作为矢量积的力矩

回到我们对力矩的讨论，并参考图 1（与章节：力矩的定义中的图 1 相同），我们现在看到可以将力矩向量写为： $𝐌 = 𝐫 \times 𝐅$

根据向量积的定义，这一表述与之前给出的力矩定义是等价的。向量 $𝐫$ 连接了求矩点与力作用线上的任意一点。

向量 $𝐌$ 的分量可以写为： $𝐫 = x 𝐢 + y 𝐣 + z 𝐤$ $𝐅 = F_{x} 𝐢 + F_{y} 𝐣 + F_{z} 𝐤$ $𝐌 = 𝐫 \times 𝐅 = (y F_{z} - z F_{y}) 𝐢 + (z F_{x} - x F_{z}) 𝐣 + (x F_{y} - y F_{x}) 𝐤$ 因此 $𝐌$ 的分量为： $M_{x} = y F_{z} - z F_{y}$ $M_{y} = z F_{x} - x F_{z}$ $M_{z} = x F_{y} - y F_{x}$

当然，这些表达式与从图 1 中得到的表达式是相同的。向量积的引入使得力矩向量的表示更加简洁。请注意，前面提到的力矩符号规定与向量积的符号规定是一致的。

1.10.1 习题

1. 证明若 $𝐚 \cdot 𝐛 = 0$ ，则两个向量 $𝐚$ 和 $𝐛$ 相互垂直。 $𝐚 \times 𝐛 = 0$ 的意义是什么？

2. 证明数量积和向量积都满足普通乘法的分配律，即： $(𝐚 + 𝐛) \cdot 𝐜 = 𝐚 \cdot 𝐜 + 𝐛 \cdot 𝐜$ $(𝐚 + 𝐛) \times 𝐜 = 𝐚 \times 𝐜 + 𝐛 \times 𝐜$

3. 已知两个向量 $𝐚 = 3 𝐢 + 2 𝐣 + 5 𝐤$ $𝐛 = 2 𝐢 + 𝐣$

求以下各项： $𝐚 + 𝐛; 𝐚 - 𝐛; 𝐚 \cdot 𝐛; 𝐚 \times 𝐛$

答案

$𝐚 + 𝐛 = 5 𝐢 + 3 𝐣 + 5 𝐤$

$𝐚 - 𝐛 = 𝐢 + 𝐣 + 5 𝐤$

$𝐚 \cdot 𝐛 = 8$

$𝐚 \times 𝐛 = - 5 𝐢 + 10 𝐣 - 𝐤$

4. 证明向量积可以写为 $𝐚 \times 𝐛 = | \begin{matrix} 𝐢 & 𝐣 & 𝐤 \\ a_{x} & a_{y} & a_{z} \\ b_{x} & b_{y} & b_{z} \end{matrix} |$

5. 已知两个向量 $𝐚 = 3 𝐢 + 2 𝐣 + 𝐤$ $𝐛 = 𝐢 + 3 𝐣 + 2 𝐤$ 利用数量积的定义，求这两个向量之间的夹角。

答案

38° 11’

6. 一力由从点 $2 𝐢 + 𝐣 - 𝐤$ 指向点 $2 𝐢 - 𝐤$ 的向量表示，比例尺为 10 磅/英尺。求该力对点 $𝐢 + 3 𝐣 + 2 𝐤$ 的力矩。

答案

$- 10 𝐤 + 30 𝐢$

7. 一刚体绕某轴以 $ω$ 弧度/秒的角速度旋转。在向量表示中， $𝝎$ 表示角速度，其大小为 $ω$ ，方向由右手螺旋定则确定的旋转轴方向给出。若 $𝐯$ 是上述刚体中点 $A$ 的线速度，且 $𝐫$ 是点 $A$ 相对于旋转轴上任意一点的位置向量，证明： $𝐯 = 𝝎 \times 𝐫$

8. 一刚体绕一条平行于 $3 𝐣 - 4 𝐤$ 且通过点 $2 𝐢 + 𝐤$ 英尺的轴以 2 弧度/秒的角速度旋转。参考前一题的结果，用向量表示点 $3 𝐢 + 2 𝐤$ 英尺处的速度。