Integrales dobles

Tabla de Contenidos

22.1 INTRODUCCIÓN
22.2 LECCIÓN
22.3 EJEMPLOS
EJERCICIOS
Apéndice: Ilustración de datos: Monte Carlo

22.1 INTRODUCCIÓN

22.1.1 Más allá de 1D: Área e Integrales

Al integrar una función continua $f (x, y)$ sobre un dominio bidimensional $R \subset ℝ^{2}$ , podemos usar sumas de Riemann nuevamente como en una dimensión y obtener $\iint_{R} f (x, y) d A$ . Un caso especial de una función continua es la función $f (x, y) = 1$ . Si integramos $\iint_{R} 1 d A$ obtenemos el área. A diferencia de una dimensión, donde un dominio es solo un intervalo, podemos tener regiones mucho más interesantes en dos dimensiones.

**Figura 1.** ¿Cuál es el área del conjunto de Mandelbrot? La integral $\iint_{R} f (x, y) d A$ tiene una interpretación del volumen bajo la gráfica de $f$ . Si la altura es constante $1$ , entonces el volumen es el área $\iint_{R} 1 d A = | R |$ de la región $R$ . Para el conjunto de Mandelbrot medimos un área ligeramente superior a $1.5$ .

22.1.2 Dimensiones Superiores, Más Integrales

La integración en dos dimensiones es un buen prototipo. Conocer esta situación multidimensional permitirá también entender cómo integrar en $3$ o más dimensiones. Aprenderemos la próxima semana cómo calcular el área de una superficie. Pero las integrales dimensionales también importan en dimensiones superiores: si integramos una llamada $2$ -forma $F$ sobre una superficie bidimensional, obtenemos integrales dobles. Un ejemplo de una $2$ -forma es el campo electromagnético también conocido como "luz". Los teóricos de cuerdas trabajan en espacios de dimensiones superiores. La superficie trazada por una cuerda en movimiento es una superficie $2$ -dimensional llamada "hoja de mundo". Su área superficial se llama la acción de Nambu-Goto que juega el papel de la longitud en la mecánica clásica. Esta es una integral doble.

22.1.3 Cálculo, Integración y Lo Desconocido

Así como las partículas se mueven en trayectorias más cortas llamadas geodésicas, las cuerdas se mueven en trayectorias en las que el área superficial se minimiza. Sin embargo, no todos se han subido al carro de la teoría de cuerdas y la teoría condujo a un callejón sin salida. Aún no lo sabemos. En cualquier caso, en la búsqueda de comprender los bloques fundamentales del espacio, el tiempo y la materia es emocionante. Vivimos en una época interesante donde teorías altamente exitosas como el modelo estándar (SM), la mecánica cuántica (QM) o la relatividad general (GR) coinciden con las mediciones con enorme precisión. También hay otras teorías interesantes que carecen de verificaciones experimentales. Sin duda, sin embargo, el cálculo y la teoría de la integración en particular jugarán un papel importante también en el futuro, sea lo que sea que nos depare.

22.2 LECCIÓN

22.2.1 Integral Doble y Su Existencia

Dada una región acotada $R$ en $ℝ^{2}$ y una función continua $f (x, y) : R \to ℝ$ , defina la integral de Riemann $I = \iint_{R} f (x, y) d A$ como el límite cuando $n \to \infty$ de $I_{n} = \sum_{(\frac{i}{n}, \frac{j}{n}) \in R} f (\frac{i}{n}, \frac{j}{n}) \frac{1}{n^{2}} .$ La región acotada $R$ se define como un subconjunto cerrado de $ℝ^{2}$ delimitado por un número finito de curvas diferenciables $R = {g_{1} \leq c_{1}, \dots, g_{k} \leq c_{k}}$ . Como ya en una dimensión, la definición está diseñada para ser independiente de una orientación elegida en $R$ . Estamos integrando como sumar una hoja de cálculo. Simplemente sume todas las entradas. Para justificar que el límite existe, podemos usar nuevamente el teorema de Heine-Cantor que dice que $f$ es continua en $R$ si y solo si es uniformemente continua. Esto significa que hay números $M_{n} \to 0$ tales que si $| (x_{1}, y_{1}) - (x_{2}, y_{2}) | \leq 1 / n$ , entonces $| f (x_{1}, y_{1}) - f (x_{2}, y_{2}) | \leq M_{n}$ .

Teorema 1. Para una $f$ continua en una región acotada $R, \iint_{R} f d x d y$ existe.

Demostración. En cada cubo $Q_{i j} = {i / n \leq x \leq (i + 1) / n, j / n \leq y \leq (j + 1) / n} \cap R$ defina $a_{i j} = min_{(x, y) \in Q_{i j}} f (x, y)$ y $b_{i j} = max_{(x, y) \in Q_{i j}} f (x, y)$ . Debido a que se supuso que el límite estaba dado por una colección de curvas que tienen una longitud de arco total finita $L$ , el número de cubos $Q_{i j}$ que intersectan el límite $C$ está acotado por $4 L n$ (una curva de longitud 1 puede tocar como máximo 4 cuadrados). Defina también $F = max_{(x, y) \in R} | f (x, y) |$ . Tenemos con $K_{n} = 4 L F / n$ : $A_{n} - K_{n} \leq I_{n} \leq B_{n} + K_{n}$ donde $A_{n} = \sum_{i, j} a_{i j} / n^{2}$ y $B_{n} = \sum_{i, j} b_{i j} / n^{2}$ y $K_{n}$ se encarga de los cubos $Q_{i j}$ que intersectan el límite de $R$ y por lo tanto solo contribuyen parcialmente. Sea $I$ el límite superior de $I_{n}$ . Tenemos $B_{n} - A_{n} \leq M_{n} n^{2} / n^{2} = M_{n} \to 0$ y $K_{n} \to 0$ también, de modo que $| I_{n} - I | \leq M_{n} + K_{n} \to 0$ . ◻

22.2.2 Teorema de Fubini

Rara vez evaluamos integrales usando sumas de Riemann. Afortunadamente es posible reducir una integral doble a integrales simples. Se puede hacer eso para regiones básicas que consisten en dos tipos de regiones regiones "de abajo hacia arriba" $R = {(x, y) ∣ a \leq x \leq b, c (x) \leq y \leq d (x)}$ o regiones "de izquierda a derecha" $R = {(x, y) ∣ a (y) \leq x \leq b (y), c \leq y \leq d} .$ Al cortar una región general en piezas más pequeñas como intersectar con cubos suficientemente pequeños $Q_{i, j}$ definidos anteriormente, podemos escribir cualquier región como una unión de tales regiones básicas: para $n$ suficientemente grande, cualquier $Q_{i j} \cap R$ es una región básica. Ahora podemos definir la integral en el primer caso como $\int_{a}^{b} [\int_{c (x)}^{d (x)} f (x, y) d y] d x$ y en el segundo caso como $\int_{c}^{d} [\int_{a (y)}^{b (y)} f (x, y) d x] d y$ . ¿Es esto lo mismo? Esto se responde con Fubini, que ya hemos usado. Sea $R$ un rectángulo $R = {(x, y) ∣ a \leq x \leq b, c \leq y \leq d} .$ Aquí está el teorema de Fubini:

**Figura 2.** Regiones "de abajo hacia arriba" y "de izquierda a derecha".

Teorema 2. $\iint_{R} f (x, y) d A = \int_{a}^{b} [\int_{c}^{d} f (x, y) d y] d x = \int_{c}^{d} [\int_{a}^{b} f (x, y) d x] d y .$

Demostración. Primero haga un cambio de coordenadas para obtener $R = [0, 1] \times [0, 1]$ , luego cubra $R$ con $n^{2}$ cubos $Q_{i j}$ de lado $1 / n$ . Tenemos para cada $y$ una función uniformemente continua $x \to f (x, y)$ y para cada $x$ una función uniformemente continua $y \to f (x, y)$ y las constantes $M_{n}$ funcionan para todas: hay $M_{n} \to 0$ de modo que si $| x_{1} - x_{2} | < 1 / n$ y $| y_{1} - y_{2} | < 1 / n$ , entonces $| f (x_{1}, y_{1}) - f (x_{2}, y_{2}) | \leq M_{n}$ . Ahora use la notación $A \sim_{c} B$ si $| A - B | \leq c$ y obtenga \begin{aligned} \iint_{R} f(x, y) \,d A &\sim_{M_{n}} \frac{1}{n} \sum_{i=0}^{n-1} \frac{1}{n} \sum_{j=0}^{n-1} f(i / n, j / n)\\ &\sim_{2 M_{n}} \frac{1}{n} \sum_{i=0}^{n-1} \int_{0}^{1} f(i / n, y) \,d y\\ &\sim_{3 M_{n}}\int_{0}^{1}\left[\int_{0}^{1} f(x, y) \,d y\right] d x. \end{aligned} De manera similar, podemos mostrar $\iint_{R} f (x, y) d A \sim_{3 M_{n}} \int_{0}^{1} [\int_{0}^{1} f (x, y) d x] d y$ . ◻

22.2.3 Cuando Fubini Falla

Sin continuidad, Fubini es falso: el ejemplo estándar se ilustra en la Figura (22.3): \begin{aligned} \frac{-\pi}{4}=\int_{0}^{1} \int_{0}^{1} \frac{(x^{2}-y^{2})}{(x^{2}+y^{2})^{2}} \,d y \,d x \neq \int_{0}^{1} \int_{0}^{1} \frac{(x^{2}-y^{2})}{(x^{2}+y^{2})^{2}} \,d x \,d y=\frac{\pi}{4}. \end{aligned}

Demostración. \begin{aligned} \int\frac{x^{2}-y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}} \,d x &= -\frac{x}{x^{2}+y^{2}},\\ \int\frac{x^{2}-y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}} \,d y &= \frac{y}{x^{2}+y^{2}}. \end{aligned} De modo que \begin{aligned} \int_{0}^{1} \frac{x^{2}-y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}} \,d x=-\frac{1}{1+y^{2}} \end{aligned} y \begin{aligned} \int_{0}^{1} \frac{x^{2}-y^{2}}{x^{2}+y^{2})^{2}} \,d y = \frac{1}{1+x^{2}}. \end{aligned} ◻

22.2.4 Notación Multi-Índice e Integrales de Dimensiones Superiores

Las integrales en dimensiones superiores se definen de la misma manera. Cubriremos el caso tridimensional en particular más adelante. Por ahora solo agreguemos la definición. Dada una región $m$ -dimensional $R$ en $ℝ^{m}$ y una función continua $f : ℝ^{m} \to ℝ$ , usando la notación multi-índice $x = (x_{1}, \dots, x_{m}), d x = d x_{1} \dots d x_{m}, y i / n = (i_{1} / n, \dots, i_{m} / n)$ defina $\int_{R} f (x) d x = lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^{m}} \sum_{\frac{i}{n} \in R} f (\frac{i}{n}) .$ Una región es ahora un conjunto $R = {x \in ℝ^{m} ∣ g_{1} (x) \leq c_{1}, \dots, g_{k} (x) \leq c_{k}}$ donde $g_{k}$ son funciones suaves. Se llama acotada si existe $ρ > 0$ tal que $R \subset {| x | \leq ρ}$ .

**Figura 3.** Integrando sobre una región mediante una integral de Riemann. Una integral doble es un volumen con signo. Las partes donde $f < 0$ son volumen negativo. Fubini puede fallar, incluso si las dos integrales condicionales existen.

22.3 EJEMPLOS

Ejemplo 1. Si $f (x, y) = 1$ , entonces $\iint_{R} f (x, y) d x d y$ es el área de $R$ . Por ejemplo, si \begin{aligned} \iint_{x^{2}+y^{2} \leq 9} 8 \,d x \,d y&=8 \iint_{x^{2}+y^{2} \leq 9} 1 \,d x \,d y\\ &=8 \mathrm{Área}(R)\\ &=72 \pi. \end{aligned}

Ejemplo 2. Sabemos del cálculo de una variable que $\int_{a}^{b} f (x) d x$ es el área con signo bajo la curva de $f$ . Para $f (x) \geq 0$ , donde es el área, podemos escribir esto como $\int_{a}^{b} \int_{0}^{f (x)} 1 d y d x$ . Tenga en cuenta que tal como hemos definido las integrales, la equivalencia sería incorrecta si $f (x)$ es negativa en alguna parte. Es la integral doble la que es la noción correcta de área. Por ejemplo, el área de la región delimitada por la curva $y = 1 / (1 + x^{2})$ , la curva $y = 0$ , la curva $x = - 1$ , y $x = 1$ es $\int_{- 1}^{1} \int_{0}^{1 / (1 + x^{2})} d y d x = \arctan (x) |_{- 1}^{1} = π / 2.$

Ejemplo 3. Problema: La integral $\iint_{R} f (x, y) d x d y$ puede interpretarse como el volumen con signo bajo la gráfica de $f$ sobre la región $R$ . Encuentre el volumen de la región delimitada por $z = 4 - 2 x^{4} - 2 y^{4}$ y $z = 4 - 2 x^{2} - 2 y^{2}$ y $- 1 \leq x \leq 1$ y $- 1 \leq y \leq 1$ .
Solución: $\int_{0}^{1} \int_{0}^{1} ((4 - 2 x^{4} - 2 y^{4}) - (4 - 2 x^{2} - 2 y^{2})) d x d y = (4 / 15)^{2} .$

Ejemplo 4. Problema: Encuentre el área de un disco de radio $a$ .
Solución: $\int_{- a}^{a} \int_{- \sqrt{a^{2} - x^{2}}}^{\sqrt{a^{2} - x^{2}}} 1 d y d x = \int_{- a}^{a} 2 \sqrt{a^{2} - x^{2}} d x .$ Use sustitución trigonométrica $x = a \sin (u)$ , $d x = a \cos (u)$ , para obtener $\int_{- π / 2}^{π / 2} 2 \sqrt{a^{2} - a^{2} \sin^{2} (u)} a \cos (u) d u = \int_{- π / 2}^{π / 2} 2 a^{2} \cos^{2} (u) d u$ Usando una fórmula de ángulo doble, esto da $a^{2} \int_{- π / 2}^{π / 2} 2 \frac{1 + \cos (2 u)}{2} d u = a^{2} π$ . La próxima vez calcularemos esto de manera mucho más efectiva.

Ejemplo 5. Problema: Sea $R$ el triángulo ${1 \geq x \geq 0, 0 \leq y \leq x}$ . Evalúe $\iint_{R} e^{- x^{2}} d x d y$ .
Solución: No podemos evaluar la integral directamente porque $e^{- x^{2}}$ no tiene una antiderivada expresable en términos de funciones elementales. Pero podemos escribir la integral como $\int_{0}^{1} [\int_{0}^{x} e^{- x^{2}} d y] d x$ : \begin{aligned} \int_{0}^{1}\left[\int_{0}^{x} e^{-x^{2}} \,d y\right] d x &=\int_{0}^{1} x e^{-x^{2}} \,d x\\ &=-\frac{e^{-x^{2}}}{2}\Big|_{0} ^{1}\\ &=\frac{1-e^{-1}}{2}. \end{aligned}

EJERCICIOS

Ejercicio 1. Calcule la integral iterada $\int_{0}^{1} \int_{x}^{2 - x} (x^{3} - y) d y d x$ de dos maneras, una como integral de "izquierda a derecha" y otra como integral de "abajo hacia arriba".

Ejercicio 2. Encuentre la integral $\int_{0}^{1} \int_{\sqrt{y}}^{y^{2}} \frac{3 x^{7}}{\sqrt{x} - x^{2}} d x d y .$

Ejercicio 3.

Calcule el área de la región elíptica delimitada por la elipse $x^{2} / 4^{2} + y^{2} / 9^{2} = 1$ usando sustitución trigonométrica.
Ahora haga esto en general para una elipse $x^{2} / a^{2} + y^{2} / b^{2} = 1$ .
(Es el "problema más difícil de geometría", según la comedia dramática "Rushmore", una película de 1998).

Ejercicio 4. Encuentre la integral $\int_{0}^{π^{2}} \int_{\sqrt{y}}^{π} \frac{\sin (x)}{x^{2}} d x d y .$

Ejercicio 5. Encuentre el volumen del sólido de pezuña $x^{2} + y^{2} \leq 1$ , $0 \leq z \leq x$ . El sólido de pezuña ya fue considerado por Arquímedes.

Apéndice: Ilustración de datos: Monte Carlo

22.3.1 Integrales de Lebesgue: Una herramienta para la integración en el mundo real

A menudo, cuando trabajamos con datos reales, no tenemos expresiones analíticas para la región o función que queremos integrar. La integral de Riemann tiene sus limitaciones. En otras ramas de las matemáticas, como en la teoría de la probabilidad, se necesita una integral mejor. Su definición es cercana a la integral de Riemann que hemos dado como el límite $\int_{(x_{k}, y_{l}) \in R} f (x_{k}, y_{l}) \frac{1}{n^{2}}$ , donde $x_{k} = k / n$ , $y_{l} = l / n$ . La integral de Lebesgue reemplaza la cuadrícula regularmente espaciada $(x_{k}, y_{l})$ con puntos aleatorios $(x_{k}, y_{l})$ y usa la misma fórmula.

22.3.2 El área de un fractal

¿Cómo encontramos el área del conjunto de Mandelbrot $M = {c = a + i b \in ℂ ∣ T_{c} (0)^{n} stays bounded},$ donde $T_{c} (z) = z^{+} c$ ? En coordenadas reales, esta es la función $T_{c} (x, y) = (x^{2} - y^{2} + a, 2 x y + b)$ .

22.3.3 Un enfoque computacional para el área del conjunto de Mandelbrot

¿Cuál es el área del conjunto de Mandelbrot? Sabemos que está contenido en el rectángulo $x \in [- 2, 1]$ y $y \in [- 3 / 2, 3 / 2]$ . Ahora simplemente disparamos aleatoriamente en este rectángulo y vemos si estamos en el conjunto de Mandelbrot o no después de $1000$ iteraciones. Aquí hay algo de código de Mathematica que le permite calcular cosas. Cuando lo ejecutamos, dio un valor de aproximadamente $1.515 \dots$ . Mediciones más precisas reportadas sugieren un valor ligeramente menor como $1.506 \dots$ . Otros han dado cotas $[1.50311, 1.5613027]$ .