"Maxima et Minima"

Translate the following HTML content into French. Preserve all HTML tags and structure exactly. Only translate the text content. Content: ```html

L'une des principales utilisations du processus de différenciation est de déterminer dans quelles conditions la valeur de ce qui est différencié atteint un maximum ou un minimum. Cela est souvent extrêmement important dans les questions d'ingénierie, où il est très souhaitable de savoir quelles conditions rendront le coût de fonctionnement minimal ou l'efficacité maximale.

Maintenant, pour commencer avec un cas concret, prenons l'équation \[y = x^2 - 4x + 7.\]

En assignant un certain nombre de valeurs successives à \(x\), et en trouvant les valeurs correspondantes de \(y\), nous pouvons facilement voir que l'équation représente une courbe avec un minimum.

Ces valeurs sont tracées dans la figure suivante, qui montre que \(y\) a apparemment une valeur minimale de \(3\), lorsque \(x\) est égal à \(2\). Mais êtes-vous sûr que le minimum se produit à \(2\), et non à \(2 \frac{1}{4}\) ou à \(1 \frac{3}{4}\)?

Bien sûr, il serait possible avec n'importe quelle expression algébrique de développer beaucoup de valeurs, et de cette manière arriver progressivement à la valeur particulière qui peut être un maximum ou un minimum.

Voici un autre exemple :

Soit \(y = 3x - x^2\).

Calculez quelques valeurs ainsi :

Tracez ces valeurs comme dans la figure suivante.

Il sera évident qu'il y aura un maximum quelque part entre \(x = 1\) et \(x = 2\); et il semble que la valeur maximale de \(y\) devrait être d'environ \(2 \frac{1}{4}\). Essayez quelques valeurs intermédiaires. Si \(x = 1 \frac{1}{4}\), \(y = 2.187\); si \(x = 1 \frac{1}{2}\), \(y = 2.25\); si \(x = 1.6\), \(y = 2.24\). Comment peut-on être sûr que \(2.25\) est le véritable maximum, ou qu'il se produit exactement lorsque \(x = 1 \frac{1}{2}\)?

Maintenant, cela peut sembler faire de la prestidigitation d'être assuré qu'il existe un moyen par lequel on peut arriver directement à une valeur maximale (ou minimale) sans faire beaucoup d'essais préliminaires ou de conjectures. Et ce moyen dépend de la différenciation. Regardez en arrière au chapitre précédent pour les remarques concernant la Fig. 10.8 et Fig. 10.9, et vous verrez que chaque fois qu'une courbe atteint soit son maximum soit sa hauteur minimale, à ce point son \(\dfrac{dy}{dx} = 0\). Maintenant, cela nous donne l'indice pour l'astuce qui est souhaitée. Lorsqu'une équation vous est présentée, et que vous souhaitez trouver cette valeur de \(x\) qui rendra son \(y\) un minimum (ou un maximum), différenciez-la d'abord, et une fois que cela est fait, écrivez son \(\dfrac{dy}{dx}\) comme égal à zéro, puis résolvez pour \(x\). Mettez cette valeur particulière de \(x\) dans l'équation originale, et vous obtiendrez alors la valeur requise de \(y\). Ce processus est communément appelé “mettez égal à zéro.”

Voyons à quel point cela fonctionne simplement, prenons l'exemple avec lequel ce chapitre s'ouvre.

```