{1}{x + 1}$ et $\frac{2}{x - 1}$ . Chaque étudiant peut les additionner et trouver leur somme qui est $\frac{3 x + 1}{x^{2} - 1}$ . Et de la même manière, ils peuvent additionner ensemble trois fractions ou plus. Maintenant, ce processus peut certainement être inversé : c'est-à-dire que si cette dernière expression était donnée, il est certain qu'elle peut être décomposée en ses composants originaux ou fractions partielles. Seulement, nous ne savons pas dans chaque cas qui pourrait nous être présenté comment nous pouvons la décomposer ainsi. Pour découvrir cela, nous allons d'abord considérer un cas simple. Mais il est important de garder à l'esprit que tout ce qui suit ne s'applique qu'à ce qu'on appelle des fractions algébriques « propres », c'est-à-dire des fractions comme ci-dessus dont le numérateur est de degré inférieur au dénominateur ; c'est-à-dire celles dans lesquelles l'indice le plus élevé de $x$ est moindre dans le numérateur que dans le dénominateur. Si nous devons gérer une expression telle que $\frac{x^{2} + 2}{x^{2} - 1}$ , nous pouvons la simplifier par division, car elle équivaut à $1 + \frac{3}{x^{2} - 1}$ ; et $\frac{3}{x^{2} - 1}$ est une fraction algébrique propre à laquelle l'opération de décomposition en fractions partielles peut être appliquée, comme expliqué ci-après.

Cas I : Lorsque les facteurs du dénominateur sont tous de premier degré $(𝒂 𝒙 + 𝒃)$ et aucun répété

Si nous réalisons de nombreuses additions de deux ou plusieurs fractions dont les dénominateurs ne contiennent que des termes en $x$ , et aucun terme en $x^{2}$ , $x^{3}$ , ou toute autre puissance de $x$ , nous constatons toujours que le dénominateur de la fraction résultante finale est le produit des dénominateurs des fractions qui ont été ajoutées pour former le résultat. Il en résulte qu'en factorisant le dénominateur de cette fraction finale, nous pouvons trouver chacun des dénominateurs des fractions partielles que nous recherchons.

Exemple 13.1. Supposons que nous souhaitions revenir de $\frac{3 x + 1}{x^{2} - 1}$ aux composants que nous savons être $\frac{1}{x + 1}$ et $\frac{2}{x - 1}$ . Si nous ne savions pas quels étaient ces composants, nous pouvons tout de même préparer le terrain en écrivant : $\frac{3 x + 1}{x^{2} - 1} = \frac{3 x + 1}{(x + 1) (x - 1)} = \frac{}{x + 1} + \frac{}{x - 1},$ en laissant vides les places pour les numérateurs jusqu'à ce que nous sachions quoi y mettre. Nous pouvons toujours supposer que le signe entre les fractions partielles est plus, puisque, s'il est moins, nous trouverons simplement le numérateur correspondant à être négatif. Maintenant, puisque les fractions partielles sont des fractions propres, les numérateurs sont de simples nombres sans $x$ du tout, et nous pouvons les appeler $A$ , $B$ , $C \dots$ comme nous le souhaitons. Donc, dans ce cas, nous avons : $\frac{3 x + 1}{x^{2} - 1} = \frac{A}{x + 1} + \frac{B}{x - 1} .$

Si maintenant nous effectuons l'addition de ces deux fractions partielles, nous obtenons $\frac{A (x - 1) + B (x + 1)}{(x + 1) (x - 1)}$ ; et cela doit être égal à $\frac{3 x + 1}{(x + 1) (x - 1)}$ . Et, comme les dénominateurs de ces deux expressions sont les mêmes, les numérateurs doivent être égaux, ce qui nous donne : $3 x + 1 = A (x - 1) + B (x + 1) .$

Maintenant, c'est une équation avec deux quantités inconnues, et il semblerait que nous ayons besoin d'une autre équation avant de pouvoir les résoudre et trouver $A$ et $B$ . Mais il y a un autre moyen de sortir de cette difficulté. L'équation doit être vraie pour toutes les valeurs de $x$ ; par conséquent, elle doit être vraie pour des valeurs de $x$ qui feront que $x - 1$ et $x + 1$ deviennent zéro, c'est-à-dire pour $x = 1$ et pour $x = - 1$ respectivement. Si nous faisons $x = 1$ , nous obtenons $4 = (A \times 0) + (B \times 2)$ , de sorte que $B = 2$ ; et si nous faisons $x = - 1$ , nous obtenons $- 2 = (A \times - 2) + (B \times 0)$ , de sorte que $A = 1$ . Remplaçant le $A$ et $B$ des fractions partielles par ces nouvelles valeurs, nous trouvons qu'elles deviennent $\frac{1}{x + 1}$ et $\frac{2}{x - 1}$ ; et le tour est joué.

Exemple 13.2. Comme autre exemple, prenons la fraction $\frac{4 x^{2} + 2 x - 14}{x^{3} + 3 x^{2} - x - 3}$ .

Le dénominateur devient zéro lorsque $x$ prend la valeur $1$ ; d'où $x - 1$ est un facteur de celui-ci, et évidemment alors l'autre facteur sera $x^{2} + 4 x + 3$ ;¹ et cela peut à nouveau être décomposé en $(x + 1) (x + 3)$ . Nous pouvons donc écrire la fraction ainsi : $\frac{4 x^{2} + 2 x - 14}{x^{3} + 3 x^{2} - x - 3} = \frac{A}{x + 1} + \frac{B}{x - 1} + \frac{C}{x + 3},$ ce qui fait trois facteurs partiels.

En procédant comme précédemment, nous trouvons $4 x^{2} + 2 x - 14 = A (x - 1) (x + 3) + B (x + 1) (x + 3) + C (x + 1) (x - 1) .$

Maintenant, si nous faisons $x = 1$ , nous obtenons : -8 = (A \times 0) + B(2 \times 4) + (C \times 0);\quad \text{c'est-à-dire, } B = -1.

Si $x = - 1$ , nous obtenons : -12 = A(-2 \times 2) + (B \times 0) + (C \times 0);\quad d'où } A = 3.

Si $x = - 3$ , nous obtenons : 16 = (A \times 0) + (B \times 0) + C(-2 \times -4);\quad d'où } C = 2.

Alors les fractions partielles sont : $\frac{3}{x + 1} - \frac{1}{x - 1} + \frac{2}{x + 3},$ ce qui est bien plus facile à dériver par rapport à $x$ que l'expression complexe dont elle est dérivée.

Cas II : Lorsque le dénominateur contient des facteurs de second degré² $(𝒂 𝒙^{2} + 𝒃 𝒙 + 𝒄)$ et aucun répété

Si certains des facteurs du dénominateur contiennent des termes en $x^{2}$ , et ne sont pas commodément mis en facteurs, alors le numérateur correspondant peut contenir un terme en $x$ , ainsi qu'un nombre simple ; et il devient donc nécessaire de représenter ce numérateur inconnu non pas par le symbole $A$ mais par $A x + B$ ; le reste du calcul étant effectué comme précédemment.

Exemple 13.3. Prenez, par exemple : $\begin{matrix} \frac{- x^{2} - 3}{(x^{2} + 1) (x + 1)} . \\ \frac{- x^{2} - 3}{(x^{2} + 1) (x + 1)} = \frac{A x + B}{x^{2} + 1} + \frac{C}{x + 1}; \\ - x^{2} - 3 = (A x + B) (x + 1) + C (x^{2} + 1) . \end{matrix}$

En posant $x = - 1$ , nous obtenons $- 4 = C \times 2$ ; et $C = - 2$ ;

d'où $- x^{2} - 3 = (A x + B) (x + 1) - 2 x^{2} - 2;$ et $x^{2} - 1 = A x (x + 1) + B (x + 1) .$

En posant $x = 0$ , nous obtenons $- 1 = B$ ;
d'où $x^2 - 1 = Ax(x + 1) - x - 1;\quad ou } x^2 + x = Ax(x+1);$ et $x + 1 = A (x + 1),$ de sorte que $A = 1$ , et les fractions partielles sont : $\frac{x - 1}{x^{2} + 1} - \frac{2}{x + 1} .$

Exemple 13.4. Prenons comme autre exemple la fraction $\frac{x^{3} - 2}{(x^{2} + 1) (x^{2} + 2)} .$

Nous obtenons \begin{align} \frac{x^3-2}{(x^2+1)(x^2+2)} &= \frac{Ax+B}{x^2+1} + \frac{Cx+D}{x^2+2}\\ &= \frac{(Ax+B)(x^2+2)+(Cx+D)(x^2+1)}{(x^2+1)(x^2+2)}. \end{align}

Dans ce cas, la détermination de $A$ , $B$ , $C$ , $D$ n'est pas si facile. Il sera plus simple de procéder comme suit : Étant donné que la fraction donnée et la fraction obtenue en ajoutant les fractions partielles sont égales, et ont des dénominateurs identiques, les numérateurs doivent également être identiquement les mêmes. Dans un tel cas, et pour les expressions algébriques comme celles dont nous traitons ici, les coefficients des mêmes puissances de $x$ sont égaux et de même signe.

D'où, puisque \begin{align} x^3-2 &= (Ax+B)(x^2+2) + (Cx+D)(x^2+1) \\ &= (A+C)x^3 + (B+D)x^2+(2A+C)x+2B+D, \end{align} nous avons $1 = A + C$ ; $0 = B + D$ (le coefficient de $x^{2}$ dans l'expression de gauche étant zéro) ; $0 = 2 A + C$ ; et $- 2 = 2 B + D$ . Voici quatre équations, à partir desquelles nous obtenons facilement $A = - 1$ ; $B = - 2$ ; $C = 2$ ; $D = 0$ ; de sorte que les fractions partielles sont $\frac{2 (x + 1)}{x^{2} + 2} - \frac{x + 2}{x^{2} + 1}$ . Cette méthode peut toujours être utilisée ; mais la méthode montrée en premier sera trouvée la plus rapide dans le cas de facteurs en $x$ seulement.

Cas III : Lorsque le dénominateur contient des facteurs de premier ou de second degré et que certains sont répétés

Lorsque, parmi les facteurs du dénominateur, il y en a qui sont élevés à une certaine puissance, il faut tenir compte de l'existence possible de fractions partielles ayant pour dénominateur les différentes puissances de ce facteur jusqu'à la plus haute.

Exemple 13.5. En décomposant la fraction $\frac{3 x^{2} - 2 x + 1}{(x + 1)^{2} (x - 2)}$ , il faut tenir compte de l'existence possible d'un dénominateur $x + 1$ ainsi que $(x + 1)^{2}$ et $(x - 2)$ .

On peut penser, cependant, que, puisque le numérateur de la fraction dont le dénominateur est $(x + 1)^{2}$ peut contenir des termes en $x$ , nous devons en tenir compte en écrivant $A x + B$ pour son numérateur, de sorte que $\frac{3 x^{2} - 2 x + 1}{(x + 1)^{2} (x - 2)} = \frac{A x + B}{(x + 1)^{2}} + \frac{C}{x + 1} + \frac{D}{x - 2} .$ Cependant, si nous essayons de trouver $A$ , $B$ , $C$ et $D$ dans ce cas, nous échouons, car nous obtenons quatre inconnues ; et nous avons seulement trois relations les liant, cependant $\frac{3 x^{2} - 2 x + 1}{(x + 1)^{2} (x - 2)} = \frac{x - 1}{(x + 1)^{2}} + \frac{1}{x + 1} + \frac{1}{x - 2} .$

Mais si nous écrivons $\frac{3 x^{2} - 2 x + 1}{(x + 1)^{2} (x - 2)} = \frac{A}{(x + 1)^{2}} + \frac{B}{x + 1} + \frac{C}{x - 2},$ nous obtenons $3 x^{2} - 2 x + 1 = A (x - 2) + B (x + 1) (x - 2) + C (x + 1)^{2},$ ce qui donne $C = 1$ pour $x = 2$ . Remplaçant $C$ par sa valeur, transposant, regroupant les termes semblables et en divisant par $x - 2$ , nous obtenons $- 2 x = A + B (x + 1)$ , ce qui donne $A = - 2$ pour $x = - 1$ . Remplaçant $A$ par sa valeur, nous obtenons $2 x = - 2 + B (x + 1) .$

D'où $B = 2$ ; de sorte que les fractions partielles sont : $\frac{2}{x + 1} - \frac{2}{(x + 1)^{2}} + \frac{1}{x - 2},$ au lieu de $\dfrac{1}{x+1} + \dfrac{x-1}{(x+1)^2}} + \dfrac{1}{x-2}$ énoncé ci-dessus comme étant les fractions à partir desquelles $\frac{3 x^{2} - 2 x + 1}{(x + 1)^{2} (x - 2)}$ a été obtenue. Le mystère se dissipe si l'on observe que $\frac{x - 1}{(x + 1)^{2}}$ peut elle-même être décomposée en deux fractions $\frac{1}{x + 1} - \frac{2}{(x + 1)^{2}}$ , de sorte que les trois fractions données sont vraiment équivalentes à $\frac{1}{x + 1} + \frac{1}{x + 1} - \frac{2}{(x + 1)^{2}} + \frac{1}{x - 2} = \frac{2}{x + 1} - \frac{2}{(x + 1)^{2}} + \frac{1}{x - 2},$ qui sont les fractions partielles obtenues.

Comme on peut le voir dans l'exemple précédent, il suffit de prévoir un seul terme numérique dans chaque numérateur, et l'on obtient toujours les fractions partielles finales.

Lorsque le dénominateur contient une puissance d'un facteur de $x^{2}$ , cependant, les numérateurs correspondants doivent être de la forme $A x + B$ .

Exemple 13.6. $\frac{3 x - 1}{(2 x^{2} - 1)^{2} (x + 1)} = \frac{A x + B}{(2 x^{2} - 1)^{2}} + \frac{C x + D}{2 x^{2} - 1} + \frac{E}{x + 1},$

ce qui donne $3 x - 1 = (A x + B) (x + 1) + (C x + D) (x + 1) (2 x^{2} - 1) + E (2 x^{2} - 1)^{2} .$

Pour $x = - 1$ , cela donne $E = - 4$ . Remplaçant, transposant, collectant les termes semblables, et en divisant par $x + 1$ , nous obtenons $16 x^{3} - 16 x^{2} + 3 = 2 C x^{3} + 2 D x^{2} + x (A - C) + (B - D) .$

D'où $2 C = 16$ et $C = 8$ ; $2 D = - 16$ et $D = - 8$ ; $A - C = 0$ ou $A - 8 = 0$ et $A = 8$ , et enfin, $B - D = 3$ ou $B = - 5$ . Ainsi nous obtenons comme fractions partielles : $\frac{(8 x - 5)}{(2 x^{2} - 1)^{2}} + \frac{8 (x - 1)}{2 x^{2} - 1} - \frac{4}{x + 1} .$

Il est utile de vérifier les résultats obtenus. La manière la plus simple est de remplacer $x$ par une valeur unique, disons $+ 1$ , à la fois dans l'expression donnée et dans les fractions partielles obtenues.

Chaque fois que le dénominateur contient seulement une puissance d'un seul facteur, une méthode très rapide est la suivante :

Exemple 13.7. Prenons, par exemple, $\frac{4 x + 1}{(x + 1)^{3}}$ , posons $x + 1 = z$ ; alors $x = z - 1$ .

En remplaçant, nous obtenons $\frac{4 (z - 1) + 1}{z^{3}} = \frac{4 z - 3}{z^{3}} = \frac{4}{z^{2}} - \frac{3}{z^{3}} .$

Les fractions partielles sont donc $\frac{4}{(x + 1)^{2}} - \frac{3}{(x + 1)^{3}} .$

Application des fractions partielles à la dérivation

Si l'on souhaite dériver $y = \frac{5 - 4 x}{6 x^{2} + 7 x - 3}$ ; nous avons \begin{align} \frac{dy}{dx} &= -\frac{(6x^2+7x-3) \times 4 + (5 - 4x)(12x + 7)}{(6x^2 + 7x - 3)^2}\\ &= \frac{24x^2 - 60x - 23}{(6x^2 + 7x - 3)^2}. \end{align}

Si nous divisons l'expression donnée en $\frac{1}{3 x - 1} - \frac{2}{2 x + 3},$ nous obtenons cependant $\frac{d y}{d x} = - \frac{3}{(3 x - 1)^{2}} + \frac{4}{(2 x + 3)^{2}},$ qui est en réalité le même résultat que ci-dessus divisé en fractions partielles. Mais la division, si elle est faite après la dérivation, est plus complexe, comme cela se verra facilement. Lorsque nous aborderons l'intégration de telles expressions, nous trouverons que la décomposition en fractions partielles est une auxiliaire précieuse (voir ici).

Exercices

Divisez en fractions

Exercice 13.1. $\frac{3 x + 5}{(x - 3) (x + 4)}$ .

Réponse

$\frac{2}{x - 3} + \frac{1}{x + 4}$ .

Solution

\begin{align} \frac{3 x+5}{(x-3)(x+4)}&=\frac{A}{x-3}+\frac{B}{x+4} \\ &=\frac{A(x+4)+B(x-3)}{(x-3)(x+4)} \end{align} $\Rightarrow A (x + 4) + B (x - 3) = 3 x + 5 (*)$

Pour $x = 3$ , nous obtenons $7 A + B \times 0 = 3 \times 3 + 5 = 14$ $\Rightarrow A = 2$

En posant $x = - 4$ dans (*), nous obtenons $0 \times A - 7 B = - 12 + 5 = - 7$ $\Rightarrow B = 1$ Donc $\frac{3 x + 5}{(x - 3) (x + 4)} = \frac{2}{x - 3} + \frac{1}{x + 4}$

Exercice 13.2. $\frac{3 x - 4}{(x - 1) (x - 2)}$ .

Réponse

$\frac{1}{x - 1} + \frac{2}{x - 2}$ .

Solution

$\frac{3 x - 4}{(x - 1) (x - 2)} = \frac{A}{x - 1} + \frac{B}{x - 2}$

$\Rightarrow 3 x - 4 = A (x - 2) + B (x - 1) (*)$

En posant $x = 1$ dans (*), nous obtenons $- 1 = A (- 1) + B \times 0$ $\Rightarrow A = 1$

En posant $x = 2$ dans (*), nous obtenons $3 \times 2 - 4 = A \times 0 + B$ $\Rightarrow B = 2$

Donc,

$\frac{3 x - 4}{(x - 1) (x - 2)} = \frac{1}{x - 1} + \frac{2}{x - 2}$

Exercice 13.3. $\frac{3 x + 5}{x^{2} + x - 12} . < d e t a i l s >< s u m m a r y > R é p o n s e < / s u m m a r y > \(\frac{2}{x - 3} + \frac{1}{x + 4}$ .

Solution

$\frac{3 x + 5}{x^{2} + x - 12}$

Puisque $x^{2} + x - 12 = (x + 4) (x - 3)$ , nous écrivons

$\frac{3 x + 5}{x^{2} + x - 12} = \frac{A}{x + 4} + \frac{B}{x - 3}$ $\Rightarrow 3 x + 5 = A (x - 3) + B (x + 4) (*)$

En posant $x = - 4$ dans (*), nous obtenons

$- 7 = A (- 7) \Rightarrow A = 1$

En posant $x = 3$ dans (*), nous obtenons

$\begin{matrix} 14 = A \times 0 + 7 B \\ \Rightarrow B = 2 \end{matrix}$ $\frac{3 x + 5}{x^{2} + x - 12} = \frac{1}{x + 4} + \frac{2}{x - 3} .$

Exercice 13.4. $\dfrac{x + 1}{x^2 - 7x + 12}.<details> <summary>Réponse</summary>\(\dfrac{5}{ x - 4} - \dfrac{4}{ x - 3}. </details> <details> <summary>Solution</summary> ___MATH_BLOCK_54___Comme \(x^{2}-7 x+12=(x-4)(x-3)$ $\frac{x + 1}{x^{2} - 7 x + 12} = \frac{A}{x - 4} + \frac{B}{x - 3}$ $\Rightarrow x + 1 = A (x - 3) + B (x - 4) (*)$

En posant $x = 4$ dans (*), nous obtenons $5 = A + 0 \Rightarrow A = 5$

En posant $x = 3$ dans (*), nous obtenons $4 = 0 - B \Rightarrow B = - 4$

Donc,

$\frac{x + 1}{x^{2} - 7 x + 12} = \frac{5}{x - 4} - \frac{4}{x - 3}$

Exercice 13.5. $\dfrac{x - 8}{(2x + 3)(3x - 2)}.<details> <summary>Réponse</summary>\(\dfrac{19}{13(2x + 3)} - \dfrac{22}{13(3x - 2)}. </details> <details> <summary>Solution</summary> ___MATH_BLOCK_60___ ___MATH_BLOCK_61___En posant \(x=-\frac{3}{2}$ dans (*), nous obtenons

$- \frac{19}{2} = - \frac{13}{2} A + 0$

$\Rightarrow A = \frac{19}{13}$

En posant $x = \frac{2}{3}$ dans (*), nous obtenons

$\begin{matrix} - \frac{22}{3} = A \times 0 + B \times \frac{13}{3} \\ B = - \frac{22}{13} \end{matrix}$

Donc, $\frac{x - 8}{(2 x + 3) (3 x - 2)} = \frac{19}{13 (2 x + 3)} - \frac{22}{13 (3 x - 2)} .$

Exercice 13.6. $\dfrac{x^2 - 13x + 26}{(x - 2)(x - 3)(x - 4)}.<details> <summary>Réponse</summary>\(\dfrac{2}{ x - 2} + \dfrac{4}{ x - 3} - \dfrac{5}{ x - 4}. </details> <details> <summary>Solution</summary>___MATH_BLOCK_66___ Donc ___MATH_BLOCK_67___En posant \(x=2$ dans (*), nous obtenons $4 = A (- 1) (- 2) + 0 + 0$ $\Rightarrow A = 2$

En posant $x = 3$ dans (*), nous obtenons

$- 4 = 0 + B (1) (- 1) + 0$ $\Rightarrow B = 4$

En posant $x = 4$ dans (*), nous obtenons

$\begin{matrix} - 10 = 0 + 0 + C (2) (1) \\ \Rightarrow C = - 5 \end{matrix}$

Donc,

$\frac{x^{2} - 13 x + 26}{(x - 2) (x - 3) (x - 4)} = \frac{2}{x - 2} + \frac{4}{x - 3} - \frac{5}{x - 4}$

Exercice 13.7. $\dfrac{x^2 - 3x + 1}{(x - 1)(x + 2)(x - 3)}.<details> <summary>Réponse</summary>\(\dfrac{1}{6(x - 1)} + \dfrac{11}{15(x + 2)} + \dfrac{1}{10(x - 3)}. </details> <details> <summary>Solution</summary>___MATH_BLOCK_74___ Donc, ___MATH_BLOCK_75___En posant \(x=1$ dans (*)

$\begin{matrix} - 1 = A \times 3 \times (- 2) + 0 + 0 \\ A = \frac{1}{6} \end{matrix}$

En posant $x = - 2$ dans (*)

$\begin{matrix} 11 = 0 + B (- 3) (- 5) + 0 \\ B = \frac{11}{15} \end{matrix}$

En posant $x = 3$ dans (*) $\begin{matrix} 1 = 0 + 0 + C (2) (5) \\ C = \frac{1}{10} \end{matrix}$

Ainsi

$\frac{x^{2} - 3 x + 1}{(x - 1) (x + 2) (x - 3)} = \frac{1}{6 (x - 1)} + \frac{11}{15 (x + 2)} + \frac{1}{10 (x - 3)}$

Exercice 13.8. $\dfrac{5x^2 + 7x + 1}{(2x + 1)(3x - 2)(3x + 1)}.<details> <summary>Réponse</summary>\(\dfrac{7}{9(3x + 1)} + \dfrac{71}{63(3x - 2)} - \dfrac{5}{7(2x + 1)}. </details> <details> <summary>Solution</summary> ___MATH_BLOCK_80___ Donc, ___MATH_BLOCK_81___En posant \(x=-\frac{1}{2}$ dans (*), $- \frac{5}{4} = A (- \frac{7}{2}) (- \frac{1}{2}) + 0 + 0$

$\Rightarrow A = - \frac{5}{7}$

En posant $x = \frac{2}{3}$ dans (*)

$\begin{matrix} \frac{71}{9} = 0 + B (\frac{7}{3}) (3) \\ \Rightarrow B = \frac{71}{63} \end{matrix}$

En posant $x = - \frac{1}{3}$ dans (*)

$\begin{matrix} - \frac{7}{9} = 0 + 0 + C (\frac{1}{3}) (- 3) \\ \Rightarrow C = \frac{7}{9} \end{matrix}$

Donc, $\frac{5 x^{2} + 7 x + 1}{(2 x + 1) (3 x - 2) (3 x + 1)} = - \frac{5}{7 (2 x + 1)} + \frac{71}{63 (3 x - 2)} + \frac{7}{9 (3 x + 1)}$

Exercice 13.9. $\frac{x^{2}}{x^{3} - 1}$ .

Réponse

$\frac{1}{3 (x - 1)} + \frac{2 x + 1}{3 (x^{2} + x + 1)}$ .

Solution

$\frac{x^{2}}{x^{3} - 1} = \frac{x^{2}}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} = \frac{A}{x - 1} + \frac{B x + C}{x^{2} + x + 1}$ Il s'ensuit que $x^{2} = A (x^{2} + x + 1) + (B x + C) (x - 1) (*)$ Pour $x = 1$ , nous avons $1 = A (3) + (B + C) (0)$ $\Rightarrow A = \frac{1}{3}$ En substituant $A = \frac{1}{3}$ dans (*), en développant et en réunissant les termes similaires, nous obtenons \begin{align} & x^{2}=\frac{1}{3}\left(x^{2}+x+1\right)+B x^{2}+(C-B) x-C \\ & x^{2}=\left(B+\frac{1}{3}\right) x^{2}+\left(C-B+\frac{1}{3}\right) x-C+\frac{1}{3} \end{align} Donc, nous devons avoir $B + \frac{1}{3} = 1$ , $C - B + \frac{1}{3} = 0$ , et $- C + \frac{1}{3} = 0$ : \begin{align} & B+\frac{1}{3}=1 \Rightarrow B=\frac{2}{3} \\ & C-\frac{2}{3}+\frac{1}{3}=0 \Rightarrow C=\frac{1}{3} \\ & -C+\frac{1}{3}=-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}=0 \quad \text { Vérification } \end{align}

Donc

$\frac{x^{2}}{x^{3} - 1} = \frac{1}{3 (x - 1)} + \frac{\frac{2}{3} x + \frac{1}{3}}{x^{2} + x + 1}$

Exercice 13.10. $\frac{x^{4} + 1}{x^{3} + 1}$ .

Réponse

$x + \frac{2}{3 (x + 1)} + \frac{1 - 2 x}{3 (x^{2} - x + 1)}$ .

Solution

$\frac{x^{4} + 1}{x^{3} + 1}$

Puisque le degré du numérateur est plus grand que le degré du dénominateur, nous n'avons pas une fraction propre. Nous pouvons diviser le numérateur par le dénominateur pour obtenir une fraction propre :

Donc

$\frac{x^{4} + 1}{x^{3} + 1} = x + \frac{1 - x}{x^{3} + 1}$

Comme $x^{3} + 1 = (x + 1) (x^{2} - x + 1)$ , nous écrivons

$\frac{1 - x}{x^{3} + 1} = \frac{A}{x + 1} + \frac{B x + C}{x^{2} - x + 1}$

$1 - x = A (x^{2} - x + 1) + (B x + C) (x + 1) (*)$

En posant $x = - 1$ dans (*), nous obtenons $\begin{matrix} 2 = A (3) + (C - B) (0) \\ \Rightarrow A = \frac{2}{3} \end{matrix}$

Ainsi $1 - x = \frac{2}{3} (x^{2} - x + 1) + B x^{2} + B x + C x + C$ En développant et en regroupant les termes similaires, nous obtenons $(\frac{2}{3} + B) x^{2} + (- \frac{2}{3} + 1 + B + C) x + C + \frac{2}{3} - 1 = 0$ Nous devons avoir $\frac{2}{3} + B = 0$ , $- \frac{2}{3} + 1 + B + C = 0$ , et $C + \frac{2}{3} - 1 = 0$ : \begin{align} \frac{2}{3}+B=0 & \Rightarrow \boxed{B=-\frac{2}{3}} \\ C-\frac{1}{3}=0 & \Rightarrow \boxed{C=\frac{1}{3}} \end{align}

$- \frac{2}{3} + 1 + B + C = - \frac{2}{3} + 1 - \frac{2}{3} + \frac{1}{3} = 0 (vérification)$

Donc

$\frac{x^{4} + 1}{x^{3} + 1} = x + \frac{2}{3 (x + 1)} + \frac{1 - 2 x}{3 (x^{2} - x + 1)}$

Exercice 13.11. $\frac{5 x^{2} + 6 x + 4}{(x + 1) (x^{2} + x + 1)}$ .

Réponse

$\dfrac{3}{(x + 1)} + \dfrac{2x + 1}{x^2 + x + 1}. </details> <details> <summary>Solution</summary> ___MATH_BLOCK_104___ ___MATH_BLOCK_105___Pour \(x=-1$ , nous avons $3 = A (1) + (B x + C) (0)$ $\Rightarrow A = 3$ En substituant $A = 3$ dans (*) cela conduit à \begin{align} 5 x^{2}+6 x+4&=3\left(x^{2}+x+1\right)+B x^{2}+(B+C) x+C \\ & =(3+B) x^{2}+(B+C+3) x+3+C \end{align} \Rightarrow \left\{\begin{align} &3+B=5 \\ &B+C+3=6\\ &3+C=4 \end{align} \right. \Rightarrow \boxed{B=2, C=1}

Donc

$\frac{5 x^{2} + 6 x + 4}{(x + 1) (x^{2} + x + 1)} = \frac{3}{x + 1} + \frac{2 x + 1}{x^{2} + x + 1}$

Exercice 13.12. $\frac{x}{(x - 1) (x - 2)^{2}}$ .

Réponse

$\frac{1}{x - 1} - \frac{1}{x - 2} + \frac{2}{(x - 2)^{2}}$ .

Solution

$\frac{x}{(x - 1) (x - 2)^{2}} = \frac{A}{x - 1} + \frac{B}{x - 2} + \frac{C}{(x - 2)^{2}}$

Pour chaque $x$ , nous devons avoir

$x = A (x - 2)^{2} + B (x - 1) (x - 2) + C (x - 1)$

Pour $x = 1$ ,

\begin{align} & 1=A \times(1-2)^{2}+B \times 0+C \times 0 \\ & \Rightarrow \boxed{A=1} \end{align}

Pour $x = 2$ ,

$2 = 0 + 0 + C \Rightarrow C = 2$

Comme aucune autre valeur de $x$ ne rendra un facteur nul, nous choisissons une valeur pratique de $x$ pour simplifier le calcul. Par exemple, pour $x = 0$ , nous obtenons

$0 = 1 \times (0 - 2)^{2} + B (0 - 1) (0 - 2) + 2 (0 - 1)$

$0 = 4 + 2 B - 2 \Rightarrow B = - 1$

Donc

$\frac{x}{(x - 1) (x - 2)^{2}} = \frac{1}{x - 1} - \frac{1}{x - 2} + \frac{2}{(x - 2)^{2}}$

Exercice 13.13. $\frac{x}{(x^{2} - 1) (x + 1)}$ .

Réponse

$\dfrac{1}{4(x - 1)} - \dfrac{1}{4(x + 1)} + \dfrac{1}{2(x + 1)^2}. </details> <details> <summary>Solution</summary> ___MATH_BLOCK_118___Donc, pour chaque \(x$ , nous devons avoir

$x = A (x + 1)^{2} + B (x - 1) (x + 1) + C (x - 1)$

Pour $x = 1$

$1 = A \times 2^{2} + 0 + 0 \Rightarrow A = \frac{1}{4}$

Pour $x = - 1$

$- 1 = 0 + 0 + C (- 2) \Rightarrow C = \frac{1}{2}$

Pour $x = 0$

$0 = \frac{1}{4} \times (0 + 1)^{2} - B + \frac{1}{2} (- 1) \Rightarrow B = - \frac{1}{4}$

Donc $\frac{x}{(x^{2} - 1) (x + 1)} = \frac{1}{4 (x - 1)} - \frac{1}{4 (x + 1)} + \frac{1}{2 (x + 1)^{2}}$

Exercice 13.14. $\frac{x + 3}{(x + 2)^{2} (x - 1)}$ .

Réponse

$\frac{4}{9 (x - 1)} - \frac{4}{9 (x + 2)} - \frac{1}{3 (x + 2)^{2}}$ .

Solution

$\frac{x + 3}{(x + 2)^{2} (x - 1)} = \frac{A}{x - 1} + \frac{B}{x + 2} + \frac{C}{(x + 2)^{2}}$

Pour tous les $x$ , nous devons avoir

$x + 3 = A (x + 2)^{2} + B (x - 1) (x + 2) + C (x - 1)$

Pour $x = 1$

$4 = 9 A + 0 + 0 \Rightarrow A = \frac{4}{9}$

Pour $x = - 2$

$1 = 0 + 0 + C (- 3) \Rightarrow C = - \frac{1}{3}$

Un choix pratique pour $x$ pour simplifier les calculs est zéro. Mais vous pouvez choisir une autre valeur pour $x$ .

Pour $x = 0$

\begin{align} 3&=\frac{4}{9} \times 4+B(-1)(2)-\frac{1}{3}(-1) \\ & \Rightarrow \boxed{B=-\frac{4}{9}} \end{align}

Par conséquent

$\frac{x + 3}{(x + 2)^{2} (x - 1)} = \frac{4}{9 (x - 1)} - \frac{4}{9 (x + 2)} - \frac{1}{3 (x + 2)^{2}}$

Exercice 13.15. $\frac{3 x^{2} + 2 x + 1}{(x + 2) (x^{2} + x + 1)^{2}}$ .

Réponse

$\frac{1}{x + 2} - \frac{x - 1}{x^{2} + x + 1} - \frac{1}{(x^{2} + x + 1)^{2}}$ .

Solution

$\frac{3 x^{2} + 2 x + 1}{(x + 2) {(x^{2} + x + 1)}^{2}} = \frac{A}{x + 2} + \frac{B x + C}{x^{2} + x + 1} + \frac{D x + E}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Pour tous les $x$ , nous avons $3 x^{2} + 2 x + 1 = A {(x^{2} + x + 1)}^{2} + (B x + E) (x^{2} + x + 1) (x + 2) + (D x + E) (x + 2)$

Pour $x = - 2$ , nous avons

$9 = A \times 3^{2} + 0 + 0 \Rightarrow A = 1$

Pour trouver $B, C, D$ , et $E$ , nous choisissons quelques valeurs pratiques de $x$ . Ensuite, nous essayons de résoudre le système d'équations.

Pour $x = 0$

$\begin{matrix} 1 = 1 \times 1 + C (1) (2) + E (2) \\ \Rightarrow 2 C + 2 E = 0 \\ E = - C \end{matrix}$

Pour $x = 1$ ,

\begin{align} 6= & 1 \times 3^{2}+(B+C)(3)(3)+(D-C)(3) \\ & 9 B+6 C+3 D=-3 \end{align}

Pour $x = - 1$ ,

$\begin{matrix} 2 = 1 + (C - B) (1) (1) + (- C - D) (1) \\ B + D = - 1 \end{matrix}$

Pour $x = 2$ ,

\begin{align} 17= & 49+(2 B+C)(7)(4)+(2 D-C)(4) \\ & 56 B+24 C+8 D=-32 \end{align}

${\begin{matrix} 9 B + 6 C + 3 D = - 3 \\ B + D = - 1 \\ 14 B + 6 C + 2 D = - 8 \end{matrix} \Rightarrow B = - 1, C = 1, D = 0$ Donc

$\frac{3 x^{2} + 2 x + 1}{(x + 2) {(x^{2} + x + 1)}^{2}} = \frac{1}{x + 2} - \frac{x - 1}{x^{2} + x + 1} - \frac{1}{{(x^{2} + x + 1)}^{2}}$

Exercice 13.16. $\frac{5 x^{2} + 8 x - 12}{(x + 4)^{3}}$ .

Réponse

$\frac{5}{x + 4} - \frac{32}{(x + 4)^{2}} + \frac{36}{(x + 4)^{3}}$ .

Solution

$\frac{5 x^{2} + 8 x - 12}{(x + 4)^{3}} = \frac{A}{x + 4} + \frac{B}{(x + 4)^{2}} + \frac{C}{(x + 4)^{3}}$

Pour chaque $x$ , nous devons avoir

$5 x^{2} + 8 x - 12 = A (x + 4)^{2} + B (x + 4) + C$

Pour $x = - 4$

$36 = 0 + 0 + C \Rightarrow C = 36$

Pour $x = - 3$

\[\\]

Fractions Partielles. Dérivée d'une Fonction Inverse