随机变量的概念

在概率论的应用中，通常需要同时处理多个随机现象。在第四章第7节中，我们指出了一种通过数值 $n$ 元组值随机现象的概念来处理多个随机现象的方法。然而，这并不是一种非常令人满意的方法，因为它要求人们预先固定在一个给定上下文中要考虑的随机现象的数量 $n$ 。此外，它没有提供一种便捷的方式，通过多种代数和分析运算，从已知的随机现象生成新的随机现象。通过使用随机变量，可以避免这些困难。随机变量通常用大写字母表示，特别是字母 $X, Y, Z, U, V$ 和 $W$ 。这些字母可以添加数字下标，因此 $X_{1}, X_{2}, \dots$ 都是随机变量。为了定义术语，我们考虑一个随机变量，记作 $X$ 。

随机变量的概念与函数的概念密切相关，如下列定义所示。

函数的定义。一个对象 $X$ ，或 $X (\cdot)$ ，被称为定义在空间 $S$ 上的一个函数，如果对于 $S$ 中的每一个成员 $s$ ，都存在一个实数，记作 $X (s)$ ，称为函数 $X$ 在 $s$ 处的值。

随机变量的定义。一个对象 $X$ 被称为一个随机变量，如果 (i) 它是一个定义在样本描述空间上的实值函数，且该空间的一族子集上已定义了一个概率函数 $P [\cdot]$ ，并且 (ii) 对于每一个实数博雷尔集 $B$ ，集合 ${s : X (s)$ 属于 $B}$ 属于 $P [\cdot]$ 的定义域。

因此，随机变量是一个定义在随机现象结果上的函数；从而，随机变量的值是一个随机现象，并且确实是一个数值值随机现象。反之，每一个数值值随机现象都可以解释为一个随机变量 $X$ 的值；即，定义在实数轴上的随机变量 $X$ ，对于每一个实数 $x$ ，有 $X (x) = x$ 。

学生在理解随机变量概念时遇到的主要困难之一是，作为随机变量的对象并不总是以明确表明这一事实的方式定义。然而，我们之前在处理随机事件的概念时遇到过类似的情况。我们将随机事件定义为一个样本描述空间上的集合，且该空间上定义了一个概率函数。在日常讨论中，随机事件是用语言定义的，因此为了讨论一个随机事件，必须首先以数学方式将该事件表述为一个集合。类似地，对于随机变量，必须学会如何识别并用数学方式将语言描述的随机变量对象表述为函数。

例1A. 样本中白球的数量是一个随机变量。让我们考虑如下定义的对象 $X$ ： $X$ 是从一个装有6个球（其中4个是白球）的罐子中不放回地抽取大小为2的样本中白球的数量。抽取样本的实验的样本描述空间 $S$ 可以取为第一章(3.1)中给出的30个有序二元组的集合，其中白球编号为1到4，其余2个球编号为5和6。为了使 $S$ 成为一个概率空间，我们需要在其子集上定义一个概率函数；我们假设所有描述等可能。抽取样本中白球的数量 $X$ 可以看作是这个概率空间上的一个函数，因为如果样本描述 $s$ 已知，那么 $X$ 的值也就知道了。

$若若若$

练习

1.1。通过解释如何将下列量定义为概率空间上的函数，证明它们是随机变量：

(i) 独立投掷的两个骰子的点数之和。

(ii) 抛掷一枚硬币直到首次出现正面所需的次数。

(iii) 在单位区间上按照均匀概率律选取的一个数的十进制展开中的第二位数字。

(iv) 在实数轴上按照正态概率律选取的一个数的绝对值。

(v) 当52个编号为1到52的球被分配到52个编号为1到52的罐子中（每个罐子一个球）时，包含带有相同编号的球的罐子数量。

(vi) 在平面上按照已知概率律（由概率密度函数 $f (x_{1}, x_{2})$ 指定）选取的二元组 $(x_{1}, x_{2})$ 到原点的距离。