关于期望的更多探讨

斯蒂尔杰斯积分。在第 2 节中，我们定义了连续函数 $g(x)$ 关于由概率质量函数或概率密度函数指定的概率律的期望。现在我们考虑一般概率律的情形，它由其分布函数 $F(\cdot )$ 指定。

为了定义关于由分布函数 $F(\cdot )$ 指定的概率律的期望，我们需要对积分概念进行推广，这被称为斯蒂尔杰斯积分。给定一个连续函数 $g(x)$ 、一个分布函数 $F(\cdot )$ ，以及实轴上的一个半开区间 $(a,b]$ （即 $(a,b]$ 包含所有严格大于 $a$ 且小于或等于 $b$ 的点），我们定义 $g(\cdot )$ 关于 $F(\cdot )$ 在 $(a,b]$ 上的斯蒂尔杰斯积分，记作 ${\int }_{a+}^{b}g(x)dF(x)$ ，如下所示。我们从将区间 $(a,b]$ 划分为 $n$ 个子区间 $(x_{i-1},x_i]$ 开始，其中 $x_0,x_1,\dots ,x_n$ 是 $(n+1)$ 个点，选择它们使得 。然后我们选择一组点 ，每个子区间中一个，使得对于 $i=1,2,\dots ,n$ 有 ，我们定义

其中极限是对区间 $(a,b]$ 的所有划分取的，当划分中子区间的最大长度趋于 0 时。

可以证明，如果 $F(\cdot )$ 由概率密度函数 $f(\cdot )$ 指定，那么

而如果 $F(\cdot )$ 由概率质量函数 $p(\cdot )$ 指定，那么

 

连续函数 $g(\cdot )$ 关于分布函数 $F(\cdot )$ 在整个实轴上的斯蒂尔杰斯积分定义为

第 2 节中关于实轴上积分的存在性和有限性的讨论也适用于斯蒂尔杰斯积分。我们说 ${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}g(x)dF(x)$ 存在当且仅当 ${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}|g(x)|dF(x)$ 是有限的。因此，只有绝对收敛的斯蒂尔杰斯积分才被认为是有意义的。

我们现在将连续函数 $g(\cdot )$ 关于由分布函数 $F(\cdot )$ 指定的概率律的期望定义为 $g(\cdot )$ 关于 $F(\cdot )$ 在无限实轴上的斯蒂尔杰斯积分；用符号表示为

斯蒂尔杰斯积分仅具有理论意义。它们提供了一种紧凑的方式来定义和处理期望的性质。在实践中，人们通过以下定理将斯蒂尔杰斯积分分解为普通积分和普通求和的和来计算它：如果存在一个概率密度函数 $f(\cdot )$ 、一个概率质量函数 $p(\cdot )$ ，以及和为 1 的常数 $c_1$ 和 $c_2$ ，使得对于每个 $x$ 

 

那么对于任何连续函数 $g(\cdot )$ 

 

在给出关于概率律的各种命题的证明时，我们通常将自己限制在概率律由概率密度函数指定的情形，因为这里我们可以仅使用普通积分。然而，斯蒂尔杰斯积分的性质与普通黎曼积分的性质非常相似；因此，我们给出的证明可以立即转化为需要使用斯蒂尔杰斯积分的一般情形的证明。

关于数值 $n$ 元组值随机现象的期望。前述思想可以立即推广到数值 $n$ 元组值随机现象。给定这样一个随机现象的分布函数 $F(x_1,x_2,\dots ,x_n)$ 和任何 $n$ 个实变量的连续函数 $g(x_1,\dots ,x_n)$ ，我们定义该函数关于该随机现象的期望为

其中积分是在所有 $n$ 元组 $(x_1,x_2,\dots ,x_n)$ 的实数空间 $R_n$ 上的斯蒂尔杰斯积分。我们在此不写出该积分的定义。

我们注意到 (6.2) 和 (6.3) 可以推广。如果分布函数 $F(x_1,x_2,\dots ,x_n)$ 由概率密度函数 $f(x_1,x_2,\dots ,x_n)$ 指定，使得第 4 章的 成立，那么

 

如果分布函数 $F(x_1,x_2,\dots ,x_n)$ 由概率质量函数 $p(x_1,x_2,\dots ,x_n)$ 指定，使得第 4 章的 成立，那么

练习