تنش‌های اصلی

۱. فرمول‌بندی به عنوان یک مسئله بهینه‌سازی مقید

تنش عمودی ${\sigma }_n$ روی صفحه‌ای با بردار یکه عمود $𝐧$ تصویر بردار کشش $𝐭$ بر روی جهت $𝐧$ است. $${\sigma }_n=𝐭\cdot 𝐧=(𝐧𝝈){𝐧}^T=𝐧𝝈{𝐧}^T$$ می‌خواهیم بیشینه و کمینه این تابع را با قید اینکه $𝐧$ یک بردار یکه است بیابیم: $$g(𝐧)=𝐧{𝐧}^T-1=0$$

۲. اعمال ضرایب لاگرانژ

تابع لاگرانژی $L$ را تعریف می‌کنیم، جایی که $\lambda$ ضریب لاگرانژ است: $$L(𝐧,\lambda )=𝐧𝝈{𝐧}^T-\lambda (𝐧{𝐧}^T-1)$$ نقاط ایستا هنگامی رخ می‌دهند که گرادیان $L$ نسبت به $𝐧$ بردار صفر باشد. گرادیان فرم درجه دوم $𝐧𝝈{𝐧}^T$ برابر با $2𝐧𝝈$ است (زیرا $𝝈$ متقارن است)، و گرادیان $𝐧{𝐧}^T$ برابر با $2𝐧$ است. $${\mathrm{\nabla }}_{𝐧}L=2𝐧𝝈-2\lambda 𝐧=\mathbf{0}$$ این به معادله مقدار ویژه چپ ساده می‌شود: $$𝐧𝝈=\lambda 𝐧$$

۳. تفسیر و نتیجه‌گیری

این نتیجه نشان می‌دهد که تنش عمودی تنها زمانی مقادیر کرانه‌ای خود را به دست می‌آورد که بردار عمود $𝐧$ یک بردار ویژه (چپ) از تانسور تنش $𝝈$ باشد. این جهات جهات اصلی هستند. تنش روی صفحات اصلی (عمود بر جهات اصلی) یک تنش اصلی است.

مرحله ۱: بیان تنش برشی در دستگاه مختصات اصلی

تحلیل در یک دستگاه مختصات هم‌راستا با جهات اصلی بسیار ساده می‌شود. در این مبنا، تانسور تنش $𝝈$ یک ماتریس قطری از تنش‌های اصلی ${\sigma }_1,{\sigma }_2,{\sigma }_3$ است. مرتب‌سازی ${\sigma }_1\ge {\sigma }_2\ge {\sigma }_3$ را فرض می‌کنیم. مربع تنش برشی با ${\tau }_n^2=|𝐭{|}^2-{\sigma }_n^2$ داده می‌شود. بیایید این عبارت‌ها را بازنویسی کنیم:

• $|𝐭{|}^2=𝐭{𝐭}^T=(𝐧𝝈)(𝐧𝝈{)}^T=(𝐧𝝈)({𝝈}^T{𝐧}^T)=𝐧{𝝈}^2{𝐧}^T$ زیرا $𝝈$ متقارن و قطری است. این به ما $|𝐭{|}^2=n_1^2{\sigma }_1^2+n_2^2{\sigma }_2^2+n_3^2{\sigma }_3^2$ می‌دهد.
• ${\sigma }_n^2=(𝐧𝝈{𝐧}^T{)}^2=(n_1^2{\sigma }_1+n_2^2{\sigma }_2+n_3^2{\sigma }_3{)}^2$.

تابعی که باید بیشینه‌سازی کنیم: $${\tau }_n^2=(n_1^2{\sigma }_1^2+n_2^2{\sigma }_2^2+n_3^2{\sigma }_3^2)-(n_1^2{\sigma }_1+n_2^2{\sigma }_2+n_3^2{\sigma }_3{)}^2$$ با قید $n_1^2+n_2^2+n_3^2=1$.

مرحله ۲: تحلیل دقیق با ضریب لاگرانژ برای تنش برشی

ما می‌خواهیم نقاط ساکن ${\tau }_n^2$ را بیابیم. تابع لاگرانژی $L$ را با ضریب $\mu$ تشکیل می‌دهیم: $$L(n_1,n_2,n_3,\mu )={\tau }_n^2-\mu (n_1^2+n_2^2+n_3^2-1)$$ مشتق جزئی نسبت به هر $n_k$ را محاسبه کرده و برابر صفر قرار می‌دهیم. برای $n_1$: $$\frac{\partial L}{\partial n_1}=\frac{\partial ({\tau }_n^2)}{\partial n_1}-2\mu n_1=0$$ مشتق ${\tau }_n^2$ به صورت زیر است: $$\frac{\partial ({\tau }_n^2)}{\partial n_1}=(2n_1{\sigma }_1^2)-2(n_1^2{\sigma }_1+n_2^2{\sigma }_2+n_3^2{\sigma }_3)(2n_1{\sigma }_1)=2n_1{\sigma }_1^2-4n_1{\sigma }_1{\sigma }_n$$ با صفر قرار دادن مشتق $L$ داریم: $$2n_1{\sigma }_1^2-4n_1{\sigma }_1{\sigma }_n-2\mu n_1=0⟹n_1({\sigma }_1^2-2{\sigma }_1{\sigma }_n-\mu )=0$$ بر اساس تقارن، دستگاهی از سه معادله به دست می‌آوریم: 1. $n_1({\sigma }_1^2-2{\sigma }_1{\sigma }_n-\mu )=0$ 2. $n_2({\sigma }_2^2-2{\sigma }_2{\sigma }_n-\mu )=0$ 3. $n_3({\sigma }_3^2-2{\sigma }_3{\sigma }_n-\mu )=0$

حل‌های ممکن برای $𝐧$ را تحلیل می‌کنیم:

• حالت الف: دو مؤلفه‌ی $𝐧$ صفر هستند. فرض کنید $n_1=1,n_2=0,n_3=0$. این یک جهت اصلی است. در اینجا ${\sigma }_n={\sigma }_1$ و $|𝐭{|}^2={\sigma }_1^2$، بنابراین ${\tau }_n^2={\sigma }_1^2-{\sigma }_1^2=0$. این‌ها نقاط کمینه تنش برشی هستند.

• حالت ب: یک مؤلفه‌ی $𝐧$ صفر است. فرض کنید $n_3=0$، و $n_1\ne 0$ و $n_2\ne 0$. برای برقراری دستگاه معادلات، عبارت داخل پرانتز در دو معادله‌ی اول باید صفر باشد: با برابر قرار دادن این عبارت‌ها برای $\mu$ داریم: $${\sigma }_1^2-2{\sigma }_1{\sigma }_n={\sigma }_2^2-2{\sigma }_2{\sigma }_n$$ $${\sigma }_1^2-{\sigma }_2^2=2{\sigma }_n({\sigma }_1-{\sigma }_2)$$ با فاکتورگیری از سمت چپ: $$({\sigma }_1-{\sigma }_2)({\sigma }_1+{\sigma }_2)=2{\sigma }_n({\sigma }_1-{\sigma }_2)$$ با فرض ${\sigma }_1\ne {\sigma }_2$، می‌توانیم بر $({\sigma }_1-{\sigma }_2)$ تقسیم کنیم تا مقدار تنش نرمال در این نقطه ساکن را بیابیم: $${\sigma }_n=\frac{{\sigma }_1+{\sigma }_2}{2}$$ اکنون از این برای یافتن مقادیر $n_1^2$ و $n_2^2$ استفاده می‌کنیم. دو معادله داریم:

  1. از تعریف ${\sigma }_n$: ${\sigma }_n=n_1^2{\sigma }_1+n_2^2{\sigma }_2=\frac{{\sigma }_1+{\sigma }_2}{2}$
  2. از قید بردار یکه: $n_1^2+n_2^2=1$

  از (ii) مقدار $n_2^2=1-n_1^2$ را در (i) جایگذاری می‌کنیم: $$n_1^2{\sigma }_1+(1-n_1^2){\sigma }_2=\frac{{\sigma }_1+{\sigma }_2}{2}$$ $$n_1^2{\sigma }_1+{\sigma }_2-n_1^2{\sigma }_2=\frac{{\sigma }_1}{2}+\frac{{\sigma }_2}{2}$$$$n_1^2({\sigma }_1-{\sigma }_2)=\frac{{\sigma }_1}{2}-\frac{{\sigma }_2}{2}=\frac{{\sigma }_1-{\sigma }_2}{2}$$ مجدداً با فرض ${\sigma }_1\ne {\sigma }_2$، نتیجه می‌گیریم $n_1^2=1/2$. از قید نیز نتیجه می‌شود که $n_2^2=1/2$. این متناظر با صفحه‌ای است که نرمال آن زاویه بین محورهای اصلی 1 و 2 را نصف می‌کند.

مرحله 3: محاسبه تنش برشی در نقاط ساکن

اکنون مقدار ${\tau }_n^2$ را در این نقطه ساکن ($n_1^2=1/2,n_2^2=1/2,n_3^2=0$) محاسبه می‌کنیم: $${\tau }_n^2=|𝐭{|}^2-{\sigma }_n^2$$ $${\tau }_n^2=(\frac{1}{2}{\sigma }_1^2+\frac{1}{2}{\sigma }_2^2)-{\left(\frac{{\sigma }_1+{\sigma }_2}{2}\right)}^2$$ با آوردن همه چیز به مخرج مشترک 4: $${\tau }_n^2=\frac{2{\sigma }_1^2+2{\sigma }_2^2}{4}-\frac{({\sigma }_1^2+2{\sigma }_1{\sigma }_2+{\sigma }_2^2)}{4}$$ $${\tau }_n^2=\frac{2{\sigma }_1^2+2{\sigma }_2^2-{\sigma }_1^2-2{\sigma }_1{\sigma }_2-{\sigma }_2^2}{4}$$ $${\tau }_n^2=\frac{{\sigma }_1^2-2{\sigma }_1{\sigma }_2+{\sigma }_2^2}{4}={\left(\frac{{\sigma }_1-{\sigma }_2}{2}\right)}^2$$ تنش برشی در این نقطه ${\tau }_n=\left|\frac{{\sigma }_1-{\sigma }_2}{2}\right|$ است.

مرحله 4: شناسایی مقدار بیشینه

تحلیل مشابهی را می‌توان برای دیگر جفت صفحه‌های اصلی به کار برد، که سه مقدار ساکن برای تنش برشی به دست می‌دهد:

1. ${\tau }_{12}=\left|\frac{{\sigma }_1-{\sigma }_2}{2}\right|$ (روی صفحاتی که محورهای 1 و 2 را نصف می‌کنند)
2. ${\tau }_{23}=\left|\frac{{\sigma }_2-{\sigma }_3}{2}\right|$ (روی صفحاتی که محورهای 2 و 3 را نصف می‌کنند)
3. ${\tau }_{13}=\left|\frac{{\sigma }_1-{\sigma }_3}{2}\right|$ (روی صفحاتی که محورهای 1 و 3 را نصف می‌کنند)

بیشینه مطلق تنش برشی، ${\tau }_{max}$، باید بزرگترین این سه مقدار باشد. با توجه به ترتیب ما ${\sigma }_1\ge {\sigma }_2\ge {\sigma }_3$، بزرگترین اختلاف بین هر دو تنش اصلی $({\sigma }_1-{\sigma }_3)$ است.

بنابراین، بیشینه تنش برشی عبارت است از: $${\tau }_{max}=\frac{{\sigma }_1-{\sigma }_3}{2}$$