Dérivées des fonctions trigonométriques

(i) \(\dfrac{dy}{d\theta} = A \cos \left( \theta - \dfrac{\pi}{2} \right)\);

(ii) \(\dfrac{dy}{d\theta} = 2\sin\theta \cos\theta = \sin2\theta\) et \(\dfrac{dy}{d\theta} = 2\cos2\theta\);

(iii) \(\dfrac{dy}{d\theta} = 3\sin^2 \theta \cos\theta\) et \(\dfrac{dy}{d\theta} = 3\cos3\theta\).

(i) \(\displaystyle y=A \sin \left(\theta-\frac{\pi}{2}\right)\)

Nous écrivons \[y=A \sin u \quad \text { où }\quad u=\theta-\frac{\pi}{2}\] En utilisant la règle de la chaîne: \[\begin{align} \frac{d y}{d \theta}&= \frac{d y}{d u} \cdot \frac{d u}{d \theta} \\ & =(A \cos u)(1) \\ & =A \cos \left(\theta-\frac{\pi}{2}\right) \end{align}\]

(ii) Si \(y =\sin ^{2} \theta=(\sin \theta)^{2}\)

Soit \[y =u^{2} \quad \text { où }\quad u=\sin \theta\] En utilisant la règle de la chaîne: \[\begin{align} \frac{d y}{d \theta} & =\frac{d y}{d u} \cdot \frac{d u}{d \theta} \\ & =2 u \cdot \cos \theta \\ & =2 \sin \theta \cos \theta \end{align}\] Le résultat peut aussi être écrit comme \(\sin 2 \theta\) puisque \(\sin 2 \theta=2 \sin \theta \cos \theta.\)

Si \(y=\sin 2 \theta\), alors soit \[y=\sin u\quad \text { où }\quad u=2 \theta.\] En utilisant la règle de la chaîne: \[\begin{align} \frac{d y}{d \theta}&=\frac{d y}{d u} \cdot \frac{d u}{d \theta} \\ &=(\cos u)(2) \\ &=2 \cos (2 \theta) \end{align}\] Si \(y=\sin ^{3} \theta=(\sin \theta)^{3}\), nous écrivons \[y=u^{3}\quad \text{où}\quad u=\sin \theta\] Alors en utilisant la règle de la chaîne \[\begin{align} \frac{d y}{d \theta}&=\frac{d y}{d u} \cdot \frac{d u}{d \theta} \\ &=3 u^{2} \cdot \cos \theta \\ &=3(\sin \theta)^{2} \cdot \cos \theta \\ &=3 \cos \theta \sin ^{2} \theta \\ &=(\cos u) \cdot(3) \\ &=3 \cos 3 \theta \cdot \sin 3 \theta \end{align}\] Si \(y=\sin 3\theta\), nous écrivons \[y=\sin u\quad\text{où}\quad u=3\theta\] Alors \[\begin{align} \frac{dy}{d \theta}&=\frac{d y}{d u} \cdot \frac{d u}{d \theta} \\ &=(\cos u)(3)\\ &=3\cos {3\theta} \end{align}\]

\(\theta = 45^\circ\) ou \(\dfrac{\pi}{4}\) radians.

\[y=\sin \theta \cos \theta\]

Méthode 1) En utilisant la règle du produit:

\[\begin{align} \frac{d y}{d \theta}&=\cos \theta \cdot \cos \theta-\sin \theta \sin \theta \\ &=\cos ^{2} \theta-\sin ^{2} \theta \\ &=\cos 2 \theta \end{align}\] \[\frac{d y}{d \theta}=\cos 2 \theta=0\ \Leftrightarrow\ 2 \theta=\frac{\pi}{2}\ \text { ou }\ 2 \theta=\frac{3 \pi}{2}\] \[\frac{d y}{d \theta}=0\quad \Leftrightarrow \quad \theta=\frac{\pi}{4} \quad \text { ou } \quad \theta=\frac{3 \pi}{4}\] \[\begin{align} \frac{d^{2} y}{d \theta^{2}}&= \frac{d(\cos 2 \theta)}{d(2 \theta)} \cdot \frac{d(2 \theta)}{d \theta} \\ &=(-\sin 2 \theta)(2) \\ &=-2 \sin 2 \theta \end{align}\] Quand \(\theta=\dfrac{\pi}{4}\) \[\frac{d^{2} y}{d \theta^{2}}=-2<0\] Donc, la courbe est concave vers le bas, et ainsi quand \(\theta=\dfrac{\pi}{4}\), \(y\) a un maximum de \[\sin \left(\frac{\pi}{4}\right) \cos \left(\frac{\pi}{4}\right)=\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{1}{2}.\]

Quand \(\theta=\dfrac{3 \pi}{4}\) \[\frac{d^{2} y}{d \theta^{2}}=-2 \sin \left(\frac{3 \pi}{2}\right)=2>0\] donc, la courbe est concave vers le haut et ainsi quand \(\theta=\dfrac{3 \pi}{4}\), \(y\) a un minimum de \[\begin{align} \sin \left(\frac{3 \pi}{4}\right) \cos \left(\frac{3 \pi}{4}\right) & =\sin \left(\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{4}\right) \cos \left(\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{4}\right) \\ & =\cos \left(\frac{\pi}{4}\right) \times\left(-\sin \left(\frac{\pi}{4}\right)\right) \\ & =\frac{1}{\sqrt{2}} \times \frac{-1}{\sqrt{2}} \\ & =-\frac{1}{2}. \end{align}\]

Méthode 2)

\[y=\sin \theta \cdot \cos \theta=\frac{1}{2} \sin 2 \theta\] \(y\) est un maximum où que \(\sin 2 \theta\) soit un maximum et cela se produit quand \[2 \theta=\frac{\pi}{2} \text { ou } \quad \theta=\frac{\pi}{4}\] Le maximum de \(y\) est alors \(\frac{1}{2} \cdot \sin \left(\frac{\pi}{2}\right)=\frac{1}{2}\).

\(\dfrac{dy}{dt} = -n \sin 2\pi nt\).

\[y=\frac{1}{2 \pi} \cos (2 \pi n t)\] Nous écrivons \[y=\frac{1}{2 \pi} \cos u \quad \text { où }\quad u=2 \pi n t\] \[\begin{align} \frac{d y}{d t} &= \frac{d y}{d u} \cdot \frac{d u}{d t} \\ &=-\frac{1}{2 \pi} \sin u \cdot 2 \pi n \\ &=-n \sin u \\ &= n \sin (2 \pi n t) \end{align}\]

\(a^x \ln a \cos a^x\).

\[y=\sin \left(a^{x}\right)\] Soit \(y=\sin u\) où \(u=a^{x}\). Alors \[\begin{align} \frac{d y}{d x} & =\frac{d y}{d u} \cdot \frac{d u}{d x} \\ & =\cos u \cdot a^{x} \cdot \ln a \\ & =\cos \left(a^{x}\right) \cdot a^{x} \cdot \ln a \end{align}\]

\(\dfrac{\cos x}{\sin x} = \cot x\)

\[y=\ln \cos x\]

Nous écrivons \(y=\ln u\) où \(u=\cos x\). Alors

\[\begin{align} \frac{d y}{d x} & =\frac{d y}{d u} \cdot \frac{d u}{d x} \\ & =\frac{1}{u} \cdot(-\sin x) \\ & =\frac{1}{\cos x}(-\sin x) \\ & =-\tan x \end{align}\]

\(18.2 \cos \left(x + 26 \right)\).

\[y=18.2 \sin (x+26)\]

Nous écrivons \(y=18.2 \sin u\) où \(u=x+26\). Alors

\[\begin{align} \frac{d y}{d x} & =\frac{d y}{d u} \cdot \frac{d u}{d x} \\ & =(18.2 \cos u)(1) \\ & =18.2 \cos (x+26) \end{align}\]

La pente est \(\dfrac{dy}{d\theta} = 100\cos\left(\theta -\frac{\pi}{12} \right)\), qui est un maximum quand \((\theta -\frac{\pi}{12}) = 0\), ou \(\theta = \frac{\pi}{12}\); la valeur de la pente étant alors \({}= 100\). Quand \(\theta = \frac{5\pi}{12}\) la pente est \(100\cos\left(\frac{5\pi}{12} - \frac{\pi}{12}\right) = 100\cos \frac{\pi}{3} = 100 \times \frac{1}{2} = 50\).

\[\begin{align} & y=10 \sin \left(\theta-\frac{\pi}{12}\right) \\ & \frac{d y}{d \theta}=10 \cos \left(\theta-\frac{\pi}{12}\right) \end{align}\]

Pour trouver la pente maximale, nous devons différencier \(\dfrac{d y}{d \theta}\) par rapport à \(\theta\) et égaler le résultat à zéro

\[\frac{d\left(\dfrac{d y}{d \theta}\right)}{d \theta}=\frac{d^{2} y}{d \theta^{2}}=-10 \sin \left(\theta-\frac{\pi}{12}\right)=0\]

\[\begin{align} \frac{d^{2} y}{d \theta^{2}}=0\quad\Leftrightarrow &\quad \theta-\frac{\pi}{12}=0 \quad \text { ou } \quad \theta-\frac{\pi}{12}=\pi \\ \frac{d^{2} y}{d \theta^{2}}=0\quad \Leftrightarrow &\quad \theta=\frac{\pi}{12} \quad \text { ou } \quad \theta=\frac{13 \pi}{12} \end{align}\]

Quand \(\theta=\dfrac{\pi}{12}\) \[\frac{d y}{d \theta}=10 \cos 0=10\quad (\text {pente max})\]

Quand \(\theta=\dfrac{13 \pi}{12}\) \[\frac{d y}{d \theta}=10 \cos (\pi)=-10 \quad (\text {pente min})\]

Pente quand \(\theta=\dfrac{5 \pi}{12}\): \[\begin{align} \frac{d y}{d \theta} & =10 \cos \left(\frac{5 \pi}{12}-\frac{\pi}{12}\right)=10 \cos \left(\frac{\pi}{3}\right) \\ & =10 \times \frac{1}{2}=5 . \end{align}\] Comme nous pouvons le voir, la pente de la courbe à \(\theta=\frac{5 \pi}{12}\), qui est 5, est la moitié de la pente maximale, qui est 10 et se produit quand \(\theta=\frac{\pi}{12}.\)

\[\begin{align} \cos\theta \sin2\theta + 2\cos2\theta \sin\theta &= 2\sin\theta\left(\cos^2 \theta + \cos2\theta\right) \\ &= 2\sin\theta\left(3\cos^2 \theta - 1\right). \end{align}\]

\[y=\sin \theta \cdot \sin 2 \theta\]

En utilisant la règle du produit:

\[\frac{d y}{d \theta}=\frac{d(\sin \theta)}{d \theta} \cdot \sin 2 \theta+\sin \theta \frac{d(\sin 2 \theta)}{d \theta}\]

Nous avons montré dans l'exercice 1 (ii) \(\dfrac{d(\sin 2 \theta)}{d \theta}=2 \cos 2 \theta\).

Par conséquent

\[\frac{d y}{d \theta}=\cos \theta \cdot \sin 2 \theta+2 \sin \theta \cos 2 \theta\]

Nous pouvons simplifier cela davantage en utilisant

\[\sin 2 \theta=2 \sin \theta \cos \theta\] et \[\cos 2 \theta=2 \cos ^{2} \theta-1.\]

\[\begin{align} \frac{d y}{d \theta} & =2 \sin \theta \cos ^{2} \theta+2 \sin \theta\left(2 \cos ^{2} \theta-1\right) \\ & =2 \sin \theta\left(\cos ^{2} \theta+2 \cos ^{2} \theta-1\right) \\ & =2 \sin \theta\left(3 \cos ^{2} \theta-1\right) . \end{align}\]

\(amn\theta^{n-1} \tan^{m-1}\left(\theta^n\right)\sec^2 \theta^n\).

\[y=a \tan ^{m}\left(\theta^{n}\right)=a\left[\tan \left(\theta^{n}\right)\right]^{m}\] Nous écrivons \[y=a u^{m}\quad\text{ où }\quad u=\tan v\ \text{ et }\ v=\theta^{n}.\] Alors

\[\begin{align} & \frac{d y}{d \theta}=\frac{d y}{d u} \cdot \frac{d u}{d v} \cdot \frac{d v}{d \theta} \\ &=a m u^{m-1} \cdot \sec ^{2} v \cdot n \cdot \theta^{n-1} \\ &=a m (\tan v)^{m-1} \cdot \sec ^{2} v \cdot n \cdot \theta^{n-1} \\ &=a \cdot m \cdot n \cdot\left[\tan \left(\theta^{n}\right)\right]^{m-1} \cdot \sec ^{2}\left(\theta^{n}\right) \cdot \theta^{n-1} \end{align}\] Notez que \(\sec ^{2}\left(\theta^{n}\right)\) signifie \(\left[\sec \left(\theta^{n}\right)\right]^{2}\) et \(\left[\tan \left(\theta^{n}\right)\right]^{m-1}\) peut être écrite comme \(\tan ^{m-1}\left(\theta^{n}\right)\). Donc \[\frac{d y}{d \theta}=a m n \theta^{n-1} \tan ^{m-1}\left(\theta^{n}\right) \sec ^{2}\left(\theta^{n}\right)\]

\(e ^x \left(\sin^2 x + \sin2x\right)\); \(e ^x \left(\sin^2 x + 2\sin2x + 2\cos2x\right)\).

\[y=e^{x} \sin ^{2} x=e^{x}(\sin x)^{2}\]

\[\frac{d y}{d x}=\frac{d\left(e^{x}\right)}{d x} \sin ^{2} x+e^{x} \frac{d\left(\sin ^{2} x\right)}{d x}\]

Pour trouver \(\dfrac{d\left(\sin ^{2} x\right)}{d x}\), nous remarquons que

\[\sin ^{2} x=(\sin x)^{2}\]

et

\[\begin{align} \frac{d\left(u^{2}\right)}{d x} & =\frac{d\left(u^{2}\right)}{d u} \cdot \frac{d u}{d x} \qquad(u=\sin x) \\ & =2 u \cdot \cos x \\ & =2 \sin x \cos x \\ & =\sin 2 x \end{align}\] Par conséquent \[\begin{align} \frac{d y}{d x} & =\frac{d\left(e^{x}\right)}{d x} \sin ^{2} x+e^{x} \frac{d\left(\sin ^{2} x\right)}{d x} \\ & =e^{x} \sin ^{2} x+e^{x} \sin 2 x \\ & =e^{x}\left(\sin ^{2} x+\sin 2 x\right) \end{align}\]

La seconde dérivée : \[\begin{align} \frac{d y}{d x}&= \frac{d\left(e^{x}\left(\sin ^{2} x+\sin 2 x\right)\right)}{dx}\\ &=\frac{d(e^x)}{dx}\left(\sin ^{2} x+\sin 2 x\right)+e^x\left(\frac{d(\sin^2 x)}{dx}+\frac{d(\sin 2x)}{dx}\right)\\ &=e^x\left(\sin ^{2} x+\sin 2 x\right)+e^x\left(\underbrace{2\cos x \sin x}_{\sin 2x}+2\cos 2x\right)\\ &=e^x\left(\sin^2 x+2\sin 2x+2\cos 2x\right). \end{align}\]

\(\left(i\right) \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{ab}{\left(x + b\right)^2}\); (ii) \(\dfrac{a}{b} e ^{-\frac{x}{b}}\); (iii) \(\dfrac{2ab}{\pi}\cdot\dfrac{1}{\left(b^2 + x^2\right)}\).

(i) En utilisant la règle du quotient: \[\frac{d y}{d x}=\frac{a(x+b)-a x}{(x+b)^{2}}=\frac{a b}{(x+b)^{2}}\]

(ii) \(\dfrac{d y}{d x}=-a \times\left(-\frac{1}{b}\right) e^{-\frac{x}{b}}=\frac{a}{b} e^{-\frac{x}{b}}\)

(iii) Pour différencier \(y=\dfrac{2 a}{\pi} \arctan \left(\frac{x}{b}\right)\), nous écrivons \[y =\frac{2 a}{\pi} \arctan u \quad\text{où}\quad u=\frac{x}{b}.\] Puis \[\begin{align} \frac{d y}{d x} & =\frac{d y}{d u} \cdot \frac{d u}{d x} \\ & =\frac{2 a}{\pi} \frac{1}{1+u^{2}} \cdot \frac{1}{b} \\ & =\frac{2 a}{\pi b} \frac{1}{1+\left(\frac{x}{b}\right)^{2}} \\ & =\frac{2 a b}{\pi} \frac{1}{x^{2}+b^{2}} \end{align}\]

Quand \(x\) est très grand

\[\begin{align} & \frac{a b}{(x+b)^{2}} \approx \frac{a b}{x^{2}} \approx 0 \\ & \frac{a}{b} e^{-\frac{x}{b}} \approx \frac{a}{b} \times 0=0 \\ & \frac{2 a b}{x^{2}+b^{2}} \approx \frac{2 a b}{x^{2}} \approx 0 \end{align}\]

Par conséquent, leurs pentes sont presque nulles pour de grandes valeurs de \(x\).

Quand \(x \approx 0\) \[\begin{align} & \frac{a b}{(x+b)^{2}} \approx \frac{a b}{b^{2}}=\frac{a}{b} \\ & e^{-\frac{x}{b}} \approx 1 \Rightarrow \frac{a}{b} e^{-\frac{x}{b}} \approx \frac{a}{b} \\ & \frac{2 a b}{x^{2}+b^{2}} \approx \frac{2 a b}{b^{2}}=\frac{2 a}{b} \end{align}\] Quand \(x\) est petit (\(x\approx 0\)), les pentes de \(y=\frac{a x}{x+b}\) et \(y=a\left(1-e^{-\frac{x}{b}}\right)\) sont presque identiques, mais la pente de \(\frac{2 a}{\pi} \arctan \left(\frac{x}{b}\right)\) est deux fois plus grande qu'elles.

Quand \(x \approx b\) \[\begin{align} & \frac{a b}{(x+b)^{2}} \approx \frac{a b}{(2 b)^{2}}=\frac{a}{4 b} \\ & \frac{a}{b} e^{-\frac{x}{b}} \approx \frac{a}{b} \cdot e^{-1}=\frac{a}{2.78 b} \\ & \frac{2 a b}{x^{2}+b^{2}} \approx \frac{2 a b}{2 b^{2}}=\frac{a}{b} . \end{align}\]

(i) \(\dfrac{dy}{dx} = \sec x \tan x\);

(ii) \(\dfrac{dy}{dx} = - \dfrac{1}{\sqrt{ 1 - x^2}}\);

(iii) \(\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{1}{ 1 + x^2}\);

(iv) \(\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{1}{|x| \sqrt{ x^2 - 1}}\);

(v) \(\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{\sqrt{ 3\sec x} \left(3\sec^2 x - 1\right)}{2}\).

(i) \(y=\sec x=\dfrac{1}{\cos x}\)
En utilisant la règle du quotient \[\begin{align} \frac{d y}{d x} & =\frac{-(-\sin x)}{\cos ^{2} x}=\frac{\sin x}{\cos x} \cdot \frac{1}{\cos x} \\ & =\tan x \cdot \sec x . \end{align}\]

(ii) \(y=\arccos x\) (ou \(y=\cos ^{-1} x\) )

Si \(y=\arccos x\), alors \(x=\cos y\) et \[\frac{d x}{d y}=-\sin y\]

\[\begin{align} \frac{d y}{d x} & =\frac{1}{\frac{d x}{d y}} \\ & =\frac{1}{-\sin y} \end{align}\] Puisque \(\sin y= \pm \sqrt{1-\cos ^{2} y}\) \[\frac{d y}{d x}=\frac{1}{-\sqrt{1-\cos ^{2} y}}\] Puisque \(x=\cos y\) \[\frac{d y}{d x}=\frac{1}{\mp \sqrt{1-x^{2}}}\] Mais lequel est correct? Le signe \(-\) ou le signe \(+\)? Si nous regardons le graphe de \(y=\arccos x\), la pente est négative partout.

Donc \[\frac{d(\arccos x)}{d x}=\frac{-1}{\sqrt{1-x^{2}}}\]

(iii) Si \(y=\arctan x\), alors \(x=\tan y\) et

\[\frac{d x}{d y}=1+\tan ^{2} y \quad\left(\text { ou } \sec ^{2} y\right)\] Par conséquent,

\[\begin{align} \frac{d y}{d x} & =\frac{1}{\dfrac{d x}{d y}} \\ & =\frac{1}{1+\tan ^{2} y} \\ & =\frac{1}{1+x^{2}} \end{align}\]

(iv) Si \(y=\operatorname{arcsec} x\) alors \(x=\sec y\). Dans la partie (i), nous avons montré que

\[\frac{d x}{d y}=\tan y \cdot \sec y \text {. }\] Donc \[\begin{align} \frac{d y}{d x} & =\frac{1}{\dfrac{d x}{d y}} \\ & =\frac{1}{\tan y \cdot \sec y} \end{align}\] Puisque \(1+\tan ^{2} y=\sec ^{2} y \Rightarrow \tan y= \pm \sqrt{\sec ^{2} y-1}\), nous avons \[\begin{align} \frac{d y}{d x} & =\frac{1}{ \pm \sqrt{\sec ^{2} y-1} \cdot \sec y} \\ & =\frac{1}{ \pm x \sqrt{x^{2}-1}} . \end{align}\]

Maintenant, nous devons décider du signe.

Comme nous pouvons le voir sur le graphe \(y=\operatorname{arcsec} x\), la pente est toujours positive. Donc nous devons avoir

\[\begin{align} & \frac{d y}{d x}=\frac{1}{x \sqrt{x^{2}-1}} &&\text { si } x \geq 1 \\ & \frac{d y}{d x}=\frac{1}{-x \sqrt{x^{2}-1}} &&\text { si } x \leq-1 \end{align}\] Nous pouvons combiner ces deux et écrire \[\frac{d y}{d x}=\frac{1}{|x| \sqrt{x^{2}-1}}\]

(v) \(y=\tan x\times \sqrt{3 \sec x}=\sqrt{3}\, \tan x \cdot \sqrt{\sec x}\).

En utilisant la règle du produit: \[\frac{d y}{d x}=\sqrt{3}\left[\frac{d(\tan x)}{d x} \cdot \sqrt{\sec x}+\tan x \frac{d(\sqrt{\sec x})}{d x}\right]\]

Pour trouver \(\dfrac{d\left(\sqrt{\sec x}\right)}{d x}\), soit