二重积分

22.1 引言

22.1.1 超越一维：面积与积分

当在二维区域 $R \subset ℝ^{2}$ 上积分一个连续函数 $f (x, y)$ 时，我们可以再次像一维那样使用黎曼和，得到 $\iint_{R} f (x, y) d A$ 。连续函数的一个特例是 $f (x, y) = 1$ 。如果我们积分 $\iint_{R} 1 d A$ ，就会得到面积。与一维中区域仅仅是一个区间不同，二维中的区域可以有趣得多。

**图 1.** 曼德勃罗集的面积是多少？积分 $\iint_{R} f (x, y) d A$ 可以解释为 $f$ 图像下方的体积。如果高度恒为 $1$ ，则体积就是区域 $R$ 的面积 $\iint_{R} 1 d A = | R |$ 。对于曼德勃罗集，我们测得的面积略大于 $1.5$ 。

22.1.2 更高维度，更多积分

二维积分是一个很好的原型。了解这种多维情况，也能让人理解如何在三维或更高维度积分。下周我们将学习如何计算曲面的面积。但维度积分在高维也同样重要：如果我们在二维曲面上积分一个所谓的 $2$ -形式 $F$ ，就会得到二重积分。 $2$ -形式的一个例子是电磁场，也就是“光”。弦论学家在高维空间中工作。一根运动的弦扫过的曲面是一个被称为“世界面”的二维曲面。其表面积被称为南部-后藤作用量，它在经典力学中扮演着长度的角色。这是一个二重积分。

22.1.3 微积分、积分与未知领域

正如粒子沿着称为测地线的最短路径运动，弦则在表面积最小化的路径上运动。然而，并非所有人都登上了弦论这辆马车，这一理论已走入死胡同。我们尚不得而知。无论如何，在探索时空与物质的基本构成单元的过程中，总是令人兴奋的。我们生活在一个有趣的时代，像标准模型(SM)、量子力学(QM)或广义相对论(GR)这样高度成功的理论与测量结果的吻合精度极高。还有其他一些有趣的理论缺乏实验验证。然而，毫无疑问，微积分尤其是积分理论，在未来无论遇到什么，仍将扮演重要角色。

22.2 讲座

22.2.1 二重积分及其存在性

给定 $ℝ^{2}$ 中的有界区域 $R$ 和连续函数 $f (x, y) : R \to ℝ$ ，定义黎曼积分 $I = \iint_{R} f (x, y) d A$ 为当 $n \to \infty$ 时 $I_{n} = \sum_{(\frac{i}{n}, \frac{j}{n}) \in R} f (\frac{i}{n}, \frac{j}{n}) \frac{1}{n^{2}}$ 的极限。有界区域 $R$ 定义为 $ℝ^{2}$ 的闭子集，由有限条可微曲线所界定 $R = {g_{1} \leq c_{1}, \dots, g_{k} \leq c_{k}}$ 。正如在一维中那样，该定义的设计与在 $R$ 上选取的定向无关。我们的积分就像汇总一张电子表格，只需把所有条目加起来。为了证明极限存在，我们可以再次使用海涅-康托尔定理，该定理表明： $f$ 在 $R$ 上连续当且仅当它是一致连续的。这意味着存在趋于 $0$ 的数 $M_{n}$ ，使得若 $| (x_{1}, y_{1}) - (x_{2}, y_{2}) | \leq 1 / n$ ，则 $| f (x_{1}, y_{1}) - f (x_{2}, y_{2}) | \leq M_{n}$ 。

定理 1. 对于有界区域 $R$ 上的连续函数 $f$ ，积分 $\iint_{R} f d x d y$ 存在。

证明。 在每个立方体 $Q_{i j} = {i / n \leq x \leq (i + 1) / n, j / n \leq y \leq (j + 1) / n} \cap R$ 中定义 $a_{i j} = min_{(x, y) \in Q_{i j}} f (x, y)$ 和 $b_{i j} = max_{(x, y) \in Q_{i j}} f (x, y)$ 。由于假设边界由一组总弧长 $L$ 有限的曲线构成，与边界 $C$ 相交的立方体 $Q_{i j}$ 个数被 $4 L n$ 所限定（长度为 1 的曲线最多能触及 4 个正方形）。再定义 $F = max_{(x, y) \in R} | f (x, y) |$ 。令 $K_{n} = 4 L F / n$ ，我们有： $A_{n} - K_{n} \leq I_{n} \leq B_{n} + K_{n}$ 其中 $A_{n} = \sum_{i, j} a_{i j} / n^{2}$ ， $B_{n} = \sum_{i, j} b_{i j} / n^{2}$ ，而 $K_{n}$ 负责处理与 $R$ 边界相交因而只贡献部分的立方体 $Q_{i j}$ 。设 $I$ 为 $I_{n}$ 的上极限。我们有 $B_{n} - A_{n} \leq M_{n} n^{2} / n^{2} = M_{n} \to 0$ 且 $K_{n} \to 0$ ，因此 $| I_{n} - I | \leq M_{n} + K_{n} \to 0$ 。 ◻

22.2.2 富比尼定理

我们很少利用黎曼和来计算积分。幸运的是，可以将二重积分化为单重积分。可以对基本区域这样做，基本区域分为两类：“自下而上”区域 $R = {(x, y) ∣ a \leq x \leq b, c (x) \leq y \leq d (x)}$ 或“从左到右”区域 $R = {(x, y) ∣ a (y) \leq x \leq b (y), c \leq y \leq d} .$ 通过将一般区域切割成小块，比如与上面定义的充分小的立方体 $Q_{i, j}$ 相交，我们可以把任何区域写成此类基本区域的并：当 $n$ 足够大时，任一 $Q_{i j} \cap R$ 都是基本区域。现在，在第一种情形下，可将积分定义为 $\int_{a}^{b} [\int_{c (x)}^{d (x)} f (x, y) d y] d x$ ，在第二种情形下则定义为 $\int_{c}^{d} [\int_{a (y)}^{b (y)} f (x, y) d x] d y$ 。这两者是否相同？这由我们已经用过的富比尼定理来回答。设 $R$ 为矩形 $R = {(x, y) ∣ a \leq x \leq b, c \leq y \leq d} .$ 以下是富比尼定理：

定理 2. $\iint_{R} f (x, y) d A = \int_{a}^{b} [\int_{c}^{d} f (x, y) d y] d x = \int_{c}^{d} [\int_{a}^{b} f (x, y) d x] d y .$

证明。 首先通过坐标变换使 $R = [0, 1] \times [0, 1]$ ，然后用 $n^{2}$ 个边长为 $1 / n$ 的立方体 $Q_{i j}$ 覆盖 $R$ 。对每一个 $y$ ，函数 $x \to f (x, y)$ 都是一致连续的；对每一个 $x$ ，函数 $y \to f (x, y)$ 也是一致连续的，而且常数 $M_{n}$ 对全体都适用：存在 $M_{n} \to 0$ ，使得若 $| x_{1} - x_{2} | < 1 / n$ 且 $| y_{1} - y_{2} | < 1 / n$ ，则 $| f (x_{1}, y_{1}) - f (x_{2}, y_{2}) | \leq M_{n}$ 。现采用记号 $A \sim_{c} B$ 表示 $| A - B | \leq c$ ，并得到类似地，可以证明 $\iint_{R} f (x, y) d A \sim_{3 M_{n}} \int_{0}^{1} [\int_{0}^{1} f (x, y) d x] d y$ 。 ◻

22.2.3 富比尼失效时

在没有连续性的情况下，富比尼定理不成立：标准反例如图(22.3)所示：

证明。 所以且 ◻

22.2.4 多重指标记号与高维积分

高维积分的定义方式相同。三维情形我们将在后面专门讨论。现在先给出定义。给定 $m$ 维区域 $R \subset ℝ^{m}$ 和连续函数 $f : ℝ^{m} \to ℝ$ ，使用多重指标记号 $x = (x_{1}, \dots, x_{m}), d x = d x_{1} \dots d x_{m}, 和 i / n = (i_{1} / n, \dots, i_{m} / n)$ 定义 $\int_{R} f (x) d x = lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^{m}} \sum_{\frac{i}{n} \in R} f (\frac{i}{n}) .$ 一个区域现在是集合 $R = {x \in ℝ^{m} ∣ g_{1} (x) \leq c_{1}, \dots, g_{k} (x) \leq c_{k}}$ 其中 $g_{k}$ 是光滑函数。若存在 $ρ > 0$ 使得 $R \subset {| x | \leq ρ}$ ，则称该区域有界。

**图 3.** 通过黎曼积分在区域上积分。二重积分是带符号的体积。其中 $f < 0$ 的部分为负体积。即使两个累次积分存在，富比尼定理仍可能失效。

22.3 例题

例 1. 若 $f (x, y) = 1$ ，则 $\iint_{R} f (x, y) d x d y$ 就是 $R$ 的面积。例如，如果

例 2. 由单变量微积分我们知道， $\int_{a}^{b} f (x) d x$ 是 $f$ 曲线下方的带符号面积。对于 $f (x) \geq 0$ ，那里它即是面积，我们可以将它写成 $\int_{a}^{b} \int_{0}^{f (x)} 1 d y d x$ 。注意，按照我们对积分的定义，如果 $f (x)$ 在有些地方为负，则这种等价就不正确。二重积分才是面积的正确概念。例如，由曲线 $y = 1 / (1 + x^{2})$ 、曲线 $y = 0$ 、曲线 $x = - 1$ 和 $x = 1$ 所围区域的面积为 $\int_{- 1}^{1} \int_{0}^{1 / (1 + x^{2})} d y d x = \arctan (x) |_{- 1}^{1} = π / 2.$

例 3. 问题: 积分 $\iint_{R} f (x, y) d x d y$ 可以解释为 $f$ 图像下方在区域 $R$ 之上的带符号体积。求由 $z = 4 - 2 x^{4} - 2 y^{4}$ 和 $z = 4 - 2 x^{2} - 2 y^{2}$ 以及 $- 1 \leq x \leq 1$ 和 $- 1 \leq y \leq 1$ 所围区域的体积。
解: $\int_{0}^{1} \int_{0}^{1} ((4 - 2 x^{4} - 2 y^{4}) - (4 - 2 x^{2} - 2 y^{2})) d x d y = (4 / 15)^{2} .$

例 4. 问题: 求半径为 $a$ 的圆盘的面积。
解: $\int_{- a}^{a} \int_{- \sqrt{a^{2} - x^{2}}}^{\sqrt{a^{2} - x^{2}}} 1 d y d x = \int_{- a}^{a} 2 \sqrt{a^{2} - x^{2}} d x .$ 使用三角换元 $x = a \sin (u)$ ， $d x = a \cos (u)$ ，得到 $\int_{- π / 2}^{π / 2} 2 \sqrt{a^{2} - a^{2} \sin^{2} (u)} a \cos (u) d u = \int_{- π / 2}^{π / 2} 2 a^{2} \cos^{2} (u) d u$ 利用二倍角公式，得到 $a^{2} \int_{- π / 2}^{π / 2} 2 \frac{1 + \cos (2 u)}{2} d u = a^{2} π$ 。下次我们将更有效地计算这个积分。

例5. 问题：设 $R$ 为三角形 ${1 \geq x \geq 0, 0 \leq y \leq x}$ 。计算 $\iint_{R} e^{- x^{2}} d x d y$ 。
解：我们不能直接计算该积分，因为 $e^{- x^{2}}$ 没有用初等函数表示的原函数。但我们可以将积分写为 $\int_{0}^{1} [\int_{0}^{x} e^{- x^{2}} d y] d x$ ：

练习

练习1. 用两种方法计算累次积分 $\int_{0}^{1} \int_{x}^{2 - x} (x^{3} - y) d y d x$ ，一种作为“从左到右”积分，一种作为“从下到上”积分。

练习2. 求积分 $\int_{0}^{1} \int_{\sqrt{y}}^{y^{2}} \frac{3 x^{7}}{\sqrt{x} - x^{2}} d x d y .$

练习3.

使用三角代换计算由椭圆 $x^{2} / 4^{2} + y^{2} / 9^{2} = 1$ 所围椭圆区域的面积。
现在对一般椭圆 $x^{2} / a^{2} + y^{2} / b^{2} = 1$ 进行此计算。
（根据1998年的喜剧剧情片《青春年少》，这是“几何学中最难的问题”。）

练习4. 求积分 $\int_{0}^{π^{2}} \int_{\sqrt{y}}^{π} \frac{\sin (x)}{x^{2}} d x d y .$

练习5. 求蹄形体 $x^{2} + y^{2} \leq 1$ ， $0 \leq z \leq x$ 的体积。阿基米德早已考虑过该蹄形体。

附录：数据示例：蒙特卡洛

22.3.1 勒贝格积分：现实世界积分的工具

通常，当我们处理真实数据时，我们并没有要积分的区域或函数的解析表达式。黎曼积分有其局限性。在数学的其他分支，如概率论中，需要一种更好的积分。其定义接近于我们给出的黎曼积分，即极限 $\int_{(x_{k}, y_{l}) \in R} f (x_{k}, y_{l}) \frac{1}{n^{2}}$ ，其中 $x_{k} = k / n$ ， $y_{l} = l / n$ 。勒贝格积分将规则间隔的 $(x_{k}, y_{l})$ 网格替换为随机点 $(x_{k}, y_{l})$ ，并使用相同的公式。

22.3.2 分形的面积

我们如何求曼德勃罗集 $M = {c = a + i b \in ℂ ∣ T_{c} (0)^{n} 保持有界},$ 的面积？其中 $T_{c} (z) = z^{+} c$ 。在实坐标下，这是映射 $T_{c} (x, y) = (x^{2} - y^{2} + a, 2 x y + b)$ 。

22.3.3 曼德勃罗集面积的计算方法

曼德勃罗集的面积是多少？我们知道它包含在矩形 $x \in [- 2, 1]$ 和 $y \in [- 3 / 2, 3 / 2]$ 中。现在我们随机向该矩形内投点，经过 $1000$ 次迭代后查看是否在曼德勃罗集内。以下是一些 Mathematica 代码，可让你进行计算。我们运行后，得到的值约为 $1.515 \dots$ 。更精确的测量报告提示值略小，如 $1.506 \dots$ 。其他人给出的界限为 $[1.50311, 1.5613027]$ 。

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