Uno de los usos del cálculo integral es permitirnos averiguar los valores de las áreas delimitadas por curvas.
Intentemos abordar el tema poco a poco.
Sea \(AB\) (la siguiente figura) una curva cuya ecuación es conocida. Es decir, \(y\) en esta curva es una función conocida de \(x\). Piense en un segmento de la curva desde el punto \(P\) hasta el punto \(Q\).
Sea una perpendicular \(PM\) trazada desde \(P\), y otra \(QN\) desde el punto \(Q\). Entonces llamemos \(OM = x_1\) y \(ON = x_2\), y a las ordenadas \(PM = y_1\) y \(QN = y_2\). Hemos delimitado así el área \(PQNM\) que se encuentra debajo del segmento \(PQ\). El problema es, ¿cómo podemos calcular el valor de esta área?
El secreto para resolver este problema es concebir el área dividida en una gran cantidad de franjas estrechas, cada una de ellas con una anchura \(dx\). Cuanto más pequeño tomemos \(dx\), más de ellas habrá entre \(x_1\) y \(x_2\). Ahora bien, el área total es claramente igual a la suma de las áreas de todas esas franjas. Nuestra tarea será entonces descubrir una expresión para el área de una franja estrecha cualquiera, e integrarla para así sumar todas las franjas. Ahora piense en cualquiera de las franjas. Será así: delimitada entre dos lados verticales, con un fondo plano \(dx\), y con una parte superior inclinada y ligeramente curva. Supongamos que tomamos su altura promedio como \(y\); entonces, como su anchura es \(dx\), su área será \(y\, dx\) (la siguiente figura). Y dado que podemos tomar la anchura tan estrecha como queramos, si la tomamos lo suficientemente estrecha, su altura promedio será la misma que la altura en su punto medio. Ahora llamemos al valor desconocido de toda el área \(S\), es decir, superficie. El área de una franja será simplemente un pedazo del área total, y por lo tanto puede llamarse \(dS\). Así que podemos escribir \[\text{área de } 1 \text{ franja} = dS = y \cdot dx.\]
Si luego sumamos todas las franjas, obtenemos \[\text{área total } S = \int dS = \int y\, dx.\]
Por lo tanto, hallar \(S\) depende de si podemos integrar \(y \cdot dx\) para el caso particular, cuando sabemos cuál es el valor de \(y\) como función de \(x\).
Por ejemplo, si le dijeran que para la curva particular en cuestión \(y = b + ax^2\), sin duda podría introducir ese valor en la expresión y decir: entonces debo hallar \(\displaystyle \int (b + ax^2)\, dx\).
Eso está muy bien; pero pensar un poco le mostrará que debe hacerse algo más. Como el área que intentamos encontrar no es el área bajo toda la longitud de la curva, sino solo el área limitada a la izquierda por \(PM\), y a la derecha por \(QN\), se deduce que debemos hacer algo para definir nuestra área entre esos ‘límites.’
Esto nos introduce a una nueva noción, a saber, la de integrar entre límites. Suponemos que \(x\) varía, y para nuestro propósito actual no requerimos ningún valor de \(x\) por debajo de \(x_1\) (es decir \(OM\)), ni ningún valor de \(x\) por encima de \(x_2\) (es decir \(ON\)). Cuando una integral debe definirse así entre dos límites, llamamos al menor de los dos valores el límite inferior, y al valor mayor el límite superior. Cualquier integral limitada de este modo la designamos como una integral definida, a modo de distinguirla de una integral indefinida (que es lo inverso de la derivación) a la que no se le asignan límites.
En los símbolos que dan instrucciones para integrar, los límites se marcan colocándolos en la parte superior e inferior respectivamente del signo de integración. Así, la instrucción \[\int_{x=x_1}^{x=x_2} y \cdot dx\] se leerá: halle la integral de \(y \cdot dx\) entre el límite inferior \(x_1\) y el límite superior \(x_2\).
A veces, esto se escribe de manera más simple \[\int^{x_2}_{x_1} y \cdot dx.\] Bien, pero ¿cómo se halla una integral entre límites, una vez que se tienen estas instrucciones?
Mire nuevamente la primera figura de este capítulo. Supongamos que pudiéramos encontrar el área bajo la porción más grande de la curva desde \(A\) hasta \(Q\), es decir desde \(x = 0\) hasta \(x = x_2\), llamando al área \(AQNO\). Luego, supongamos que pudiéramos encontrar el área bajo la porción más pequeña desde \(A\) hasta \(P\), es decir desde \(x = 0\) hasta \(x = x_1\), a saber, el área \(APMO\). Si entonces restáramos el área más pequeña a la más grande, nos quedaría como resto el área \(PQNM\), que es la que queremos. Aquí tenemos la clave de lo que hay que hacer; la integral definida entre los dos límites es la diferencia entre la integral calculada para el límite superior y la integral calculada para el límite inferior.
Procedamos entonces. Primero, halle la integral general así: \[\int y\, dx,\] y, como \(y = b + ax^2\) es la ecuación de la curva (Fig. 19.1), \[\int (b + ax^2)\, dx\] es la integral general que debemos encontrar.
Efectuando la integración en cuestión mediante la regla, obtenemos \[bx + \frac{a}{3} x^3 + C;\] y esta será el área total desde \(0\) hasta cualquier valor de \(x\) que podamos asignar.
Por lo tanto, el área más grande hasta el límite superior \(x_2\) será \[bx_2 + \frac{a}{3} x_2^3 + C;\] y el área más pequeña hasta el límite inferior \(x_1\) será \[bx_1 + \frac{a}{3} x_1^3 + C.\]
Ahora, restamos la más pequeña de la más grande, y obtenemos para el área \(S\) el valor, \[\text{área } S = b(x_2 - x_1) + \frac{a}{3}(x_2^3 - x_1^3).\]
Esta es la respuesta que queríamos. Demos algunos valores numéricos. Suponga que \(b = 10\), \(a = 0.06\), y \(x_2 = 8\) y \(x_1 = 6\). Entonces el área \(S\) es igual a \[\begin{gathered} 10(8 - 6) + \frac{0.06}{3} (8^3 - 6^3) \\ \begin{align} &= 20 + 0.02(512 - 216) \\ &= 20 + 0.02 \times 296 \\ &= 20 + 5.92 \\ &= 25.92. \end{align} \end{gathered}\]
Establezcamos aquí una forma simbólica de expresar lo que hemos averiguado sobre los límites: \[\int^{x=x_2}_{x=x_1} y\, dx = y_2 - y_1,\] donde \(y_2\) es el valor integrado de \(y\, dx\) correspondiente a \(x_2\), y \(y_1\) el correspondiente a \(x_1\).
Toda integración entre límites requiere que se halle así la diferencia entre dos valores. Note también que, al hacer la resta, la constante añadida \(C\) ha desaparecido.
En resumen, \[\bbox[5px,border:1px solid black;background-color:#f2f2f2]{\displaystyle \int_{x_1}^{x_2}y\,dx=\left[\int y\,dx\right]_{x_1}^{x_2}}.\] El símbolo \(\displaystyle \left[\int y\,dx\right]_{x_1}^{x_2}\) significa evaluar \(\displaystyle \int y\,dx\) para \(x=x_2\) y para \(x=x_1\) y restar el último del primero.
Ejemplos
Ejemplo 19.1. Para familiarizarnos con el proceso, tomemos un caso del cual conocemos la respuesta de antemano. Hallemos el área del triángulo (la siguiente figura), que tiene base \(x = 12\) y altura \(y = 4\). Sabemos de antemano, por la geometría elemental, que la respuesta será \(24\).
Ahora, aquí tenemos como la "curva" una línea inclinada para la cual la ecuación es \[y = \frac{x}{3}.\]
El área en cuestión será \[\int^{x=12}_{x=0} y \cdot dx = \int^{x=12}_{x=0} \frac{x}{3} \cdot dx.\]
Integrando \(\dfrac{x}{3}\, dx\) y anotando el valor de la integral indefinida entre corchetes con los límites marcados arriba y abajo, obtenemos \[\begin{align} \text{área} &= \left[ \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} x^2 +C\right]^{x=12}_{x=0} \\ &= \left[ \frac{x^2}{6}+C \right]^{x=12}_{x=0} \\ &= \left[ \frac{12^2}{6}+C \right] - \left[ \frac{0^2}{6}+C \right] \\ &= \frac{144}{6} = 24.\quad \text{Resp}. \end{align}\]
Convenzámonos de este truco de cálculo bastante sorprendente, probándolo con un ejemplo sencillo. Consiga papel cuadriculado, preferiblemente uno que esté rayado en cuadritos de un octavo de pulgada o un décimo de pulgada por cada lado. Sobre este papel cuadriculado trace el gráfico de la ecuación, \[y = \frac{x}{3}.\]
Los valores a graficar serán: \[\begin{array} {|c|| *{5}{c|}} \hline \strut {x} & {0} & {3} & {6} & {9} & {12} \\ \hline \strut {y} & {0} & {1} & {2} & {3} & {4} \\ \hline \end{array}\]
El gráfico se muestra a continuación.
Ahora calcule el área debajo de la curva contando los cuadritos debajo de la línea, desde \(x = 0\) hasta \(x = 12\) a la derecha. Hay \(18\) cuadrados enteros y cuatro triángulos, cada uno de los cuales tiene un área igual a \(1\frac{1}{2}\) cuadrados; o, en total, \(24\) cuadrados. Por lo tanto, \(24\) es el valor numérico de la integral de \(\dfrac{x}{3}\, dx\) entre el límite inferior de \(x = 0\) y el límite superior de \(x = 12\).
Como ejercicio adicional, demuestre que el valor de la misma integral entre los límites de \(x = 3\) y \(x = 15\) es \(36\).
Ejemplo 19.2. Halle el área, entre los límites \(x = x_1\) y \(x = 0\), de la curva \(y = \dfrac{b}{x + a}\) (la siguiente figura).
Solución. \[\begin{align} \text{Área} &= \int^{x=x_1}_{x=0} y \cdot dx = \int^{x=x_1}_{x=0} \frac{b}{x+a}\, dx \\[6pt] &= b \bigl[\ln(x + a)+C \bigr]^{x_1} _{0} \\[6pt] &= b \bigl[\ln(x_1 + a)+C - \ln(0 + a)-C\bigr] \\ &= b \ln \frac{x_1 + a}{a}.\quad \text{Resp}. \end{align}\]
Nota—Observe que al tratar con integrales definidas la constante \(C\) siempre desaparece por la resta.
Nótese que este proceso de restar una parte de una más grande para encontrar la diferencia es en realidad una práctica común. ¿Cómo encuentra el área de un anillo plano (siguiente figura), cuyo radio exterior es \(r_2\) y radio interior es \(r_1\)? Sabe por la geometría que el área del círculo exterior es \(\pi r_2^2\); luego encuentra el área del círculo interior, \(\pi r_1^2\); después resta esta última de la primera, y halla el área del anillo \(= \pi(r_2^2 - r_1^2)\); que puede escribirse \[\pi(r_2 + r_1)(r_2 - r_1)\] \(= \text{circunferencia media del anillo} \times \text{anchura del anillo}\).
Ejemplo 19.3. Aquí hay otro caso: el de la curva de decrecimiento. Halle el área entre \(x = 0\) y \(x = a\), de la curva (la siguiente figura) cuya ecuación es \[\begin{align} y &= be^{-x}. \end{align}\]
Solución. \[\text{Área}= b\int^{x=a} _{x=0} e^{-x} \cdot dx.\] La integración (ver aquí) da \[\begin{align} &= b\big[-e^{-x}\big]^a _0 \\ &= b\bigl[-e^{-a} - (-e^{-0})\bigr] \\ &= b(1-e^{-a}). \end{align}\]
Ejemplo 19.4. Otro ejemplo lo proporciona la curva adiabática de un gas perfecto, cuya ecuación es \(pv^n = c\), donde \(p\) representa la presión, \(v\) el volumen, y \(n\) tiene el valor de \(1.42\) (ver abajo).
Halle el área bajo la curva (que es proporcional al trabajo realizado al comprimir repentinamente el gas) desde el volumen \(v_2\) al volumen \(v_1\).
Solución. Aquí tenemos \[\begin{align} \text{área} &= \int^{v=v_2}_{v=v_1} cv^{-n} \cdot dv \\ &= c\left[\frac{1}{1-n} v^{1-n} \right]^{v_2} _{v_1} \\ &= c \frac{1}{1-n} (v_2^{1-n} - v_1^{1-n}) \\ &= \frac{-c}{0.42}\left(\frac{1}{v_2^{0.42}} - \frac{1}{v_1^{0.42}}\right). \end{align}\]
Área de un Disco
Ejemplo 19.5. Demuestre la fórmula común de geometría, de que el área \(A\) de un círculo cuyo radio es \(R\), es igual a \(\pi R^2\).
Solución. Considere una zona elemental o corona circular de la superficie (la siguiente figura), de anchura \(dr\), situada a una distancia \(r\) del centro. Podemos considerar la superficie entera como formada por tales zonas estrechas, y el área total \(A\) será simplemente la integral de todas esas zonas elementales desde el centro hasta el borde, es decir, integrada desde \(r = 0\) hasta \(r = R\).
Por lo tanto, tenemos que encontrar una expresión para el área elemental \(dA\) de la zona estrecha. Piénsela como una franja de anchura \(dr\), y de una longitud que es el perímetro del círculo de radio \(r\), es decir, una longitud de \(2 \pi r\). Entonces tenemos, como el área de la zona estrecha, \[dA = 2 \pi r\, dr.\]
Por tanto, el área de todo el círculo será: \[A = \int dA = \int^{r=R}_{r=0} 2 \pi r \cdot dr = 2 \pi \int^{r=R}_{r=0} r \cdot dr.\]
Ahora, la integral general de \(r \cdot dr\) es \(\frac{1}{2} r^2\). Por lo tanto, \[A = 2 \pi \left[\frac{1}{2} r^2 \right]^{r=R}_{r=0};\] o \[A = 2 \pi \left[\frac{1}{2} R^2 - \frac{1}{2}(0)^2\right];\] de donde \[A = \pi R^2.\]
Valor Medio (o Promedio) de una Función
Ejemplo 19.6. Hallemos la ordenada media (el valor promedio de \(y\)) de la parte positiva de la curva \(y = x - x^2\), que se muestra a continuación.
Solución. Para hallar la ordenada media, tendremos que hallar el área de la porción \(OMN\), y luego dividirla por la longitud de la base \(ON\). Pero antes de poder hallar el área debemos determinar la longitud de la base, para saber hasta qué límite debemos integrar. En \(N\) la ordenada \(y\) tiene valor cero; por lo tanto, debemos observar la ecuación y ver qué valor de \(x\) hará que \(y = 0\). Ahora, claramente, si \(x\) es \(0\), \(y\) también será \(0\), pasando la curva por el origen \(O\); pero también, si \(x=1\), \(y=0\); de modo que \(x=1\) nos da la posición del punto \(N\).
Entonces el área deseada es \[\begin{align} \text{área}&= \int^{x=1}_{x=0} (x-x^2)\, dx \\ &= \left[\frac{1}{2} x^2 - \frac{1}{3} x^3 \right]^{1}_{0} \\ &= \left[\frac{1}{2} - \frac{1}{3} \right] - [0-0] \\ &= \frac{1}{6}. \end{align}\]
Pero la longitud de la base es \(1\).
Por lo tanto, la ordenada promedio de la curva \(= \frac{1}{6}\).
[Nota—Será un bonito y sencillo ejercicio de máximos y mínimos averiguar mediante derivación cuál es la altura de la ordenada máxima. Debe ser mayor que el promedio.]
La ordenada media (o promedio) de cualquier curva, sobre un intervalo de \(\boldsymbol{x= x_1}\) a \(\boldsymbol{x= x_2}\), viene dada por la expresión, \[\bbox[5px,border:1px solid black;background-color:#f2f2f2]{\displaystyle \text{media de } y = \frac{1}{x_2-x_1} \int^{x=x_2}_{x=x_1} y \cdot dx.}\]
Áreas en Coordenadas Polares
Cuando la ecuación del límite de un área se da como función de la distancia \(r\) de un punto de ella desde un punto fijo \(O\) (ver la siguiente figura) llamado polo, y del ángulo que \(r\) forma con la dirección positiva del eje \(x\), el proceso que acabamos de explicar se puede aplicar con la misma facilidad, con una pequeña modificación. En lugar de una franja de área, consideramos un pequeño triángulo \(OAB\), siendo el ángulo en \(O\) igual a \(d\theta\), y hallamos la suma de todos los pequeños triángulos que componen el área requerida.
El área de un triángulo tan pequeño es aproximadamente \(\dfrac{AB}{2}\times r\) o \(\dfrac{r\, d\theta}{2}\times r\); por tanto, la porción del área incluida entre la curva y dos posiciones de \(r\) correspondientes a los ángulos \(\theta_1\) y \(\theta_2\) viene dada por \[\bbox[5px,border:1px solid black;background-color:#f2f2f2]{\displaystyle \text{Área}=\frac{1}{2} \int^{\theta=\theta_2}_{\theta=\theta_1} r^2\, d\theta.}\]
Nota— En la fórmula anterior \(\theta\) debe expresarse en radianes.
Ejemplos
Ejemplo 19.7. Halle el área del sector de \(1\) radián en una circunferencia de radio \(a\) pulgadas (la siguiente figura).
Solución. La ecuación polar de la circunferencia es evidentemente \(r=a\). El área es \[\frac{1}{2} \int^{\theta=\theta_2}_{\theta=\theta_1} a^2\, d\theta = \frac{a^2}{2} \int^{\theta=1}_{\theta=0} d\theta = \frac{a^2}{2}.\]
Ejemplo 19.8. Halle el área del primer cuadrante de la curva (conocida como “Caracol de Pascal”), cuya ecuación polar es \(r=a(1+\cos \theta)\) (la siguiente figura).
Solución. \[\begin{align} \text{Área} &= \frac{1}{2} \int^{\theta=\frac{\pi}{2}}_{\theta=0} a^2(1+\cos \theta)^2\, d\theta \\ &= \frac{a^2}{2} \int^{\theta=\frac{\pi}{2}}_{\theta=0} (1+2 \cos \theta + \cos^2 \theta)\, d\theta \\ &= \frac{a^2}{2} \left[\theta + 2 \sin \theta + \frac{\theta}{2} + \frac{\sin 2 \theta}{4} \right]^{\frac{\pi}{2}}_{0} \\ &= \frac{a^2(3\pi+8)}{8}. \end{align}\]
Volúmenes por Integración
Lo que hemos hecho con el área de una pequeña franja de una superficie, podemos, por supuesto, hacerlo con la misma facilidad con el volumen de una pequeña sección de un sólido. Podemos sumar todas las pequeñas secciones que componen el sólido total, y encontrar su volumen, de la misma manera que hemos sumado todos los pequeños fragmentos que componían un área para encontrar el área final de la figura operada.
Ejemplos.
Ejemplo 19.9. Halle el volumen de una esfera de radio \(R\).
Solución. Método (a). Una capa esférica delgada tiene por volumen \(4\pi r^2\, dr\) (ver Fig. 19.9); sumando todas las capas concéntricas que componen la esfera, tenemos \[\text{volumen esfera} = \int^{r=R}_{r=0} 4\pi r^2\, dr = 4\pi \left[\frac{r^3}{3} \right]^R_0 = \frac{4}{3} \pi R^3.\]
Método (b). También podemos proceder de la siguiente manera: una rebanada de la esfera, de grosor \(dx\), tiene por volumen \(\pi y^2\, dx\). Este disco delgado es generado rotando la franja de grosor \(dx\) mostrada en la Fig. 19.14 alrededor del eje \(x\) (ver Fig. 19.15). La longitud de esta franja, \(y\), está relacionada con la distancia de esta franja desde el origen, \(x\), a través de \[y^2 = R^2 - x^2.\] Por tanto \[\begin{align} \text{volumen esfera} &= 2 \int^{x=R}_{x=0} \pi(R^2-x^2)\, dx \\ &= 2 \pi \left[ \int^{x=R}_{x=0} R^2\, dx - \int^{x=R}_{x=0} x^2\, dx \right] \\ &= 2 \pi \left[R^2x - \frac{x^3}{3} \right]^R_0 = \frac{4\pi}{3} R^3. \end{align}\]
Sobre las Medias Cuadráticas
En ciertas ramas de la física, particularmente en el estudio de corrientes eléctricas alternas, es necesario poder calcular la media cuadrática de una cantidad variable. Por "media cuadrática" se denota la raíz cuadrada de la media de los cuadrados de todos los valores entre los límites considerados. Otros nombres para la media cuadrática de cualquier cantidad son su valor "virtual", o su valor "r.m.s." (del inglés root-mean-square, valor eficaz). Si \(y\) es la función bajo consideración, y la media cuadrática debe tomarse entre los límites de \(x=0\) y \(x=L\); entonces la media cuadrática se expresa como \[\bbox[5px,border:1px solid black;background-color:#f2f2f2]{\displaystyle \text{media cuadrática de } y=\sqrt{\frac{1}{L} \int^L_0 y^2\, dx}.}\]
Ejemplos.
Ejemplo 19.11. Halle la media cuadrática de la función \(y=ax\) (siguiente figura).
Solución. Aquí la integral es \(\int^L_0 a^2 x^2\, dx\), que es \(\frac{L}{3} a^2 L^3\).
Dividiendo por \(L\) y sacando la raíz cuadrada, tenemos \[\text{media cuadrática} = \frac{1}{\sqrt 3}\, aL.\]
Aquí la media aritmética es \(\frac{1}{2}aL\); y la razón de la media cuadrática a la media aritmética (esta razón se llama el factor de forma) es \(\dfrac{2}{\sqrt 3}=1.155\).
Ejemplo 19.12. Halle la media cuadrática de la función \(y=x^a\).
Solución. La integral es \(\displaystyle \int^{x=L}_{x=0} x^{2a}\, dx\), esto es \(\dfrac{L^{2a+1}}{2a+1}\).
Por tanto \[\begin{gathered} \text{media cuadrática} = \sqrt{\dfrac{L^{2a}}{2a+1}}. \end{gathered}\]
Ejemplo 19.13. Halle la media cuadrática de la función \(y=a^{\frac{x}{2}}\).
Solución. La integral es \(\displaystyle \int^{x=L}_{x=0} (a^{\frac{x}{2}})^2\, dx\), esto es \(\displaystyle \int^{x=L}_{x=0} a^x\, dx\), o \[\begin{gathered} \left[ \frac{a^x}{\ln a} \right]^{x=L}_{x=0}, \end{gathered}\] que es \(\dfrac{a^L-1}{\ln a}\).
Por tanto la media cuadrática es \(\sqrt{\dfrac{a^L - 1}{L \ln a}}\).
Ejercicios
Ejercicio 19.1. Halle el área de la curva \(y=x^2+x-5\) entre \(x=0\) y \(x=6\), y la ordenada media (valor promedio de \(y\)) entre estos límites.
Respuesta
\(\text{Área} = 60\); \(\text{ordenada media} = 10\).
Solución
\[\begin{align} \text { área } &=\int_{0}^{6}\left(x^{2}+x-5\right) d x \\ &=\left[\frac{x^{3}}{3}+\frac{x^{2}}{2}-5 x\right]_{x=0}^{x=6} \\ & =\left(\frac{6^{3}}{3}+\frac{6^{2}}{2}-5 \times 6\right)-\left(\frac{0}{3}+\frac{0}{2}-5 \times 0\right) \\ & =60 \end{align}\]
\[\text { media de } y=\frac{\displaystyle \int_{0}^{6}\left(x^{2}+x-6\right) d x}{6-0}=\frac{60}{6}=10 .\]
Ejercicio 19.2. Halle el área de la parábola \(y=2a\sqrt x\) entre \(x=0\) y \(x=a\). Demuestre que es dos tercios del rectángulo formado por la ordenada límite y su abscisa.
Respuesta
\(\text{Área} = \dfrac{2}{3}\) de \(a \times 2a \sqrt{a}\).
Solución
\[\begin{align} \text { área bajo la curva }& =\int_{0}^{a} 2 a \sqrt{x} d x\\ & =2 a \int_{0}^{a} x^{\frac{1}{2}} d x \\ & =\left[2 a \times \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}\right]_{x=0}^{x=a} \\ & =\frac{4}{3} a^{\frac{5}{2}} \end{align}\]
\[\begin{align} \text { área del rectángulo }& =a \times(2 a \sqrt{a}) \\ & =2 a^{\frac{5}{2}} \end{align}\]
\[\begin{align} \text{área bajo la curva} &=\frac{2}{3}\times \text{ área del rectángulo}\\ &=\frac{4}{3}a^{\frac{5}{2}} \end{align}\]
Ejercicio 19.3. Halle el área de la porción positiva de una curva seno y la ordenada media.
Respuesta
\(\text{Área} = 2\); \(\text{ordenada media} = \dfrac{2}{\pi} \approx 0.637\).
Solución
\[\begin{align} \text { área de la región mostrada } & =\int_{0}^{\pi} \sin x d x \\ & =[-\cos x]_{x=0}^{x=\pi} \\ & =1-(-1)=2 \\ \text { media de } y=\frac{1}{\pi} \int_{0}^{\pi} \sin x d x & =\frac{2}{\pi} \end{align}\]
Ejercicio 19.4. Halle el área de la porción positiva de la curva \(y=\sin^2 x\) (\(0\leq x\leq \pi\)), y halle la ordenada media.
Respuesta
\(\text{Área} =\dfrac{\pi}{2}\approx 1.57\); \(\text{ordenada media} = 0.5\).
Solución
El problema pide el área rayada
\[\begin{align} \text { área } & =\int_{0}^{\pi} \sin ^{2} x d x \\ & =\int_{0}^{\pi} \frac{1-\cos 2 x}{2} d x\\ & =\frac{1}{2}\left[\int_{0}^{\pi} d x-\int_{0}^{\pi} \cos 2 x d x\right] \\ & =\frac{1}{2}\left[x-\frac{1}{4} \sin 2 x\right]_{0}^{\pi} \\ & =\frac{\pi}{2} \approx 1.57 \end{align}\]
\[\begin{align} \text { media de } y&=\frac{1}{\pi} \int_{0}^{\pi} \sin ^{2} x d x\\ &=\frac{1}{\pi} \cdot \frac{\pi}{2}\\ &=\frac{1}{2} \end{align}\]
Ejercicio 19.5. Halle el área comprendida entre las dos ramas de la curva \(y=x^2 \pm x^{\frac{5}{2}}\) desde \(x=0\) hasta \(x=1\), así como el área de la porción positiva de la rama inferior de la curva (ver Fig. 11.12).
Respuesta
\(\dfrac{4}{7}\approx 0.571\), \(\dfrac{1}{21}\approx 0.0476\).
Solución
\[\begin{align} \text { área } & =\int_{0}^{1}\left[\left(x^{2}+x^{5 / 2}\right)-\left(x^{2}-x^{5 / 2}\right)\right] d x \\ & =2 \int_{0}^{1} x^{\frac{5}{2}} d x \\ & =2\left[\frac{2}{7} x^{\frac{7}{2}}\right]_{0}^{1} \\ & =\frac{4}{7} \approx 0.571 \end{align}\]
\[\begin{align} \text { área } & =\int_{0}^{1}\left(x^{2}-x^{5 / 2}\right) d x \\ & =\left[\frac{1}{3} x^{3}-\frac{2}{7} x^{\frac{7}{2}}\right]_{0}^{1} \\ & =\frac{1}{3}-\frac{2}{7}=\frac{1}{21} \approx 0.0476 \end{align}\]
Ejercicio 19.6. Halle el volumen de un cono de radio de base \(r\), y de altura \(h\).
Respuesta
\(\text{Volumen} = \pi r^2 \dfrac{h}{3}\).
Solución
Si la línea \(y=\frac{r}{h} x\) rota alrededor del eje \(x\), crea un cono de radio de base \(r\), y de altura \(h\).
Solo necesitamos calcular el volumen de este sólido de revolución.
El volumen de este disco delgado es \(\pi\left(\dfrac{r}{h} x\right)^{2} d x\)
Por lo tanto, si sumamos los volúmenes de dichos discos delgados, obtenemos el volumen del sólido (cono)
\[\begin{align} \text { Volumen } & =\int_{0}^{h} \pi\left(\frac{r}{h} x\right)^{2} d x \\ & =\frac{\pi r^{2}}{h^{2}} \int_{0}^{h} x^{2} d x=\frac{\pi r^{2}}{h^{2}}\left[\frac{1}{3} x^{3}\right]_{0}^{h} \\ & =\frac{1}{3}\left(\pi r^{2}\right) h \end{align}\]
Ejercicio 19.7. Halle el área de la curva \(y=x^3-\ln x\) entre \(x=0\) y \(x=1\).
Respuesta
\(1.25\).
Solución
\[\text { área }=\int_{0}^{1}\left(x^{3}-\ln x\right) d x=\int_{0}^{1} x^{3} d x-\int_{0}^{1} \ln x d x\]
Hemos aprendido que \(\displaystyle \int \ln x d x=x \ln x+x\). Por lo tanto
\[\text { área }=\left[\frac{1}{4} x^{4}-x \ln x+x\right]_{0}^{1}\]
Nótese que no podemos simplemente poner \(x=0\) en \(\frac{1}{4} x^{4}-x \ln x+x\) porque \(\ln 0\) no está definido. Sin embargo, si \(x\) es positivo pero muy cercano a \(0, x \ln x\) es cercano a 0. Por lo tanto
\[\begin{align} \text { área } & =\left(\frac{1}{4}-1 \times \ln 1+1\right)-(0-0+0) \\ & =\frac{5}{4}=1.25 \end{align}\]
Ejercicio 19.8. Halle el volumen generado por la curva \(y=\sqrt{1+x^2}\), al girar alrededor del eje \(x\), entre \(x=0\) y \(x=4\).
Respuesta
\(\dfrac{76}{3}\pi\approx 79.6\).
Solución
\[\begin{align} d V & =\pi\left(\sqrt{1+x^{2}}\right)^{2} d x \\ & =\pi\left(1+x^{2}\right) d x \end{align}\]
El volumen total es
\[\begin{align} V & =\int_{0}^{4} \pi\left(1+x^{2}\right) d x \\ & =\pi\left[x+\frac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{4} \\ & =\frac{76}{3} \pi \approx 79.6 \end{align}\]
Ejercicio 19.9. Halle el volumen generado por una curva seno al girar alrededor del eje \(x\) (\(0\leq x\leq \pi\)).
Respuesta
\(\text{Volumen} = \dfrac{\pi^2}{2}\approx 4.9348\).
Solución
\[\begin{align} & d V=\pi \sin ^{2} x\, d x \\ V & =\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \pi \sin ^{2} x\, d x \\ = & \pi \int_{0}^{\pi} \frac{1-\cos 2 x}{2}\, d x \\ = & \frac{\pi}{2}\left[x-\frac{1}{4} \sin 2 x\right]_{0}^{\pi} \\ = & \frac{\pi}{2}(\pi-0)=\frac{\pi^{2}}{2} \approx 4.9348 \end{align}\]
Ejercicio 19.10. Halle el área de la porción de la curva \(xy=a\) comprendida entre \(x=1\) y \(x = a\). Halle la ordenada media entre estos límites.
Respuesta
\(a\ln a\),\(\dfrac{a}{a - 1} \ln a\).
Solución
\[\begin{align} \text { Área } & =\int_{1}^{a} y d x \\ & =\int_{1}^{a} \frac{a}{x} d x \\ & =\big[a \ln x\big]_{x=1}^{x=a} \\ & =a \ln a \end{align}\]
\[\begin{align} \text { media de } y & =\frac{1}{a-1} \int_{1}^{a} y d x \\ & =\frac{a}{a-1} \ln a \end{align}\]
Ejercicio 19.11. Demuestre que la media cuadrática de la función \(y=\sin x\), entre los límites de \(0\) y \(\pi\) radianes, es \(\dfrac{\sqrt2}{2}\). Halle también la media aritmética de la misma función entre los mismos límites; y demuestre que el factor de forma es \(=1.11\).
Solución
Recuerde que \[\text { Media cuadrática }=\sqrt{\frac{1}{L} \int_{0}^{L} y^{2} d x}\]
Así
\[\begin{align} \text { Media cuadrática } & =\sqrt{\frac{1}{\pi} \int_0^\pi \sin ^2 x\ d x} \\ & =\sqrt{\frac{1}{\pi} \int_0^\pi \frac{1-\cos 2 x}{2}\ d x} \\ & =\sqrt{\frac{1}{\pi}\left[\frac{x}{2}-\frac{1}{4} \sin 2 x\right]_0^\pi} \\ & =\sqrt{\frac{1}{\pi} \frac{\pi}{2}}=\\ & = \frac{1}{\sqrt{2}} \approx 0.707 \end{align}\]
\[\begin{align} \text { Media aritmética } & =\frac{1}{L} \int_0^L y\ d x \\ & =\frac{1}{\pi} \int_0^\pi \sin x\ d x \\ & =\left[-\frac{1}{\pi} \cos x\right]_0^\pi\\ & =\frac{2}{\pi} \approx 0.637 \end{align}\]
\[\text { Factor de forma } \approx \frac{0.707}{0.637} \approx 1.11\]
Ejercicio 19.12. Halle las medias aritmética y cuadrática de la función \(x^2+3x+2\), desde \(x=0\) hasta \(x=3\).
Respuesta
\(\text{Media aritmética} = 9.5\); \(\text{media cuadrática} \approx 10.85\).
Solución
\[\begin{align} \text { Media aritmética } & =\frac{1}{3} \int_{0}^{3} y\, d x \\ & =\frac{1}{3} \int_{0}^{3}\left(x^{2}+3 x+2\right) d x \\ & =\frac{1}{3}\left[\frac{1}{3} x^{3}+\frac{3}{2} x^{2}+2 x\right]_{0}^{3} \\ & =\frac{19}{2}=9.5 \end{align}\]
\[\begin{align} y= & x^{2}+3 x+2,0 \leq x \leq 3 \\ \text { Media cuadrática } & =\sqrt{\frac{1}{3} \int_{0}^{3} y^{2} d x} \\ & =\sqrt{\frac{1}{3} \int_{0}^{3}\left(x^{4}+9 x^{2}+4+6 x^{3}+4 x^{2}+12 x\right) d x} \\ & =\sqrt{\frac{1}{3}\left[\frac{x^{5}}{5}+3 x^{3}+4 x+\frac{3}{2} x^{4}+\frac{4}{3} x^{3}+6 x^{2}\right]_{0}^{3}} \\ & =\sqrt{\frac{1}{3} \times \frac{3531}{10}} \approx \sqrt{117.7} \approx 10.85 \end{align}\]
Ejercicio 19.13. Halle la media cuadrática y la media aritmética de la función \(y=A_1 \sin x + A_3 \sin 3x\) (\(0\leq x\leq 2\pi\)).
Respuesta
\(\text{Media cuadrática} = \dfrac{1}{\sqrt{2}} \sqrt{A_1^2 + A_3^2}\); \(\text{media aritmética} = 0\).
Solución
Media cuadrática \(=\sqrt{\frac{1}{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi}\left(A_{1} \sin x+A_{3} \sin 3 x\right)^{2} d x}\)
Para hallar \(\int_{0}^{2 \pi}\left(A_{1} \sin x+A_{3} \sin 3 x\right)^{2}\, d x\), expandimos la expresión. Es decir, evaluamos
\[\int_{0}^{2 \pi}\left(A_{1}^{2} \sin ^{2} x+2 A_{1} A_{3} \sin x \sin 3 x+A_{3}^{2} \sin ^{2} 3 x\right) d x\]
Ahora integramos término por término. Primero, \[\begin{align} \int_{0}^{2 \pi} \sin ^{2} x d x&=\int_{0}^{2 \pi} \frac{1-\cos 2 x}{2} d x\\ &=\left[\frac{x}{2}-\frac{1}{4} \sin 2 x\right]_{0}^{2 \pi}\\ &=\pi \end{align}\]
Para evaluar \(\int_{0}^{2 \pi} \sin x \sin 3 x d x\), usamos la fórmula de producto a suma:
\[\sin M \sin N=\frac{1}{2}[\cos (M-N)-\cos (M+N)]\]
Por lo tanto,
\[\begin{align} \int_{0}^{2 \pi} \sin x \sin 3 x\, d x & =\int_{0}^{2 \pi} \frac{1}{2}[\cos 2 x-\cos 4 x]\, d x \\ & =\left[\frac{1}{4} \sin 2 x-\frac{1}{8} \sin 4 x\right]_{0}^{2 \pi} \\ & =0 \end{align}\]
Ahora el último término: \[\begin{align} \int_{0}^{2 \pi} \sin ^{2} 3 x d x & =\int_{0}^{\pi} \frac{1-\cos 6 x}{2} d x \\ & =\left[\frac{x}{2}-\frac{1}{12} \sin 6 x\right]_{0}^{2 \pi} \\ & =\pi . \end{align}\]
Por lo tanto, la media cuadrática es \[\begin{align} & \sqrt{\frac{1}{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi}\left(A_{1}^{2} \sin ^{2} x+2 A_{1} A_{3} \sin x \sin 3 x+A_{3}^{2} \sin ^{2} 3 x\right) d x} \\ & =\sqrt{\frac{1}{\pi}\left[A_{1}^{2} \int_{0}^{\pi} \sin ^{2} x d x+2 A_{1} A_{3} \int_{0}^{\pi} \sin x \sin 3 x d x+A_{3}^{2} \int_{0}^{\pi} \sin ^{2} 3 x d x\right]} \\ & =\sqrt{\frac{1}{2 \pi}\left[A_{1}^{2} \times \pi+2 A_{1} A_{2} \times 0+A_{3}^{2} \times \pi\right]} \\ & =\sqrt{\frac{1}{2}\left(A_{1}^{2}+A_{3}^{2}\right)} \end{align}\]
\[\begin{align} \text { Media aritmética } &=\frac{1}{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi}\left(A_{1} \sin x+A_{3} \sin 3 x\right) d x \\ & =\frac{1}{2 \pi}\left[-A_{1} \cos x-\frac{A_{3}}{3} \cos 3 x\right]_{0}^{2 \pi} \\ & =0 . \end{align}\]
Ejercicio 19.14. Cierta curva tiene la ecuación \(y=3.42e^{0.21x}\). Halle el área comprendida entre la curva y el eje \(x\), desde la ordenada en \(x=2\) hasta la ordenada en \(x = 8\). Halle también la altura de la ordenada media de la curva entre estos puntos.
Respuesta
El área es aproximadamente \(62.6\) unidades cuadradas. La ordenada media es aproximadamente \(10.43\).
Solución
\[\begin{align} \text { Área } & =\int_{2}^{8} 3.42 e^{0.21 x} d x \\ & =\left[\frac{3.42}{0.21} e^{0.21 x}\right]_{2}^{8} \\ & =\frac{3.42}{0.21}\left(e^{1.68}-e^{0.42}\right) \approx 62.6 \\ \text { ordenada media } & =\frac{1}{8-2} \int_{0}^{8} y d x \\ & =\frac{1}{6} \times 62.6 \approx 10.43 \end{align}\]
Ejercicio 19.15. Demuestre que el radio de un círculo, cuya área es el doble del área de un diagrama polar, es igual a la media cuadrática de todos los valores de \(r\) para ese diagrama polar.
Solución
\[\text { Área del círculo }=\pi R^{2}=2 \times \frac{1}{2} \int_{0}^{2 \pi} r^{2} d \theta\]
Media cuadrática de \(r=\sqrt{\frac{1}{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi} r^{2} d \theta}\)
\[=\sqrt{\frac{1}{2 \pi} \pi R^{2}}=\frac{R}{\sqrt{2}} \text {. }\]
Ejercicio 19.16. Halle el volumen generado por la rotación de la curva \(y=\pm\dfrac{x}{6}\sqrt{x(10-x)}\) alrededor del eje \(x\).
Respuesta
\(436.3\). (Este sólido tiene forma de pera.)
Solución
\[\begin{align} & d V=\pi \cdot\left[\frac{x}{6} \sqrt{x(10-x)}\right]^{2} d x=\frac{\pi}{36} x^{2}[x(10-x)] d x \\ V & =\int_{0}^{10} \frac{\pi}{36} x^{3}(10-x) d x \\ & =\frac{\pi}{36}\left[\frac{10}{4} x^{4}-\frac{1}{5} x^{5}\right]_{0}^{10} \\ & =\frac{1250 \pi}{9} \approx 436.33 \end{align}\]
