Magia de los números

18.1 INTRODUCCIÓN

18.1.1 El desafío de Goldbach

Uno de los problemas abiertos más famosos en matemáticas es la conjetura de Goldbach:

Sea $g(n)$ la función que indica de cuántas maneras podemos escribir $n$ como suma de dos primos. Por ejemplo, $g(5)=2$, $g(6)=1$ porque $5=2+3=3+2$ y $g(6)=1$ porque $6+3+3$.

18.1.2 Conjetura de Goldbach: Visualización con Mathematica

Aquí está el código de Mathematica que permite graficar el cometa, la gráfica de la función $g$.

18.1.3 ¿Descifrando Goldbach con cálculo?

¿Por qué es esto notable? Muestra que calcular los números $f(n)$ podría hacerse de manera elegante usando cálculo al definir una función $f$. Usando el teorema de Taylor podemos calcular las entradas $g(n)$. La conjetura de Goldbach es equivalente a \begin{aligned} g^{2 n}(0) \text { es distinto de cero para todo } n \geq 1. \end{aligned} Lo único que realmente necesitaríamos es dominar la función $f$. Desafortunadamente, nadie ha visto cómo escribir la función $f$ en términos de funciones conocidas. Pero no es completamente imposible que no exista una modificación $$f(x)=\sum _{p\text{ primo }}{a}_p{x}^p$$ con $a_p$ positivos tal que $f(x)$ sea expresable usando funciones conocidas. Además, si $g(x)=f(x{)}^2$ tuviera derivadas pares positivas, Goldbach se seguiría.

18.2 SEMINARIO

18.2.1 Trucos de cálculo: Más allá de los cálculos

En este seminario, vemos cómo el cálculo puede ayudar a calcular cosas de manera efectiva y también esperamos obtener información sobre temas de naturaleza más teórica numérica. Para encontrar la raíz cúbica de $10$, por ejemplo, tenemos $${10}^{1/3}\sim 8^{1/3}+\frac{2}{3\cdot 8^{2/3}}=2+\frac{2}{12}=2.1666\dots$$ El valor real es $2.15443$. También podemos usar la linealización para encontrar raíces exactas

18.2.2 Método de Newton para raíces: Una herramienta poderosa

No pudimos mencionar el método de Newton para encontrar raíces en clase. Es un método iterativo simple pero efectivo. También podemos hacer eso para encontrar raíces. Para encontrar la raíz cúbica de $9$, por ejemplo, comenzamos con una primera aproximación como $2$, luego introducimos la función $f(x)=x^3-9$ de la cual queremos encontrar la raíz, luego aplicamos el paso de Newton T(x)=x-\frac{f(x)}{f^{\prime}(x)}. Tenemos f^{\prime}(x)=3 x^{2} y así $T(x)=x-(x^3-9)/(3x^2)$. Esto da $T(2)=25/12=2.08333$. Ya bastante cerca de $9^{1/3}=2.08008$.

18.2.3 El método de Newton toma un giro complejo

Hay una historia interesante aquí al aplicar el método de Newton en el plano complejo. La función $f(x)=x^3-9$ tiene exactamente $3$ raíces en el plano complejo. Son $9^{1/3}$, $9^{1/3}{e}^{i2\pi /3}$ y $9^{1/3}{e}^{i4\pi /3}$. ¡Verifique que estos tres números satisfacen $f(x)=0$! Investigar el método de Newton en el complejo en realidad precedió a la historia de Mandelbrot. Uno puede preguntarse qué sucede si se aplica el método de Newton con una condición inicial dada. La solución terminará en una de las tres raíces, pero ¿en cuáles? Al dibujar esto, vemos el fractal de Newton. Aquí se muestra cómo se puede graficar el fractal de Newton.¹

18.2.4 Series geométricas desmitificadas

En el examen has demostrado $1+3+3^2+\cdots +3^{n-1}=(3^n-1)/2$. Este es un caso especial de la fórmula de la serie geométrica $$1+a+a^2+\cdots +a^n=\frac{1-a^{n+1}}{1-a}.$$ Por supuesto, también podríamos demostrar esta fórmula por inducción. Mejor hazlo directamente:

18.2.5 Convergencia en series infinitas

Estas eran todas sumas finitas, pero ver el patrón nos permite tomar un límite y calcular la serie infinita:

18.2.6 Desbloqueando series de Taylor con series infinitas

La serie de Taylor de una función agradable es $f(x)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{f}^{(k)}(0)x^k$. Habiendo visto C) se puede responder la pregunta trampa:

18.2.7 Derivando logaritmos con series

¿Cómo puedes obtener del último ejercicio la siguiente identidad?

18.2.8 Explorando la serie en -1

Ahora veamos qué sucede en $x=-1$.

18.2.9 Teoría de números se encuentra con el cálculo

¿Cómo es que grandes teóricos de números como Leonard Euler o Godfrey Hardy también fueron maestros en cálculo? La razón es que muchos resultados de naturaleza teórica numérica tienen relaciones íntimas con el cálculo. Veamos el siguiente problema:

Pista: calcule primero la serie de Taylor de $f(x)=\arctan (x)$ usando la serie de Taylor de $1/(1+x^2)$ (la última es una serie geométrica), luego evalúe $f$ en $x=1$.

18.2.10 Función Zeta y la Hipótesis de Riemann

$${\mathrm{Li}}_s(x)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^n}{n^s}=x+\frac{x^2}{2^s}+\frac{x^3}{3^s}+\cdots$$ se llama la función polilogaritmo. Para $s=0$ es el Problema D, para $s=1$ es el problema E. Mientras que en cálculo, podríamos estar más interesados en la función como función de $x$, los teóricos de números están más interesados en la función como función de $s$ y $s$ es complejo. En el caso $x=1$, la función $L{i}_s(x)$ es la función zeta de Riemann $\zeta (s)=\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{k^s}$.

La llave dorada de Euler relaciona $\zeta$ con los primos:

18.2.11 La identidad de la llave dorada de Euler

Primero verifique (tal vez mire el Problema C) que para un solo primo $p$ $$\frac{1}{1-\frac{1}{p^s}}=1+\frac{1}{p^s}+\frac{1}{p^{2s}}+\frac{1}{p^{3s}}+\cdots$$ que es la suma sobre todos los $\frac{1}{n^s}$, donde $n$ tiene solo factores primos $p$. Luego mire el producto de estos para dos primos $p$, $q$ y vea que esta es la suma sobre todos los $\frac{1}{n^s}$ donde $n$ tiene solo factores primos $p$ y $q$.

18.2.12 Explorando una equivalencia basada en cálculo para Goldbach

Volvamos al tema de la introducción. Recuerde que la conjetura de Goldbach dice que todo número par mayor que $2$ es la suma de dos primos. ¿Cuál es la relación con el cálculo? Defina $g(x)=(f(x){)}^2$ con $$f(x)=\sum _p\frac{x^p}{p!}=\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+\frac{x^7}{7!}+\cdots$$ Para lo siguiente, intente verificar esto cuidadosamente mostrando ambas direcciones. Si dos enunciados $A$, $B$ son equivalentes, entonces esto significa que tenemos que mostrar dos cosas. Tenemos que verificar que $A⟹B$ y $B⟹A$.

EJERCICIOS