Derivadas parciales

Ahora sea $f(x,y)$ una función de dos variables. Consideramos el problema de hallar las derivadas de $f(x,y)$. Por el momento, consideraremos dos tipos de derivadas: si $(x_0,y_0)$ es un punto, llamaremos derivada en $x_0$ de la función $g(x)=f(x,y_0)$ la derivada parcial de $f(x,y)$ con respecto a $x$ en $(x_0,y_0)$ y la escribiremos como

$$f_x(x_0,y_0),\text{o }\frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0)\cdot$$

Asimismo, la derivada parcial de $f(x,y)$ con respecto a $y$ en $(x_0,y_0)$, escrita como

$$f_y(x_0,y_0),\text{o }\frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)$$

es la derivada de la función $h(y)=f(x_0,y)$ en $y=y_0$. Así tenemos

$$f_x(x_0,y_0)=\underset{h\to 0}{lim}\frac{f(x_0+h,y_0)-f(x_0,y_0)}{h},$$$$f_y(x_0,y_0)=\underset{k\to 0}{lim}\frac{f(x_0,y_0+k)-f(x_0,y_0)}{k}\cdot$$

Entonces debería ser evidente lo que queremos decir con $f_{xx},f_{xy},f_{yx},f_{yy}$; por ejemplo, $f_{xy}(x_0,y_0)=(f_x{)}_y(x_0,y_0)$, o en palabras, la derivada parcial con respecto a $y$ de la derivada parcial con respecto a $x$ de $f(x,y)$. Para hallarla, debemos usar

\begin{aligned} f_{xy}(x_0, y_0) &= \lim_{k \to 0} \frac{f_x(x_0, y_0+k) - f_x(x_0, y_0)}{k} \\ &= \lim_{k \to 0} \lim_{h \to 0} \frac{\frac{f(x_0+h, y_0+k) - f(x_0, y_0+k)}{h} - \frac{f(x_0+h, y_0) - f(x_0, y_0)}{h}}{k} \\ &= \lim_{k \to 0} \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0+h, y_0+k) - f(x_0, y_0+k) - f(x_0+h, y_0) + f(x_0, y_0)}{hk} \cdot \end{aligned}

Nuestro numerador es así una combinación de los valores de la función en las cuatro esquinas del rectángulo mostrado abajo, con los signos correspondientes:

Asimismo,

$$f_{yx}(x_0,y_0)=\underset{h\to 0}{lim}\underset{k\to 0}{lim}\frac{f(x_0+h,y_0+k)-f(x_0+h,y_0)-f(x_0,y_0+k)+f(x_0,y_0)}{hk}\cdot$$

El hecho de que los dos términos que están involucrados al tomar los límites sean iguales no significa que los límites sean iguales; pues no estamos tomando el mismo límite en ambos casos. Por ejemplo, considérese

$$\underset{h\to 0}{lim}\underset{k\to 0}{lim}\frac{h^2-k^2}{h^2+k^2}=\underset{h\to 0}{lim}\frac{h^2}{h^2}=\underset{h\to 0}{lim}1=1\cdot$$

Por otra parte,

$$\underset{k\to 0}{lim}\underset{h\to 0}{lim}\frac{h^2-k^2}{h^2+k^2}=\underset{k\to 0}{lim}\frac{-k^2}{k^2}=\underset{k\to 0}{lim}-1=-1\cdot$$

Sí sabemos, por la existencia de $f_x$, que podemos aplicar el teorema del valor medio a $f(x,y)$ cuando se considera como una función de $x$ para $y$ fija. Así tenemos

$$f(x_0+h,y_0+k)-f(x_0,y_0+k)=h{f}_x(\xi ,y_0+k),$$

donde $\xi$ está entre $x_0$ y $x_0+h$, y

f(x_0 + h, y_0) - f(x_0, y_0) = h f_x(\xi', y_0),

donde \xi' está entre $x_0$ y $x_0+h$. Supongamos por el momento que \xi = \xi'; entonces el numerador en las expresiones cuyos límites son las derivadas parciales segundas mixtas es

$$h(f_x(\xi ,y_0+k)-f_x(\xi ,y_0))=hk{f}_{xy}(\xi ,\eta )$$

para algún $\eta$ entre $y_0$ y $y_0+k$. Así tendríamos, por instance,

$$f_{yx}(x_0,y_0)=\underset{h\to 0}{lim}\underset{k\to 0}{lim}{f}_{xy}(\xi ,\eta ),$$

donde $(\xi ,\eta )$ está en nuestro rectángulo. Entonces, si supiéramos que

$$\underset{h\to 0}{lim}\underset{k\to 0}{lim}{f}_{xy}(\xi ,\eta )=f_{xy}(x_0,y_0),$$

tendríamos el resultado de que

$$f_{xy}(x_0,y_0)=f_{yx}(x_0,y_0)\cdot$$

Sin embargo, esto no siempre es cierto. Se deja como ejercicio demostrar que para la función

f(x, y) =\left\{\begin{aligned} &\frac{4xy(x^2 - y^2)}{x^2 + y^2}, && (x, y) \neq (0, 0) \\ \\ &0, && (x, y) = (0, 0) \end{aligned}\right\} ,

tenemos $f_{xy}(0,0)=+4,f_{yx}(0,0)=-4$. Pero en este ejemplo, ni $f_{xy}$ ni $f_{yx}$ es continua en $(0,0)$. Si $f_{xy}$ es continua en $(x_0,y_0)$, entonces sí tenemos

$$\underset{h\to 0}{lim}\underset{k\to 0}{lim}{f}_{xy}(\xi ,\eta )=f_{xy}(x_0,y_0),$$

y habríamos demostrado $f_{xy}(x_0,y_0)=f_{yx}(x_0,y_0)$ si pudiéramos estar seguros de que \xi = \xi'. Pero podemos lograr esto:

Sea

$$g(x)=f(x,y_0+k)-f(x,y_0)\cdot$$

Entonces

$$g(x_0+h)-g(x_0)=f(x_0+h,y_0+k)-f(x_0+h,y_0)-f(x_0,y_0+k)+f(x_0,y_0)$$

es exactamente el numerador de la expresión que estamos considerando. Como $g(x)$ es derivable, con g'(x) = f_x(x, y_0 + k) - f_x(x, y_0), tenemos

g(x_0 + h) - g(x_0) = h g'(\xi),

donde $\xi$ está entre $x_0$ y $x_0+h$. Así

\begin{aligned} f(x_0 + h, y_0 + k) - f(x_0 + h, y_0) - &f(x_0, y_0 + k) + f(x_0, y_0) \\[6pt] &= h\bigg(f_x(\xi, y_0+k) - f_x(\xi, y_0)\bigg). \end{aligned}

Ahora bien, esto es igual a $hk{f}_{xy}(\xi ,\eta )$ para algún $\eta$ entre $y_0$ y $y_0+k$, y podemos terminar la demostración como cuando supusimos \xi = \xi'. Lo que hemos demostrado es lo siguiente:

En prácticamente todas las aplicaciones, sí tenemos $f_{yx}=f_{xy}$, por lo que verá esta propiedad usada con libertad en la mayoría de los libros.

EJERCICIOS