Sustitución

Tabla de Contenidos

23.1 INTRODUCCIÓN
- 23.1.1 Revelando la Primera Forma Fundamental
- 23.1.2 Factor de Distorsión e Integración, Otra Vez
23.2 CLASE
23.3 EJEMPLOS
EJERCICIOS

23.1 INTRODUCCIÓN

23.1.1 Revelando la Primera Forma Fundamental

Hemos introducido una noción general de derivada $d r$ de una función de $r : ℝ^{m} \to ℝ^{n}$ . El determinante $| det (\sqrt{d r^{T} d r}) |$ se llamó el factor de distorsión. En el caso de un mapa de $ℝ^{n} \to ℝ^{n}$ de la misma dimensión, el factor de distorsión es simplemente $| det (d r) |$ porque la ahora matriz cuadrada $d r^{T}$ tiene el mismo determinante que $d r$ y el determinante es multiplicativo. La primera forma fundamental $g = d r^{T} d r$ también se llama el tensor métrico. En la relatividad general juega un papel importante. Antes de comenzar, digamos que en lugar de usar $r : R \to S$ como un cambio de coordenadas, usaremos $Φ : R \to S$ , la razón es que $r$ se usará en coordenadas polares.

**Figura 1.** Los cambios de coordenadas incluso llegan a las noticias principales. Aquí hay una página de NBCnews de 2011 que informa sobre una "deformación del espacio-tiempo". La **sonda Gravity Probe B** (activa entre 2004 y 2010) llevaba dos giroscopios apuntando a una estrella. Los giroscopios experimentaron pequeños cambios en la rotación de espín que coincidían con las predicciones de la relatividad general.

23.1.2 Factor de Distorsión e Integración, Otra Vez

Describe un espacio en el que las distancias están deformadas: es la materia en el espacio la que produce un cambio de coordenadas que cambia la métrica. Cómo sucede esto está descrito por una complicada ecuación diferencial parcial, las ecuaciones de Einstein. Aquí volvemos a mirar el factor de distorsión. La razón es que cuando hacemos integración en otras coordenadas, el factor de distorsión entra en juego. Aprenderemos aquí cómo integrar en coordenadas polares o integrar en coordenadas esféricas.

23.2 CLASE

23.2.1 Teorema de Cambio de Variables

Si $Φ : R \to S, [\begin{array}{l} u \\ v \end{array}] \to [\begin{array}{l} x (u, v) \\ y (u, v) \end{array}]$ es un cambio de coordenadas, entonces el factor de distorsión se definió como $| d Φ | = | \det (d Φ) |$ , donde $d Φ (u, v) = [\begin{array}{ll} \partial_{u} x (u, v) & \partial_{v} x (u, v) \\ \partial_{u} y (u, v) & \partial_{v} y (u, v) \end{array}] .$ El teorema de cambio de variable es el mismo en todas las dimensiones. En la siguiente demostración, asumimos que $Φ$ es $C^{2}$ . Debido a Heine-Cantor, sabemos que existe $M_{n} \to 0$ con $| \frac{d^{2}}{d t^{2}} Φ (u_{0} + t v, v_{0} + t w) | \leq M_{n}$ para $\sqrt{v^{2} + w^{2}} \leq 1 / n$ y todo $(u_{0}, v_{0}) \in R$ .¹

Teorema 1. $\iint_{R} f (Φ (u, v)) | d Φ (u, v) | d u d v = \iint_{S} f (x, y) d x d y$ .

Demostración. Cubrimos $S$ con cubos $Q_{i j}$ como en la última clase. Entonces $\iint_{S} f (x, y) d x d y = \sum_{Q_{i j}} \iint_{Q_{i j} \cap S} f (x, y) d x d y \sim \sum_{i, j} f (\frac{i}{n}, \frac{j}{n}) \frac{1}{n^{2}} .$ Los cuadrados transformados $Φ (Q_{i j})$ están cerca de los paralelogramos $d Φ (Q_{i j})$ que tienen área $| d Φ (i / n, j / n) | / n^{2}$ . Ahora hacemos una expansión de Taylor cuadrática \begin{aligned} \Phi(x, y)=\Phi(x_{0}, y_{0})+d \Phi(x_{0}, y_{0})(x-x_{0}, y-y_{0})+d^{2} \Phi(x_{0}, y_{0})(x-x_{0}, y-y_{0})^{2} / 2 \end{aligned} en $(x_{0}, y_{0}) = (i / n, j / n)$ , donde $| d^{2} Φ (x_{0}, y_{0}) (x - x_{0}, y - y_{0})^{2} | \leq M_{n} .$ Sea $F = max_{(x, y) \in R} (| f (x, y) |)$ . Aplicando en cada dirección, Taylor con resto, vemos $| \int_{Φ (Q_{i j} \cap S)} f (x, y) d x d y - f (Φ (\frac{i}{n}, \frac{j}{n})) | d Φ (\frac{i}{n}, \frac{j}{n}) | \frac{1}{n^{2}} | \leq \frac{M_{n} F}{n^{2}}$ Como el número de cuadrados que tocan $R$ está acotado por $A n^{2} + 4 L n$ donde $A$ es el área de $R$ y $L$ es la longitud del borde de $R$ , la suma de los errores no lineales está, por tanto, acotada por $(A n^{2} + 4 L n) M_{n} F / n^{2}$ que tiende a cero para $n \to \infty$ . ◻

23.2.2 Integrando un Disco con Cambio de Variables

Aquí hay un ejemplo: Si $Φ : R = [0, 1] \times [0, 2 π] \to S = {x^{2} + y^{2} \leq 1}$ está dado por $Φ (r, θ) = [r \cos (θ), r \sin (θ)]^{T}$ , entonces $d Φ (r, θ) = r$ . Si $f (x, y) = x^{2} + y^{2} = r^{2}$ , entonces $\iint_{R} r^{2} r d r d θ = \iint_{S} (x^{2} + y^{2}) d x d y .$ La primera integral es $2 π / 4$ .

23.2.3 Invirtiendo la Orientación

Sea $Φ : [0, 1] \times [0, 1] \to [0, 1] \times [0, 1]$ dada como $Φ (x, y) = (y, x)$ . Ahora $\det (d Φ) = - 1$ y $| d Φ | = 1$ . Si bien generalmente podríamos ignorar hablar sobre orientación, es evidente aquí que en las integrales consideradas hasta ahora, no nos importa la orientación del espacio. Si el cambio de coordenadas invierte la orientación, la integral resultante no cambia.

23.2.4 Cambios de Coordenadas e Integrales de Área Elíptica

La regla de la cadena asegura que al combinar dos cambios de coordenadas $Φ$ , $Ψ$ , se obtiene un nuevo cambio de coordenadas con $d (Ψ \circ Φ) (x) = d Ψ (Φ (x)) d Φ (x) .$ Por ejemplo, si $Ψ (x, y) = [a x, b y]^{T}$ y $Φ (r, θ) = [r \cos (θ), r \sin (θ)]^{T}$ cambia a coordenadas polares, entonces $Ψ (Φ (r, θ)) = [a r \cos (θ), b r \sin (θ)]^{T}$ . Ahora la imagen de $R = [0, 1] \times [0, 2 π]$ es la elipse $S = {x^{2} / a^{2} + y^{2} / b^{2} \leq 1}$ y el área de la elipse es $A = \iint_{R} a b r d r d θ$ porque $\det (d Φ) = r$ y $\det (d Ψ) = a b$ . El resultado es $\int_{0}^{1} \int_{0}^{2 π} a b r d θ d r = π a b .$

23.2.5 Revelando el Área de Superficie con Parametrización

Vista previa: La próxima semana veremos casos más generales como $r : R \subset ℝ^{2} \to ℝ^{3}$ de una superficie parametrizada, donde el factor de distorsión es $| d r | = \sqrt{\det (d r^{T} d r)} = | r_{u} \times r_{v} |$ y el área de la superficie es $\iint_{R} | r_{u} \times r_{v} | d u d v = \iint_{S} 1 d A$ .

23.2.6 Cambio de Variables y Sustitución

El teorema generaliza la sustitución \int_{c}^{d} f(\Phi(x))|\Phi^{\prime}(x)| \,d x=\int_{a}^{b} f(x) \,d x si $Φ (c) = a$ y $Φ (d) = b$ . Normalmente insistimos en que $Φ$ es monótonamente creciente y escribimos $u = Φ (x)$ , d u=\Phi^{\prime}(x) \,d x para obtener cálculos como en $\int_{0}^{\sqrt{π / 2}} \sin (x^{2}) 2 x d x = \int_{0}^{π / 2} \sin (u) d u,$ donde $Φ (x) = x^{2}$ . Como truco, se puede extender la fórmula al caso en que $Φ$ puede decrecer, en cuyo caso el intervalo $[a, b]$ se convierte en el intervalo negativo $[b, a]$ con $a < b$ .
Ejemplo: Sea $Φ (x) = 2 - 2 x$ que tiene \Phi^{\prime}=-2, entonces $\int_{1 / 2}^{1} (2 - 2 x)^{2} | (- 2) | d x = \int_{0}^{1} x^{2} d x .$ En cálculo de una variable, también se puede trabajar con el caso del signo negativo y calcular $\int_{1}^{1 / 2} (2 - 2 x)^{2} (- 2) d x$ lo cual funciona si $\int_{1}^{1 / 2} = - \int_{1 / 2}^{1}$ pero esto no es compatible con la integral de Riemann definida: usamos sumación tipo "hoja de cálculo" y no distinguimos si sumamos los valores de la función de izquierda a derecha o de derecha a izquierda.

23.2.7 Fubini y Cambio del Orden de Integración

Podemos mirar nuevamente el contraejemplo de Fubini $\iint_{x^{2} + y^{2} \leq 1} \frac{x^{2} - y^{2}}{(x^{2} + y^{2})^{2}} d x d y = \int_{0}^{1} \int_{0}^{2 π} \frac{\cos (2 θ)}{r} d θ d r = 0.$ No podemos cambiar el orden de integración ya que no podemos integrar $\int_{0}^{1} 1 / r d r$ . El problema también continúa en el nuevo sistema de coordenadas y es aún más dramático.

23.2.8 De la Regla de la Cadena a Productos de Matrices

Si $Φ : x \to A x$ y $Ψ : x \to B x$ son dos cambios de coordenadas lineales entonces $Ψ \circ Φ = B A$ es el producto de matrices y la regla de la cadena dice $| d (Ψ \circ Φ) | = | \det (A B) |$ lo cual concuerda con el producto $| d Ψ | | d Φ | = | \det (A) | | \det (B) |$ . Podemos hacer la verificación de la fórmula de Cauchy-Binet $\det (A B) = \det (A) \det (B)$ directamente. Si $A = [\begin{array}{ll} a & b \\ c & d \end{array}] y B = [\begin{array}{ll} p & q \\ r & s \end{array}],$ entonces $A B = [\begin{array}{ll} a p + b r & a q + b s \\ c p + d r & c q + d s \end{array}]$ y se puede verificar la fórmula del determinante.

23.2.9 Problema Abierto: Inversos de Cambios de Coordenadas Polinomiales

Aquí hay un famoso problema abierto sobre cambios de coordenadas. Se llama la conjetura del Jacobiano. Trata sobre cambios de coordenadas polinomiales, donde $x (u, v)$ y $y (u, v)$ son polinomios en $u$ , $v$ .

Conjetura: Si $Φ$ es polinomial y $| d Φ |$ es constante diferente de cero, entonces $Φ$ tiene un inverso polinomial.

Se sabe que si la conjetura es falsa, entonces existe un contraejemplo con polinomios enteros y determinante Jacobiano $1$ . La conjetura está abierta desde al menos 1939. Un ejemplo de una transformación de coordenadas con determinante $1$ y polinomios enteros son los mapas de Hénon de la clase 16. Si $Φ ([u, v]^{T}) = [x, y]^{T} = [u^{2} - u^{4} - v, u]^{T},$ entonces $Φ^{- 1} ([x, y]^{T}) = [y, y^{2} - y^{4} - x]^{T} .$

23.3 EJEMPLOS

Ejemplo 1. Problema: ¿Cuál es el área de la imagen $S = Φ (R)$ si $Φ ([u, v]) = [u^{2} - v^{2} + 1, 2 u v + 2]^{T}$ y $R = {1 \leq u \leq 3, 0 \leq v \leq 1}$ ? (Esto es $Φ (z) = z^{2} + c$ con $c = 1 + 2 i$ en el complejo).
Solución: Tenemos $d Φ (u, v) = [\begin{array}{cc} 2 u & - 2 v \\ 2 v & 2 u \end{array}]$ y $| d Φ (u, v) | = 4 u^{2} + 4 v^{2}$ . Vemos de la fórmula de cambio de variables que el área es $\int_{0}^{1} \int_{1}^{3} (4 u^{2} + 4 v^{2}) d u d v = 112 / 3.$

Ejemplo 2. Problema: ¿Cuál es el momento de inercia $\iint_{R} (x^{2} + y^{2}) d x d y$ , donde $R$ es la región polar dada en coordenadas polares como $r \leq 2 + \sin (3 θ)$ .
Solución: usando el cambio de variables a coordenadas polares $Φ$ con $| d Φ | = r$ , obtenemos $\int_{0}^{2 π} \int_{0}^{2 + \sin (3 θ)} r^{2} r d r d θ = \int_{0}^{2 π} (2 + \sin (3 θ))^{4} / 4 d θ .$ Explicamos en clase cómo obtener la respuesta $227 π / 4$ rápidamente.

Ejemplo 3. Problema: Aquí hay un problema famoso. Es tan popular que incluso llegó a Hollywood: calcular $\iint_{ℝ^{2}} e^{- x^{2} - y^{2}} d x d y$ .
Solución: este problema parece difícil al principio ya que no podemos integrar respecto a $x$ o $y$ . La función $e^{- x^{2}}$ no tiene antiderivada elemental. Esta integral impropia es factible en coordenadas polares ya que es $\int_{0}^{2 π} \int_{0}^{\infty} e^{- r^{2}} r d r d θ = π .$ Es la parte interna $\int_{0}^{\infty} e^{- r^{2}} r d r$ la que es una integral impropia. Se trata esto por aproximación. Para cada $L$ finito tenemos $\int_{0}^{L} e^{- r^{2}} r d r = - e^{- r^{2}} / 2 |_{0}^{L} = 1 / 2 - e^{- L^{2}} / 2.$ Esto converge bien a $1 / 2$ para $L \to \infty$ . Se sigue (y esa es la conclusión) que $\int_{- \infty}^{\infty} e^{- x^{2}} d x = \sqrt{π}$ .

EJERCICIOS

Ejercicio 1. Dado un disco $R = {x^{2} + y^{2} \leq 1}$ , podemos convertirlo en un espacio de probabilidad y definir la esperanza de una función $f$ como $E [f] = \iint_{R} f d x d y / π .$ La esperanza de las variables aleatorias $f (x, y) = x^{n}$ son ejemplos de momentos. Encuentre $E [x]$ , $E [x^{2}]$ , $E [x^{3}]$ y $E [x^{4}]$ .

Ejercicio 2. ¿Cuál es el volumen del sólido limitado por $z = f (x, y) =$ $x^{2} + y^{2}$ y $z = g (x, y) = 8 - x^{2} - y^{2}$ ? Puede escribir esto como una integral doble $\iint_{R} (g (x, y) - f (x, y)) d x d y$ sobre una región adecuada.

Ejercicio 3. El fidget spinner es tan " $2017$ " ahora. ¡Lo que está de moda ahora es el spinner matemático $22$ con $23$ rodamientos! ¿Cuál es el momento de inercia $\iint_{G} (x^{2} + y^{2}) d x d y$ de la región del spinner matemático $22$ $G$ dada en coordenadas polares como $1 / 2 \leq r \leq 2 + \cos (22 θ)$ ? Para mantener nuestros rodamientos, no contamos los rodamientos.

Ejercicio 4. El biólogo Piet Gielis patentó una vez regiones polares para usarlas para describir formas biológicas como células, hojas, estrellas de mar o mariposas. No se preocupe por violar las leyes de patentes al encontrar el área de la siguiente mariposa $r (t) \leq | 8 - \sin (t) + 2 \sin (3 t) + 2 \sin (5 t) - \sin (7 t) + 3 \cos (2 t) - 2 \cos (4 t) | .$ (¡Puede producir mariposas en el estómago pero hay algunos trucos para hacerlo rápido. ¡Relájese con el spinner matemático $22$ , por ejemplo!)

**Figura 3.** El spinner matemático $22$ y la mariposa.

Ejercicio 5.

Demuestre la conjetura jacobiana para aplicaciones lineales $Φ (x) = A x$ , donde $A$ es una matriz $2 \times 2$ .
Encuentre un cambio de coordenadas lineal $Φ (x, y)$ para el cual el determinante jacobiano sea $1$ . Debe ser no trivial en el sentido de que no solo queremos una matriz diagonal $d Φ$ .
Encuentre un contraejemplo de la conjetura jacobiana para polinomios cúbicos (es broma). ¡Encuentre un ejemplo para la conjetura jacobiana donde ambos polinomios no sean lineales!

Para el caso $C^{1}$ , véase J. Schwartz, Mathematical Monthly 61, 1954, o P.D. Lax, Monthly 108, 2001.↩︎