جایگزینی

23.1 مقدمه

23.1.1 آشکارسازی اولین فرم بنیادی

ما یک مفهوم کلی از مشتق $dr$ یک تابع از $r:{ℝ}^m\to {ℝ}^n$ معرفی کرده‌ایم. دترمینان $|det(\sqrt{d{r}^{T}dr})|$ عامل اعوجاج نامیده شد. در مورد یک نگاشت از ${ℝ}^n\to {ℝ}^n$ با همان بعد، عامل اعوجاج به سادگی $|det(dr)|$ است زیرا ماتریس مربعی $d{r}^T$ دترمینانی برابر با $dr$ دارد و دترمینان ضرب‌پذیر است. اولین فرم بنیادی $g=d{r}^{T}dr$ همچنین تانسور متریک نامیده می‌شود. در نسبیت عام نقش مهمی ایفا می‌کند. قبل از شروع، بگذارید بگوییم که به جای استفاده از $r:R\to S$ به عنوان یک تغییر مختصات، از $\mathrm{\Phi }:R\to S$ استفاده خواهیم کرد، دلیل آن این است که $r$ در مختصات قطبی استفاده خواهد شد.

23.1.2 عامل اعوجاج و انتگرال‌گیری، دوباره

این یک فضا را توصیف می‌کند که در آن فواصل پیچ خورده‌اند: این ماده در فضا است که یک تغییر مختصات ایجاد می‌کند که متریک را تغییر می‌دهد. چگونگی این اتفاق توسط یک معادله دیفرانسیل جزئی پیچیده، معادلات اینشتین، توصیف می‌شود. ما در اینجا دوباره به عامل اعوجاج نگاه می‌کنیم. دلیل این است که وقتی در مختصات دیگر انتگرال‌گیری می‌کنیم، عامل اعوجاج وارد می‌شود. ما در اینجا یاد خواهیم گرفت که چگونه در مختصات قطبی یا مختصات کروی انتگرال بگیریم.

23.2 سخنرانی

23.2.1 قضیه تغییر متغیر

اگر $$\mathrm{\Phi }:R\to S,\left[\begin{array}{l}u\\ v\end{array}\right]\to \left[\begin{array}{l}x(u,v)\\ y(u,v)\end{array}\right]$$ یک تغییر مختصات باشد، آنگاه عامل اعوجاج به صورت $|d\mathrm{\Phi }|=|\det (d\mathrm{\Phi })|$ تعریف شد، که در آن قضیه تغییر متغیر در همه ابعاد یکسان است. در اثبات زیر، فرض می‌کنیم که $\mathrm{\Phi }$ از کلاس $C^2$ است. به دلیل هاینه-کانتور، می‌دانیم که $M_n\to 0$ وجود دارد به طوری که $$|\frac{d^2}{d{t}^2}\mathrm{\Phi }(u_0+tv,v_0+tw)|\le M_n$$ برای $\sqrt{v^2+w^2}\le 1/n$ و همه $(u_0,v_0)\in R$.¹

23.2.2 انتگرال‌گیری یک دیسک با تغییر متغیر

در اینجا یک مثال است: اگر $$\mathrm{\Phi }:R=[0,1]\times [0,2\pi ]\to S=\{x^2+y^2\le 1\}$$ به صورت $\mathrm{\Phi }(r,\theta )=[r\cos (\theta ),r\sin (\theta ){]}^T$ داده شود، آنگاه $d\mathrm{\Phi }(r,\theta )=r$. اگر $f(x,y)=x^2+y^2=r^2$، آنگاه $${\iint }_R{r}^{2}rdrd\theta ={\iint }_S(x^2+y^2)dxdy.$$ انتگرال اول برابر است با $2\pi /4$.

23.2.3 معکوس کردن جهت‌گیری

فرض کنید $\mathrm{\Phi }:[0,1]\times [0,1]\to [0,1]\times [0,1]$ به صورت $\mathrm{\Phi }(x,y)=(y,x)$ داده شود. اکنون $\det (d\mathrm{\Phi })=-1$ و $|d\mathrm{\Phi }|=1$. در حالی که معمولاً می‌توانیم از بحث در مورد جهت‌گیری صرف‌نظر کنیم، در اینجا واضح است که در انتگرال‌هایی که تاکنون در نظر گرفته‌ایم، به جهت‌گیری فضا اهمیتی نمی‌دهیم. اگر تغییر مختصات جهت‌گیری را عوض کند، انتگرال حاصل تغییر نمی‌کند.

23.2.4 تغییرات مختصات و انتگرال‌های مساحت بیضی

قاعده زنجیره‌ای تضمین می‌کند که ترکیب دو تغییر مختصات $\mathrm{\Phi }$ و $\mathrm{\Psi }$، یک تغییر مختصات جدید با $$d(\mathrm{\Psi }\circ \mathrm{\Phi })(x)=d\mathrm{\Psi }(\mathrm{\Phi }(x))d\mathrm{\Phi }(x).$$ به عنوان مثال اگر $\mathrm{\Psi }(x,y)=[ax,by{]}^T$ و $\mathrm{\Phi }(r,\theta )=[r\cos (\theta ),r\sin (\theta ){]}^T$ به مختصات قطبی تغییر کند، آنگاه $\mathrm{\Psi }(\mathrm{\Phi }(r,\theta ))=[ar\cos (\theta ),br\sin (\theta ){]}^T$. اکنون تصویر $R=[0,1]\times [0,2\pi ]$ بیضی $S=\{x^2/a^2+y^2/b^2\le 1\}$ است و مساحت بیضی برابر است با $$A={\iint }_{R}abrdrd\theta$$ زیرا $\det (d\mathrm{\Phi })=r$ و $\det (d\mathrm{\Psi })=ab$. نتیجه این است: $${\int }_0^1{\int }_0^{2\pi }abrd\theta dr=\pi ab.$$

23.2.5 آشکارسازی مساحت سطح با پارامتری‌سازی

پیش‌نمایش: هفته آینده به موارد کلی‌تری مانند $r:R\subset {ℝ}^2\to {ℝ}^3$ از یک سطح پارامتری شده نگاه خواهیم کرد، که در آن عامل اعوجاج برابر است با $$|dr|=\sqrt{\det (d{r}^{T}dr)}=|r_u\times r_v|$$ و مساحت سطح برابر است با ${\iint }_R|r_u\times r_v|dudv={\iint }_{S}1dA$.

23.2.6 تغییر متغیر و جایگزینی

این قضیه جایگزینی را تعمیم می‌دهد اگر $\mathrm{\Phi }(c)=a$ و $\mathrm{\Phi }(d)=b$. ما معمولاً اصرار داریم که $\mathrm{\Phi }$ به طور یکنواخت افزایشی است و می‌نویسیم $u=\mathrm{\Phi }(x)$، تا محاسباتی مانند $${\int }_0^{\sqrt{\pi /2}}\sin (x^2)2xdx={\int }_0^{\pi /2}\sin (u)du,$$ به دست آوریم، که در آن $\mathrm{\Phi }(x)=x^2$. به عنوان یک ترفند، می‌توان فرمول را به حالتی تعمیم داد که $\mathrm{\Phi }$ می‌تواند کاهشی باشد، در این صورت بازه $[a,b]$ به بازه منفی $[b,a]$ با تبدیل می‌شود.
مثال: فرض کنید $\mathrm{\Phi }(x)=2-2x$ که دارد، آنگاه $${\int }_{1/2}^1(2-2x{)}^2|(-2)|dx={\int }_0^1{x}^{2}dx.$$ در حسابان تک متغیره، می‌توان با حالت علامت منفی نیز کار کرد و ${\int }_1^{1/2}(2-2x{)}^2(-2)dx$ را محاسبه کرد که اگر ${\int }_1^{1/2}=-{\int }_{1/2}^1$ کار می‌کند، اما این سازگار نیست با انتگرال ریمان تعریف شده: ما از "جمع‌بندی صفحه گسترده" استفاده می‌کنیم و تفاوتی قائل نمی‌شویم که مقادیر تابع را از چپ به راست جمع کنیم یا از راست به چپ.

23.2.7 فوبینی و تغییر ترتیب انتگرال‌گیری

می‌توانیم دوباره به مثال نقض فوبینی نگاه کنیم $${\iint }_{x^2+y^2\le 1}\frac{x^2-y^2}{(x^2+y^2{)}^2}dxdy={\int }_0^1{\int }_0^{2\pi }\frac{\cos (2\theta )}{r}d\theta dr=0.$$ ما نمی‌توانیم ترتیب انتگرال‌گیری را تغییر دهیم زیرا نمی‌توانیم ${\int }_0^{1}1/rdr$ را انتگرال بگیریم. مشکل در سیستم مختصات جدید نیز ادامه می‌یابد و حتی چشمگیرتر است.

23.2.8 از قاعده زنجیره‌ای تا حاصلضرب ماتریس‌ها

اگر $\mathrm{\Phi }:x\to Ax$ و $\mathrm{\Psi }:x\to Bx$ دو تغییر مختصات خطی باشند، آنگاه $\mathrm{\Psi }\circ \mathrm{\Phi }=BA$ حاصلضرب ماتریس است و قاعده زنجیره‌ای به ما می‌گوید $|d(\mathrm{\Psi }\circ \mathrm{\Phi })|=|\det (AB)|$ که با حاصلضرب $|d\mathrm{\Psi }||d\mathrm{\Phi }|=|\det (A)||\det (B)|$ مطابقت دارد. ما می‌توانیم تأیید فرمول کوشی-بینه $\det (AB)=\det (A)\det (B)$ را مستقیماً انجام دهیم. اگر آنگاه و می‌توانید فرمول دترمینان را بررسی کنید.

23.2.9 مسئله باز: معکوس‌های تغییرات مختصات چندجمله‌ای

در اینجا یک مسئله باز معروف در مورد تغییرات مختصات است. به آن حدس ژاکوبین می‌گویند. این مسئله به تغییرات مختصات چندجمله‌ای می‌پردازد، که در آن $x(u,v)$ و $y(u,v)$ چندجمله‌ای‌هایی بر حسب $u$ و $v$ هستند.

مشخص است که اگر حدس نادرست باشد، آنگاه یک مثال نقض با چندجمله‌ای‌های صحیح و دترمینان ژاکوبین $1$ وجود دارد. این حدس حداقل از سال 1939 باز است. یک مثال از یک تبدیل مختصات با دترمینان $1$ و چندجمله‌ای‌های صحیح، نگاشت‌های هنون از سخنرانی 16 هستند. اگر $$\mathrm{\Phi }([u,v{]}^T)=[x,y{]}^T=[u^2-u^4-v,u{]}^T,$$ آنگاه $${\mathrm{\Phi }}^{-1}([x,y{]}^T)=[y,y^2-y^4-x{]}^T.$$

23.3 مثال‌ها

تمرین‌ها