Sumas, productos y recíprocos

Sean $f(x)$ y $g(x)$ funciones que tienen derivadas f'(x) y g'(x). Busquemos la derivada de la función $f(x)+g(x)$. El cociente incremental apropiado es

\begin{aligned} &\frac{(f(x+h) + g(x+h)) - (f(x) + g(x))}{h}\\ &\qquad = \frac{f(x+h) - f(x)}{h} + \frac{g(x+h) - g(x)}{h} . \end{aligned}

Cuando $h\to 0$, el primer término tiende a f'(x), el segundo a g'(x), y la suma a f'(x) + g'(x). Esto nos da la regla

\bbox[5px,border:1px solid black;background-color:#f2f2f2]{(f(x) + g(x))' = f'(x) + g'(x).}\tag{*}

Ahora sea $c$ un número, y formemos la función $cf(x)$. Su cociente incremental es

$$\frac{cf(x+h)-cf(x)}{h}=c\cdot \frac{f(x+h)-f(x)}{h}.$$

Cuando $h\to 0$, esto tiende a cf'(x), lo que nos da la regla

\bbox[5px,border:1px solid black;background-color:#f2f2f2]{(cf(x))' = cf'(x)}.\tag{**}

Sobre la base de las reglas (*) y (**) y los ejemplos (b) y (c), estamos listos para calcular la derivada de cualquier polinomio, es decir, cualquier función de la forma $a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_0$, donde $a_0,a_1,\dots ,a_n$ son números y $n$ es un entero positivo. Pues por b), la derivada de $a_0$ es 0, y por c) y (**), la de $a_i{x}^i$ es $i{a}_i{x}^{i-1}$ para $1\le i\le n$. Así podemos hallar la derivada de cada término de la suma. De (*) vemos que la derivada de una suma de dos términos es la suma de sus derivadas. Se sigue para tres términos, ya que

\begin{aligned} \left(f(x) + g(x) + h(x)\right)' &= \left(\left(f(x) + g(x)\right) + h(x)\right)'\\ &= (f(x) + g(x))' + h'(x) \\ &= (f'(x) + g'(x)) + h'(x)\\ &= f'(x) + g'(x) + h'(x) . \end{aligned}

Nótese que simplemente hemos usado (*) dos veces. Una repetición muestra que la regla vale para cuatro términos, y así sucesivamente para cualquier número deseado. Esta es una ocasión para el uso del principio de inducción, sobre el cual diremos más en la siguiente sección. Por lo tanto, hemos demostrado que si

$$f(x)=a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_o,$$

entonces

f'(x) = na_n x^{n-1} + (n-1)a_{n-1} x^{n-2} + \dots + 2 a_2 x + a_1 .

Así podemos derivar cualquier polinomio.

Ahora consideremos la función $f(x)g(x)$. Su cociente incremental es

$$\frac{f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x)}{h}$$

y no hay una forma directa obvia de atacar esto. Por lo tanto, debemos recurrir a medios algo indirectos, introduciendo un truco que a menudo es útil. Si el cociente incremental fuera

$$\frac{f(x+h)g(x+h)-f(x+h)g(x)}{h}=f(x+h)\cdot \frac{g(x+h)-g(x)}{h},$$

esto al menos contendría una expresión cuyo límite reconocemos. Pero si hubiéramos usado esto en lugar del cociente incremental original, habríamos tenido que corregirlo añadiendo su diferencia, o

\begin{array}{ccccc} \dfrac{f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x)}{h} & = & f(x+h) & \dfrac{g(x+h)-g(x)}{h} & + & \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} & g(x) \\ & & \downarrow & \downarrow & & \downarrow & \downarrow \\ & & f(x) & g'(x) & & f'(x) & g(x) \end{array}

Pero cuando $h\to 0$, las cantidades involucradas tienden a las expresiones indicadas por las flechas debajo de ellas. El único punto cuestionable aquí puede ser $f(x+h)\to f(x)$; esto expresa una propiedad llamada continuidad que poseen todas las funciones que tienen derivadas, y también muchas otras. Esto se discutirá con más detalle en el siguiente párrafo. Así, la expresión completa tiende a f(x)g'(x) + f'(x)g(x), y tenemos la regla

\bbox[5px,border:1px solid black;background-color:#f2f2f2]{(f(x)g(x))' = f(x)g'(x) + g(x)f'(x).}\tag{***}

Una función $f(x)$ se llama continua en $x_0$ si siempre que $x$ está cerca de $x_0$, entonces $f(x)$ está cerca de $f(x_0)$, o en otras palabras, si

$$\underset{h\to 0}{lim}f(x_0+h)=f(x_0).$$

Ahora supongamos que f'(x_0) existe. Entonces

\frac{f(x_0+h) - f(x_0)}{h} - f'(x_0) = \epsilon(h) ,

donde $ϵ(h)\to 0$ cuando $h\to 0$, y

\begin{array}{ccccccc} f(x_0 + h) - f(x_0) & = & h & f'(x_0) & + & h & \epsilon(h). \\ & & \downarrow & \downarrow & & \downarrow & \downarrow \\ & & 0 & f'(x_0) & & 0 & 0 \end{array}

Cuando $h\to 0$, las flechas indican los límites en el lado derecho. Así

$$\underset{h\to 0}{lim}(f(x_0+h)-f(x_0))=0,$$

o

$$\underset{h\to 0}{lim}f(x_0+h)=f(x_0).$$

Por lo tanto:

A continuación consideremos la función $\frac{1}{f(x)}$, donde $f(x)$ nunca es cero. El cociente incremental es

\begin{array}{l} \dfrac{\dfrac{1}{f(x+h)} - \dfrac{1}{f(x)}}{h} = \dfrac{\dfrac{f(x)-f(x+h)}{f(x+h)\cdot f(x)}}{h} \\[9pt] = -\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} \cdot \dfrac{1}{f(x+h)} \cdot \dfrac{1}{f(x)} \\ \phantom{{}={}-{}} \phantom{xxxx}\downarrow \phantom{xxxxxxxxxx} \downarrow \phantom{xxxxx} \downarrow \\ \phantom{{}={}-{}} \phantom{xxx}f'(x) \phantom{xxxxxxxx} \dfrac{1}{f(x)} \phantom{xxx} \dfrac{1}{f(x)} \end{array}

Cuando $h\to 0$, esto tiende a

- \frac{f'(x)}{\left(f(x)\right)^2} ,

de la manera indicada por las flechas. Por lo tanto, hemos derivado

\bbox[5px,border:1px solid black;background-color:#f2f2f2]{\left(\frac{1}{f(x)}\right)' = - \frac{f'(x)}{\left(f(x)\right)^2}.}\tag{****}

Se sigue que

\begin{aligned} \left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)' &= \left( f(x) \cdot \frac{1}{g(x)} \right)' \\[6pt] &= f(x) \cdot \left( - \frac{g'(x)}{(g(x))^2} \right) + f'(x) \cdot \frac{1}{g(x)} , \end{aligned}

o

\left( \frac{f(x)}{g(x)} \right)' = \frac{g(x)f'(x) - f(x)g'(x)}{(g(x))^2} .