Mathématiques insulaires

Table des matières

21.1 INTRODUCTION
- 21.1.1 Modélisation de la topographie de Spectacle Island
- 21.1.2 Optimisation des côtes insulaires avec le calcul
21.2 MAXIMISATION DE L'AIRE
21.3 Montagnes, cuvettes et cols
EXERCICES

21.1 INTRODUCTION

21.1.1 Modélisation de la topographie de Spectacle Island

Nous sommes sur Spectacle Island, près du port de Boston, et nous décidons de comprendre la fonction $f (x, y)$ qui donne la hauteur à une position $(x, y)$ . L'île a autrefois été un endroit « loin des yeux, loin du cœur » occupé par une usine d'équarrissage de chevaux (transformant les chevaux en cuir et en engrais) et (liée à cela) une installation de récupération de graisse et une décharge. Beurk ! Dans les années 1960, un renouveau est arrivé, pour nettoyer l'île, la réhabiliter et la remodeler en un parc public. Elle compte maintenant $5$ miles de sentiers et de belles plages. L'île est devenue un exemple de la façon de recréer un espace ouvert durable.

**Figure 1.** Spectacle Island à Boston a deux collines locales et un point-selle de la fonction hauteur $f (x, y)$ . Nous supposons que la fonction est $0$ sur les plages. Peut-on dire quelque chose de général sur les maxima, les minima et les points-selles d'une île ? Dans ce cas, nous avons deux maxima et un point-selle.

21.1.2 Optimisation des côtes insulaires avec le calcul

Lorsque nous cherchions des maxima et des minima cette semaine, nous ne nous préoccupions pas tellement du nombre de points critiques ou des combinaisons de points critiques qui peuvent se produire. Il s'avère que c'est un sujet très passionnant. Un autre thème que nous pouvons explorer en visitant une île est d'examiner la relation entre son aire et sa circonférence (la longueur des plages). Si l'aire est fixée, quelle peut être la longueur totale des plages la plus courte ou la plus longue ? Il s'avère que c'est un problème de Lagrange en dimension infinie, mais nous pouvons aussi l'explorer en dimension finie en considérant des îles polygonales. Nous utilisons ce sujet ici pour explorer un peu certains domaines liés au calcul.

**Figure 2.** Une île avec $4$ pics montagneux, une cuvette et $4$ cols. Le théorème de l'île assurant que $peaks + sinks - passes = 1$ est satisfait.

21.2 MAXIMISATION DE L'AIRE

21.2.1 Le problème isopérimétrique : îles et formes optimales

Une « île » est une région du plan $ℝ^{2}$ délimitée par une courbe simple fermée $C$ qui est continue partout et différentiable partout sauf en un ensemble fini de points. Nous autorisons des exceptions à la continuité pour permettre les polygones simples. Quelle île a l'aire maximale si la longueur de la frontière est fixée ? C'est ce qu'on appelle le problème isopérimétrique. Si nous considérons le problème restreint aux polygones avec un nombre fixe $n$ de sommets, nous avons un joli problème de Lagrange en dimension finie.

21.2.2 Aire maximale d'un triangle

Considérons une île triangulaire $T (x, y)$ avec les sommets $(- 1, 0)$ , $(1, 0)$ , $(x, y)$ .

Problème A : Supposons que la circonférence $g (x, y) = 1 + \sqrt{(x + 1)^{2} + y^{2}} + \sqrt{(x - 1)^{2} + y^{2}}$ du triangle soit $3$ . Quelle est l'aire maximale $f (x, y) = y / 2$ que nous pouvons obtenir ? Établissez les équations de Lagrange et résolvez-les.

21.2.3 Exploration du lieu des points à somme de distances fixe

Voici un problème connexe de la bonne vieille géométrie euclidienne. Si vous ne savez pas, cherchez « méthode des épingles et de la ficelle ».

Problème B : Quels points $(x, y)$ du plan satisfont $g (x, y) = 3$ ? Autrement dit, quels points du plan ont la propriété que la somme des distances aux deux points est constante ?

21.2.4 Relier les triangles et les polygones réguliers

Résoudre le problème de trouver le $n$ -gone d'aire maximale est un problème de Lagrange désordonné. Cela peut être fait par un ordinateur, mais il existe une manière plus élégante :

Problème C : Utilisez le calcul du problème A pour montrer que pour obtenir l'aire maximale pour le triangle avec les sommets $\dots, P, Q, R, \dots$ consécutifs, la distance entre $P$ et $Q$ doit être la même que la distance entre $Q$ et $R$ .

Problème D : Conclure qu'un polygone avec $n$ sommets et d'aire maximale doit être un polygone régulier.

21.2.5 Réflexion sur le chemin

Vous êtes sur une île au trésor $G$ et avez deux emplacements $A$ , $C$ dans $G$ . Vous devez aller de $A$ à $C$ mais voulez atteindre un point sur la plage. Il s'avère que la solution est la loi de réflexion du billard à la frontière. Considérez un triangle $A B C$ , remplacez la courbe par la courbe tangente $L$ en $B$ . Réfléchissez $C$ par rapport à $L$ pour obtenir un point C^{\prime}. Le chemin est le plus court si le chemin $A B C$ a la même longueur que le chemin reliant directement $A$ à C^{\prime}.

**Figure 3.** Quel polygone de circonférence fixe a l'aire maximale ?

21.3 Montagnes, cuvettes et cols

21.3.1 Exploration du théorème de Poincaré-Hopf avec des pics et des creux

La prochaine fois que vous êtes naufragé sur une île, comptez le nombre $m$ de pics montagneux, le nombre $s$ de cuvettes et le nombre $p$ de cols. Faites quelques expériences. Vous remarquez la règle suivante, connue comme un cas particulier du théorème de Poincaré-Hopf :

Théorème 1. $maxima + minima - saddles = 1$ .

Problème F : Trouvez un exemple où cette égalité est vérifiée, dans lequel nous avons $maxima = 3$ , $minima = 1$ et $saddles = 3$ .

21.3.2 Théorème de l'île sur les anneaux d'atoll

Si vous voulez vous lancer un défi, voyez si vous pouvez prouver le théorème de l'île par déformation. (C'est probablement trop difficile. Profitez simplement de la lutte !)

Problème G : Supposons maintenant que notre île soit un atoll, un récif en forme d'anneau. En examinant des exemples, quel est le nombre insulaire $maxima + minima - saddles$ sur un atoll ?

**Figure 4.** D'abord une île avec $2$ pics montagneux et avec $1$ col. Ensuite une île avec $3$ pics montagneux et $2$ cols. Nous voyons $maxima + minima - saddles = 1$ .

**Figure 5.** L'atoll d'Atafu. Photo par le NASA Johnson Space Center, 2009.

**Figure 6.** Si nous plaçons une surface $S : g = c$ dans l'espace et regardons la restriction d'une fonction $f (x, y, z)$ sur $S$ , nous résolvons un problème de Lagrange. Dans une situation de Morse, les nombres $maxima + minima - saddles$ s'additionnent pour donner un nombre qui ne dépend que du nombre de trous.

21.3.3 Théorème de l'île unidimensionnel

Examinons le cas unidimensionnel, où nous prouvons les choses plus facilement. Supposons que l'île soit l'intervalle $[a, b]$ . Soit $f$ une fonction lisse sur $[a, b]$ qui a la propriété que $f$ est nulle pour $x \geq b$ et pour $x \leq a$ . Nous examinons les points critiques de $f$ à l'intérieur $(a, b)$ qui sont de Morse, (c'est-à-dire f^{\prime \prime}(x) \neq 0 aux points critiques), de sorte que nous n'ayons que des maxima et minima locaux comme points critiques. Soit $m$ le nombre de maxima et $s$ le nombre de minima (cuvettes). Afin d'empêcher l'île d'être inondée, nous supposons également que la fonction $f$ est positive pour $x > a$ , près de $a$ et pour $x < b$ près de $b$ .

Théorème 2. $maxima - minima = 1$ .

Problème H : Vérifiez qu'il y a un nombre impair de points critiques pour une fonction de Morse $f$ qui a pour support un intervalle fini $[a, b]$ .

Problème I : Utilisez un argument de déformation pour montrer que s'il y a $2 k + 1$ points critiques, nous pouvons les réduire à $2 k - 1$ en fusionnant une paire de maxima et minima voisins.

EXERCICES

Exercice 1. Supposons que $f : ℝ \to ℝ$ soit une fonction de Morse à une seule variable sur un cercle. Quelle est la relation entre le nombre $m$ de maxima sur $[0, 2 π)$ et le nombre de minima sur $[0, 2 π)$ ? Prouvez votre affirmation.
Indice : vérifiez que pour une fonction de Morse, il n'est pas possible que deux maxima soient adjacents.

Exercice 2. Si nous examinons les maxima, les minima et les points-selles pour une fonction de Morse $f (x, y)$ définie sur une sphère, trouvez le nombre insulaire $maxima + minima - saddles$ dans ce cas.

Exercice 3. Si nous examinons les maxima, les minima et les points-selles pour une fonction $f (x, y)$ définie sur un beignet. En examinant des exemples, trouvez le nombre insulaire $maxima + minima - saddles$ dans ce cas.

Exercice 4. Si nous examinons les maxima, les minima et les points-selles sur un bretzel à deux trous. Rappelez-vous que vous avez construit une telle forme. En examinant des exemples, quel est le nombre insulaire $maxima + minima - saddles$ dans ce cas ? La situation la plus simple est si la fonction est linéaire dans $ℝ^{3}$ .

Exercice 5. Décrivez comment construire une fonction concrète $f (x, y)$ de deux variables qui a deux maxima et aucun minimum ni point-selle. (Ce n'est pas possible sur une île d'après le théorème de l'île. C'est cependant possible dans le plan, mais une telle fonction n'est pas facile à décrire. Discutez des stratégies entre vous.)