事件

随机现象的样本描述空间这一概念的重要性源于它提供了一种定义事件概念的方法。

让我们首先考虑直观上事件的含义。考虑一个装有六个球的罐子，其中两个是白球。将球编号为1到6，白球编号为1到2。从罐子中依次抽取两个球；在抽取第二个球之前，第一个被抽出的球不放回罐中。该实验的样本描述空间 S 由 (3.1) 给出。现在，一些可能的事件是：(i) 第一次抽出的球是白球的事件，(ii) 第二次抽出的球是白球的事件，(iii) 两个抽出的球都是白球的事件，(iv) 抽出的两个球上的数字之和为7的事件，(v) 抽出的两个球上的数字之和小于或等于4的事件。

我们将给出的事件概念的数学表述依赖于以下事实。对于刚才描述的每一个事件，都存在一个描述集合，使得该事件发生当且仅当两次抽取的观测结果具有属于该集合的描述。例如，第一次抽出的球是白球的事件可以重新表述为：实验结果的描述属于集合 { ( 1 , 2 ) , ( 1 , 3 ) , ( 1 , 4 ) , ( 1 , 5 ) , ( 1 , 6 ) , ( 2 , 1 ) , ( 2 , 3 ) , ( 2 , 4 ) , ( 2 , 5 ) , ( 2 , 6 ) } 的事件。类似地，上述事件 (ii) 到 (v) 可以重新表述为：实验结果的描述属于集合 (ii) { ( 2 , 1 ) , ( 3 , 1 ) , ( 4 , 1 ) , ( 5 , 1 ) , ( 6 , 1 ) , ( 1 , 2 ) , ( 3 , 2 ) , ( 4 , 2 ) , ( 5 , 2 ) , ( 6 , 2 ) } , (iii) { ( 1 , 2 ) , ( 2 , 1 ) } , (iv) { ( 1 , 6 ) , ( 2 , 5 ) , ( 3 , 4 ) , ( 4 , 3 ) , ( 5 , 2 ) , ( 6 , 1 ) } ,(v) { ( 1 , 2 ) , ( 2 , 1 ) , ( 1 , 3 ) , ( 3 , 1 ) } 的事件。

因此，我们将事件定义为一个描述集合。说一个事件 E 已经发生，就是说所考虑的随机情况的结果具有一个属于 E 的描述。注意，这里定义了两个概念，“事件”的概念和“事件发生”的概念。第一个概念代表了构建随机现象数学模型的基本工具；第二个概念是将数学模型中的陈述转化为关于真实现象的陈述的所有基础。

事件定义的另一种表述方式是基于子集的概念。考虑任意类型的对象的两个集合 E 和 F 。如果集合 E 的每个成员也是集合 F 的成员，则称 E 是 F 的子集，记作 E ⊂ F 。我们现在将事件定义为样本描述空间 S 的任何子集。特别地，样本描述空间 S 是它自身的子集，因此也是一个事件。我们称样本描述空间 S 为必然事件，因为根据 S 的构造方法，它总是会发生。

需要强调的是，在研究随机现象时，我们感兴趣的是可能发生的事件（更准确地说，是它们可能发生的概率）。样本描述空间之所以令人感兴趣，并非因为其成员（即描述），而是因为其子集（即事件）！

接下来，我们考虑事件之间可能存在的关系以及可以对事件执行的操作。我们可以对事件执行类似于对普通数字执行的加法和乘法那样的代数运算。本节其余部分将要介绍的概念可以称为事件代数。如果谈论的是集合而不是事件，那么本节的概念就构成了所谓的集合论。

给定任何事件 E ，询问 E 不发生的概率与询问 E 发生的概率一样自然。因此，对于任何事件 E ，存在一个事件，记作 E c ，称为 E 的补集（或 E 补）。事件 E c 是 E 不发生的事件，由 S 中所有不在 E 中的描述组成。

接下来考虑两个事件 E 和 F 。我们可能会问 E 和 F 是否都发生了，或者它们中至少有一个（可能两个都）发生了。因此，我们被引导去定义事件 E F 和 E ∪ F ，分别称为事件 E 和 F 的交和并。

交 E F 定义为由同时属于 E 和 F 的描述组成；因此，事件 E F 发生当且仅当 E 和 F 都发生，也就是说，观测结果具有一个同时属于 E 和 F 的描述。

并 E ∪ F 定义为由属于事件 E 和 F 中至少一个的描述组成；因此，事件 E ∪ F 发生当且仅当 E 或 F 发生，也就是说，观测结果具有一个属于 E 或 F （或两者都）的描述。

应该注意，许多作者用 E ∩ F 而不是 E F 来表示两个事件的交。

我们可以在一个称为文氏图的图表中给出这些操作的符号表示（图 4A 到 4C ）。让样本描述空间 S 由平面中一个矩形的内部表示；让事件 E 由位于矩形内的一个圆的内部表示；让事件 F 由也位于矩形内的一个正方形的内部表示（但不一定与圆重叠，尽管在图 4B 中是这样画的）。那么， E c ，即 E 的补集，在图 4A 中由矩形内圆外的点表示； E F ，即 E 和 F 的交，在图 4B 中由圆和正方形内的点表示； E ∪ F ，即 E 和 F 的并，在图 4C 中由位于圆或正方形内的点表示。

Figure 2.4.1: image Figure 2.4.1: image Figure 2.4.1: image Figure 2.4.1: image

图 4 

作为事件的补集、并集和交集概念的另一个说明，让我们考虑从一个装有十二个球（编号为1到12）的罐子中抽取一个球的实验。那么 S = { 1 , 2 , … , 12 } 。考虑事件 E = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 } 和 F = { 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 } 。那么 E c = { 7 , 8 , 9 , 10 , 11 , 12 } , E F = { 4 , 5 , 6 } 且 E ∪ F = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 } 。

事件演算的主要问题之一是确定以两种不同方式定义的两个事件的相等性。如果两个事件 E 和 F 中，一个事件中的每个描述都属于另一个事件，则称它们相等，记作 E = F 。两个事件相等的定义也可以用子事件的概念来表述。如果事件 E 的发生必然蕴含事件 F 的发生，则称 E 是事件 F 的子事件，记作 E ⊂ F 。为了使这一点成立， E 中的每个描述也必须属于 F ，因此 E 是 F 的子事件当且仅当 E 是 F 的子集。

然后我们得到基本原理： E 等于 F 当且仅当 E 是 F 的子事件且 F 是 E 的子事件。用符号表示，

当且仅当且 

一个有趣的问题出现了：事件的并运算和交运算是否可以应用于任意一对事件 E 和 F 。特别地，考虑两个没有共同描述的事件 E 和 F ；例如，假设 S = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 } , E = { 1 , 2 } , F = { 3 , 4 } 。并集 E ∪ F = { 1 , 2 , 3 , 4 } 是有定义的。然而，应该赋予交集 E F 什么含义呢？为了满足这一需要，我们引入不可能事件的概念，记作 ∅ 。不可能事件 ∅ 定义为不包含任何描述，因此不可能发生的事件。在集合论中，不可能事件被称为空集。不可能事件的一个重要性质是它是必然事件 S 的补集；显然 S c = ∅ ，因为 S 不发生是不可能的。不可能事件的第二个重要性质是它等于任何事件 E 与其补集 E c 的交集；显然， E E c = ∅ ，因为一个事件与其补集同时发生是不可能的。

任何两个不能同时发生的事件 E 和 F ，即它们的交集 E F 是不可能事件，被称为互斥的（或不相交的）。因此，两个事件 E 和 F 互斥当且仅当 E F = ∅ 。

两个互斥事件可以在文氏图上用两个不重叠的几何图形的内部表示，如图 4D 所示。不可能事件可以在文氏图上用没有阴影的阴影区域表示，如图 4D 所示。

事件可以用语言定义，并且能够用事件运算来表达它们是很重要的。例如，让我们考虑两个事件 E 和 F 。事件 E 和 F 中恰好有一个发生的事件等于 E F c ∪ E c F ；事件 E 和 F 中恰好没有一个发生的事件等于 E c F c 。事件 E 或 F 中至少有一个（即一个或多个）发生的事件等于 E ∪ F 。事件中至多有一个（即一个或更少）发生的事件等于 ( E F ) c = E c ∪ F c 。

事件的并运算和交运算具有许多普通数字加法和乘法的代数性质（尽管它们在概念上与后者截然不同）。运算 E ∪ F 和 E F 的重要代数性质包括以下关系，这些关系对任何事件 E , F 和 G 都成立：

 交换律  E ∪ F = F ∪ E E F = F E  结合律  E ∪ ( F ∪ G ) = ( E ∪ F ) ∪ G E ( F G ) = ( E F ) G  分配律  E ( F ∪ G ) = E F ∪ E G E ∪ ( F G ) = ( E ∪ F ) ( E ∪ G )  幂等律  E ∪ E = E E E = E  

由于并运算和交运算满足交换律和结合律，定义任意数量的事件 E 1 , E 2 , … , E n , … 的并集和交集没有困难。并集，记作 E 1 ∪ E 2 ∪ … E n ∪ … ，定义为由属于至少一个事件的所有描述组成的事件。交集，记作 E 1 E 2 … E n … ，定义为由属于所有事件的所有描述组成的事件。

事件运算的一个非常常用的不寻常性质由德摩根律给出，该定律指出，对于任何两个事件 E 和 F ，

 

并且对于 n 个事件 E 1 , E 2 , … , E n ，

通过考虑文氏图，可以获得对 (4.2) 和 (4.3) 的直观论证。

在 5 节中，我们需要以下关于某些事件相等的公式。设 E 和 F 是定义在同一个样本描述空间 S 上的两个事件。那么

 

蕴含 

为了验证这些恒等式，可以在每种情况下证明恒等式的左边是右边的子事件，并且右边是左边的子事件。

练习

4.1. 一项实验是从一批产品中抽取3个电子管，并测试其某项感兴趣的特性。如果一个管子有缺陷，则为其分配字母 D 。如果一个管子是好的，则为其分配字母 G 。一次抽取结果由一个3元组描述，其每个分量要么是 D ，要么是 G 。例如， ( D , G , G ) 表示第一个抽出的管子有缺陷，其余两个是好的这一结果。设 A 1 表示第一个抽出的管子有缺陷的事件， A 2 表示第二个抽出的管子有缺陷的事件， A 3 表示第三个抽出的管子有缺陷的事件。写出该实验的样本描述空间，并列出事件 A 1 , A 2 , A 3 , A 1 ∪ A 2 , A 1 ∪ A 3 , A 2 ∪ A 3 ， A 1 ∪ A 2 ∪ A 3 , A 1 A 2 , A 1 A 3 , A 2 A 3 , A 1 A 2 A 3 中的所有样本描述。

 

答案

 

4.2. 对于以下16个事件中的每一个，绘制一个类似于图 4 A 或 4 B 的维恩图，并在其上用阴影标出对应于该事件的区域。由于所描述的一些事件是等价的，因此只需要7个图来说明这16个事件。(i) A B c ，(ii) A B c ∪ A c B ，(iii) ( A ∪ B ) c ，(iv) A c B c ，(v) ( A B ) c ，(vi) A c ∪ B c ，(vii) 事件 A 和 B 中恰好有0个发生的事件，(viii) 事件 A 和 B 中恰好有1个发生的事件，(ix) 事件 A 和 B 中恰好有2个发生的事件，(x) 事件 A 和 B 中至少有0个发生的事件，(xi) 事件 A 和 B 中至少有1个发生的事件，(xii) 事件 A 和 B 中至少有2个发生的事件，(xiii) 事件 A 和 B 中不超过0个发生的事件，(xiv) 事件 A 和 B 中不超过1个发生的事件，(xv) 事件 A 和 B 中不超过2个发生的事件，(xvi) A 发生而 B 不发生的事件。注：“至少1个”意指“1个或更多”，“不超过1个”意指“1个或更少”，以此类推。

4.3. 设 S = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 10 , 11 , 12 } ， A = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 } ，且 B = { 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 } 。对于练习4.2中描述的每个事件，写出属于该事件的数字。

 

答案

(i), (xvi) { 1 , 2 , 3 } ；(ii), (viii) { 1 , 2 , 3 , 7 , 8 , 9 } ；(iii), (iv), (vii), (xiii) { 10 , 11 , 12 } ；

 

(v), (vi), (xiv) { 1 , 2 , 3 , 7 , 8 , 9 , 10 , 11 , 12 } ；(ix), (xii), { 4 , 5 , 6 } ；(xi) { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 ， 7 , 8 , 9 } ；(x), (xv) S 。

4.4. 对于以下12个事件中的每一个，绘制一个维恩图，并在其上用阴影标出对应于该事件的区域：事件 A , B , C 中，发生 (i) 恰好0个，(ii) 恰好1个，(iii) 恰好2个，(iv) 恰好3个，(v) 至少0个，(vi) 至少1个，(vii) 至少2个，(viii) 至少3个，(ix) 不超过0个，(x) 不超过1个，(xi) 不超过2个，(xii) 不超过3个 的事件。

4.5. 设 S , A , B 如练习4.3所设，并设 C = { 7 , 8 , 9 } 。对于练习4.4中描述的每个事件，写出属于该事件的数字。

 

答案

(i) { 10 , 11 , 12 } ；(ii) { 1 , 2 , 3 } ；(iii) { 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 } ；(iv) ϕ ；(v) S ；

 

(vi) { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 } ；(vii) { 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 } ；(viii) ϕ ；(ix) { 10 , 11 , 12 } ；

(x) { 1 , 2 , 3 , 10 , 11 , 12 } ；(xi) S ；(xii) S 。

4.6. 证明 (4.4) 。注意，(4.4) 表明不可能事件在交和并运算下的行为，类似于数字0在乘法和加法运算下的行为。

4.7. 证明 (4.5) 。进一步证明事件 F 和 E F c 是互斥的。