La regla de la cadena

Sean $f(x)$ y $g(x)$ con derivadas, y consideremos la función compuesta $f(g(x))$. Desarrollaremos una regla para usar al diferenciar esta función, y esta regla extenderá enormemente la colección de funciones que podemos diferenciar. Por ejemplo, la función $y=\sqrt{x^2+1}$ puede escribirse como $f(g(x))$, donde $f(u)=\sqrt{u},g(x)=x^2+1$, y podemos diferenciar cada una de estas funciones.

El cociente de diferencias que debemos considerar es

$$\frac{f(g(x+h))-f(g(x))}{h}.$$

Si consideramos el rango de $g(x)$, es decir, el conjunto de valores de $g(x)$, como un conjunto de números del cual denotamos el general por $u$, primero consideramos la diferencia

\frac{f(u+k) - f(u)}{k} - f'(u) .

Para $k$ pequeño, esta expresión está cerca de 0. Lo ponemos sobre un denominador común y escribimos

\epsilon(k) = \frac{f(u+k) - f(u) - kf'(u)}{k} .

Entonces $ϵ(k)$ es un número que depende de $k$, y es pequeño cuando $k$ es pequeño. Por supuesto, $k=0$ está prohibido. Reescribamos esta ecuación como

f(u+k) - f(u) = k \epsilon(k) + k f'(u) .

Si eligiéramos cualquier número y lo llamáramos $ϵ(0)$, esta última ecuación sería verdadera para todo $k$, incluyendo $k=0$. Pero para hacer que $ϵ(k)$ sea pequeño con $k$, decidimos elegir el número 0 como el que llamaremos $ϵ(0)$. Así pues, definimos $ϵ(0)=0$.

En el cociente de diferencias original, escribamos $u=g(x)$, $u+k=g(x+h)$. Entonces $k=g(x+h)-g(x)$. Por la continuidad de $g(x)$, $k\to 0$ cuando $h\to 0$, y así $ϵ(k)\to 0$ cuando $h\to 0$. Ahora tenemos

\frac{f(g(x+h)) - f(g(x))}{h} = \frac{f(u+k) - f(u)}{h} = \frac{k \epsilon(k) + k f'(u)}{h}= \frac{g(x+h) - g(x)}{h} \cdot \epsilon(k) + \frac{g(x+h) - g(x)}{h} \cdot f'(u) .

Las cantidades involucradas se aproximan a los límites indicados cuando $h\to 0$. Por lo tanto, la expresión completa se aproxima a f'(u)g'(x), y tenemos la regla de la cadena:

\bbox[5px,border:1px solid black;background-color:#f2f2f2]{(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x).}

Ejercicio